《时间序列模型》PPT课件.ppt
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1、1,第四章 时间序列模型,关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前面的章节讨论过了,本章着重于时间序列模型的估计和定义,这些分析均是基于单方程回归方法,第9章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和建立模型,来“解释”时间序列的变化规律。,2,4.1 序列相关理论,第3章在对扰动项ut的一系列假设下,讨论了古典线性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方程的扰动项ut 满足古典回归假设,使用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。但是如果扰动项ut不满足古典回归假设,回归方程的估计结果会发生怎样的变化呢
2、?理论与实践均证明,扰动项ut关于任何一条古典回归假设的违背,都将导致回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此,必须建立相关的理论,解决扰动项不满足古典回归假设所带来的模型估计问题。,3,序列相关及其产生的后果,对于线性回归模型(4.1.1)随机扰动项之间不相关,即无序列相关的基本假设为(4.1.2)如果扰动项序列ut表现为:(4.1.3)即对于不同的样本点,随机扰动项之间不再是完全相互独立的,而是存在某种相关性,则认为出现了序列相关性(serial correlation)。,4,EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关
3、是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如,在生产函数模型中,如果省略了资本这个重要的解释变量,资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性,以及对产出影响的连续性,必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下,要把显著的变量引入到解释变量中。,序列相关的检验方法,5,EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。1D_W统计量检验 Durbin-Watson 统计量(简称D_W统计量)用于检验一阶序列相关,还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程:(4.1.6)D_W统计量检验的原假设:=0,备选假设是 0。,6,Dubin-Waston统计量检验
4、序列相关有三个主要不足:1D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。2回归方程右边如果存在滞后因变量,D-W检验不再有效。3仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法:Q-统计量和Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足,应用于大多数场合。,7,2.相关图和Q-统计量,1.自相关系数 时间序列ut滞后k阶的自相关系数由下式估计()其中 是序列的样本均值,这是相距k期值的相关系数。称rk为时间序列ut的自相关系数,自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列ut的邻近数据之间存在多大程度的相关性。,8,2偏自相关系数 偏自相关系数是指在给定ut-1,
5、ut-2,ut-k-1的条件下,ut与ut-k之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下()其中:rk 是在k阶滞后时的自相关系数估计值。()这是偏相关系数的一致估计。,9,我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数(在本章节给出相应的公式),以及Ljung-Box Q-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表达式为:,(4.1.7),其中:rj是残差序列的 j 阶自相关系数,T是观测值的个数,p是设定的滞后阶数。p阶滞后的Q-统计量的原假设是:序列不存在p阶自相关;备选假设为:序列存在p阶自相关。,10,在EViews软件中的操
6、作方法:在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关,在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著,并且有大的P值。,11,例5.1:利用相关图检验残差序列的相关性,考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投资INV是单位为10亿美元的名义值,价格指数P为GNP的平减指数(1972=100),利息率R为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资;它们是通过将名义变量
7、除以价格指数得到的,分别用小写字母gnp,inv表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率R减去价格指数变化率p得到的。样本区间:1963年1984年,建立如下线性回归方程:t=1,2,T,12,应用最小二乘法得到的估计方程如下:t=(-1.32)(154.25)R2=0.80 D.W.=0.94,13,虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内,则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线,说明存在1阶序列相关。1阶滞后的Q-统计量的P值很小,拒绝原假设,残差序列存在一阶序列相关。,选择View/Residual
8、 test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果:,14,3.序列相关的LM检验,与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同,Breush-Godfrey LM检验(Lagrange multiplier,即拉格朗日乘数检验)也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关,而且在方程中存在滞后因变量的情况下,LM检验仍然有效。LM检验原假设为:直到p阶滞后不存在序列相关,p为预先定义好的整数;备选假设是:存在p阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。,15,(1)估计回归方程,并求出残差et)(2)检验统计量可以基于如下回归得到(4.1.9)这是对原始回归
9、因子Xt 和直到p阶的滞后残差的回归。LM检验通常给出两个统计量:F统计量和TR2统计量。F统计量是对式()所有滞后残差联合显著性的一种检验。TR2统计量是LM检验统计量,是观测值个数T乘以回归方程()的R2。一般情况下,TR2统计量服从渐进的 2(p)分布。,16,在EView软件中的操作方法:选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test,一般地对高阶的,含有ARMA误差项的情况执行Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框,输入要检验序列的最高阶数。,17,LM统计量显示,在5%的显著性水平拒绝原假设,回归方程的残差序列存在序列
10、相关性。因此,回归方程的估计结果不再有效,必须采取相应的方式修正残差的自相关性。,例5.1(续)序列相关LM检验,18,例5.2:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验,考虑美国消费CS 和GDP及前期消费之间的关系,数据期间:1947年第1季度1995年第1季度,数据中已消除了季节要素,建立如下线性回归方程:t=1,2,T 应用最小二乘法得到的估计方程如下:t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999 D.W.=1.605,19,如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看,这个模型是一个很理想的模型。但是,由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项,那么 D.W.值就
11、不能作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准,如果残差序列存在序列相关,那么,显著性水平、拟合优度和F统计量将不再可信。所以,必须采取本节中介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这里采用 LM 统计量进行检验(p=2),得到结果如下:LM统计量显示,回归方程的残差序列存在明显的序列相关性。,20,下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数,相关图如下:本例13阶的自相关系数都超出了虚线,说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%,说明在5%的显著性水平下,拒绝原假设,残差序列存在序列相关。,21,4.1.3 扰动项存在序列相关的 线性回归方程的估计与修正,线性
12、回归模型扰动项序列相关的存在,会导致模型估计结果的失真。因此,必须对扰动项序列的结构给予正确的描述,以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响。通常可以用AR(p)模型来描述一个平稳序列的自相关的结构,定义如下:(4.1.10)(4.1.11),22,其中:ut 是无条件扰动项,它是回归方程()的扰动项,参数 0,1,2,k 是回归模型的系数。式()是扰动项ut的 p 阶自回归模型,参数 1,2,p 是 p 阶自回归模型的系数,t 是无条件扰动项ut自回归模型的误差项,并且是均值为0,方差为常数的白噪声序列,它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值之差。下面将讨论如何利用AR
13、(p)模型修正扰动项的序列相关,以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数。,23,1修正一阶序列相关 最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。为了便于理解,先讨论一元线性回归模型,并且具有一阶序列相关的情形,即p=1的情形:),把式()带入式()中得到),24,25,2修正高阶序列相关 通常如果残差序列存在p阶序列相关,误差形式可以由AR(p)过程给出。对于高阶自回归过程,可以采取与一阶序列相关类似的方法,把滞后误差逐项代入,最终得到一个误差项为白噪声序列,参数为非线性的回归方程,并且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。,26,3.在Eviews中
14、的操作:打开一个方程估计窗口,输入方程变量,最后输入ar(1)ar(2)ar(3)。针对例5.2定义方程为:,27,需要注意的是,输入的ar(1)ar(2)ar(3)分别代表3个滞后项的系数,因此,如果我们认为扰动项仅仅在滞后2阶和滞后4阶存在自相关,其他滞后项不存在自相关,即则估计时应输入:cs c gdp cs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相关时给予很大灵活性,可以输入模型中想包括的各个自回归项。例如,如果有季度数据而且想用一个单项来消除季节自回归,可以输入:cs c gdp cs(-1)ar(4)。,28,例4.3 用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关(1)例
15、5.1中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性:t=1,2,T 回归估计的结果如下:t=(-1.21)(95.71)t=(2.65)R2=0.86 D.W.=1.52,29,再对新的残差序列进行LM检验(p=2),最终得到的检验结果如下:检验结果不能拒绝原假设,即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此,用AR(1)模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。,30,例4.4 用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关,例4.2中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到,可以采用AR(3)模型来
16、修正回归方程的自相关性。,回归估计的结果如下:,31,模型建立如下:t=(-3.9)(7.29)(13.54)t=(4.85)(3.07)(3.03)R2=0.999 D.W=1.94,32,再对新的残差序列 进行LM检验,最终得到的检验结果如下:,给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图,在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。,33,对于简单AR(1)模型,是无条件残差的序列相关系数。对于平稳AR(1)模型,在-1(极端负序列相关)和+1(极端正序列相关)之间。一般AR(p)平稳条件是:滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。EViews在回归输出的底部给出这些根:Inv
17、erted AR Roots。如果存在虚根,根的模应该小于1。,34,另外:EViews可以估计带有AR误差项的非线性回归模型。例如:将例5.4中的模型变为如下的非线性模型,估计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程:,用公式法输入:cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6),35,输出结果显示为:,36,4.2 平稳时间序列建模,本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为研究对象,而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题。在现实中很多问题,如利率波动、收益率变化及汇率变化等通常是一个平稳序列,或者通过差分等变换可以
18、化成一个平稳序列。本节中介绍的ARMA模型(autoregressive moving average models)可以用来研究这些经济变量的变化规律,这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范畴。,37,如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于 t,则称 ut 是协方差平稳的或弱平稳的:,注意,如果一个随机过程是弱平稳的,则 ut 与 ut-s 之间的协方差仅取决于s,即仅与观测值之间的间隔长度s有关,而与时期t 无关。一般所说的“平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。,4.2.1 平稳时间序列的概念,38,4.2.2 ARMA模型,1.自回归模型AR(p)p 阶自回归模型记作AR(p)
19、,满足下面的方程:(4.2.4)其中:参数 c 为常数;1,2,p 是自回归模型系数;p为自回归模型阶数;t 是均值为0,方差为 2 的白噪声序列。,39,2.移动平均模型MA(q)q 阶移动平均模型记作MA(q),满足下面的方程:(4.2.5)其中:参数 为常数;参数1,2,q 是 q 阶移动平均模型的系数;t 是均值为0,方差为 2的白噪声序列。,40,3.ARMA(p,q)模型(4.2.6)显然此模型是模型(5.2.4)与(5.2.5)的组合形式,称为混合模型,常记作ARMA(p,q)。当 p=0 时,ARMA(0,q)=MA(q);当q=0时,ARMA(p,0)=AR(p)。,41,4
20、.2.3 ARMA模型的平稳性,1.AR(p)模型的平稳性条件 为了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理论结构,简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型(4.2.7)设L为滞后算子,则有Lutut-1,Lputut-p,特别地,L0utut。则式()可以改写为:,(4.2.8),42,若设(L)1-1 L-2 L2-p Lp,令(4.2.9)则(z)是一个关于z的p次多项式,AR(p)模型平稳的充要条件是(z)的根全部落在单位圆之外。式(5.2.7)可以改写为滞后算子多项式的形式 可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件,则式(4.2.10)可以表示为MA()的形式,从
21、而可以推导出来任何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。,(4.2.10),43,2MA(q)模型的可逆性 考察MA(q)模型 若 的根全部落在单位圆之外,则式(5.2.16)的MA算子称为可逆的。尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据,但是一些参数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。,(4.2.16),44,3ARMA(p,q)模型的平稳性条件 ARMA(p,q)模型包括了一个自回归模型AR(p)和一个移动平均模型MA(q)或者以滞后算子多项式的形式表示,(4.2.19),(4.2.20),45,若令则ARMA(p,q)模型(5.2.19)平稳的充要条件是(z)的根全部落在
22、单位圆之外。,(4.2.21),ARMA模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性组合,近似逼近一个平稳序列。可以看出ARMA模型的平稳性完全取决于自回归模型的参数,而与移动平均模型参数无关。,46,ARMA(p,q)模型中AR和MA部分应使用关键词ar和ma定义。在上面AR定义中,我们已见过这种方法的例子,这对MA也同样适用。,例如,估计因变量为LS的一个2阶自回归和1阶移动平均过程ARMA(2,1),应输入:LS c ar(1)ar(2)ma(1),ARMA(p,q)模型的估计,1.ARMA(p,q)模型的输入形式,47,例4.5:利用 AR(1)模型描述上证指数的变化规律,本例取我国上证收
23、盘指数(时间期间:1991年1月2003年3月)的月度时间序列S作为研究对象,用AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率,srt=100(St-St-1)/S t-1(t=1,2,T)这样便得到了变化率序列。一般来讲,股价指数序列并不是一个平稳的序列,而通过变换后的变化率数据,是一个平稳序列,可以作为我们研究、建模的对象。记上证股价指数变化率序列为sr。,48,建立如下模型:t=1,2,T 估计输出结果显示为:,49,图4.2 实线是上证股价指数变化率序列sr,虚线是AR(1)模型的拟合值,从图4.2可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991年1994年之间变化很大,而后逐渐变小,基本
24、在3%上下波动。近年来波动平缓,并且大多在3%下面波动。拟合曲线基本代表了这一时期的均值。,50,对例4.5中我国上证收盘指数(时间期间:1991年1月2003年3月)的月度时间序列S的对数差分变换LS=dlog(S),即股票收益率用ARMA(1,1)模型来估计,来说明EViews是如何估计一个ARMA(p,q)模型的。建立方程,输入 LS c ar(1)ma(1),51,估计输出显示:,52,估计方程可写为:t=(1.32)t=(-0.42)(0.3)R2=0.0087 D.W.=1.99 也可写为:,53,2.ARMA(p,q)模型的输出形式,一个含有AR项的模型有两种残差:第一种是无条件
25、残差,第二种残差是估计的一期向前预测误差。如名所示,这种残差代表预测误差。实际上,通过利用滞后残差的预测能力,改善了无条件预测和残差。对于含有ARMA项的模型,基于残差的回归统计量,如R2和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单AR(1)模型,1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出表中1用AR(1)表示,MA(1)模型的系数1用MA(1)表示。对于平稳AR(1)模型,1在-1和+1之间。一般AR(p)模型平稳条件是:滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。,54,4.2.5 ARMA模型的识别,在实际研究中,所能获得的只是经济指标的时
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