《映射和函数》PPT课件.ppt
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1、第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生,比如说我们现在说的,都无法用 来表示,那么我们必须引入新的数来刻画这个问题,这样无理数便产生了,正是有这种思想,当我们将负数开方时,人们引入了虚数i(虚数的产生导致复变函数等学科的产生,并在现代工程技术上得到广泛应用),这使我们不得不佩服人类的智慧。,数学发展经历的三次危机:,第二次数学危机 发生在十七世纪。由于推敲微积分的理论基础问题,微积分的主要创始人牛顿(莱布尼兹)在一些典型的推导过程中,直到19世纪,柯
2、西详细而有系统地发展了极限理论。本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了 极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决。,第三次数学危机 发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾。“理发师悖论”,就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢?数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论
3、的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统),这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟。,函数的历史,笛卡尔引入变量,柯西给出了中学课本的定义,首先提出了自变量一词,狄里克雷提出了更为一般的定义,现在高中课本中的定义,欧拉强调函数体现的是一种关系,贝努利强调函数用公式表示,莱布尼兹最早引入函数表示幂,引入坐标,罗巴契夫斯基提出了两个变量之间的值的对应关系,康托的集合论,一、集合,二、函数,1.1 映射与函数,三、函数的几种特性,四、反函数、复合
4、函数和初等函数,1.集合集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D 等标识.元素 组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d 等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.,一、集合,集合的表示列举法 把集合的全体元素一一列举出来.例如Aa,b,c,d,e,f,g.描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为 Mx|x具有性质P.例如M(x,y)|x,y为实数,x2y21.,几个数集 所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集
5、.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.,子集 如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.,2.集合的运算 设A、B是两个集合,则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并).ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交).ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差).ACIAx|xA为称A的余集或补集,其中I为全集.,提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.,直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有
6、序对集合 AB(x,y)|xA且yB称为集合A与集合B的直积.例如,RR(x,y)|xR且yR 即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.,数集x|axb称为开区间,记为(a,b),即(a,b)=x|axb.,a,b=x|axb闭区间.,a,b)=x|axb半开区间,(a,b=x|axb半开区间.,有限区间,上述区间都是有限区间,其中a和b称为区间的端点,b-a 称为区间的长度.,3.区间和邻域,(-,b=x|xb,(-,+)=x|x|+.,a,+)=x|ax,无限区间,(-,b)=x|xb,(a,+)=x|ax,3.区间和邻域,邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设
7、0,则称 U(a,)=(a-,a+)=x|x-a|为点a的邻域,其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.,去心邻域,说明:,记号f和f(x)的区别:前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.,说明:,为了叙述方便,常用记号“f(x),xD”或“yf(x),xD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.,说明:,函数的记号是可以任意选取的,除了用f 外,还可用“g”、“F”、“”等,此时函数就记作yg(x)、yF(x)、y(x)等.但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号.,二、函数,设数集DR,若按照对应法则f,对于每个数xD,变量y都有唯一
8、确定的值和它对应,则称对应法则f为定义在D上的函数,通常简记为yf(x),其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.,1.函数概念,定义,构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.两个函数的定义域和对应法则都相同,则这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,函数的两要素,函数的定义域通常按以下两种情形来确定:对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.,函数的定义域,对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域.,一般地,应注意如下几点:(1)分母不能为零;(2)偶次根号下非负;(3)对数的底大于零而不等于
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