《数学归纳法肖》PPT课件.ppt

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1、2.3 数学归纳法(第一课时),牟定县第一高级中学中学 2010-9-10,情境1.观察下列各等式，你发现了什么？,问题情境,思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？,情境2.观察多米诺骨牌的游戏。,学生活动,思考（1）你能说出使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么吗?（2）你能类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想吗?,，,(1)第一张牌能倒下；,使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：,(2)假设第k张能倒下，则一定能压倒紧挨的第k1张牌.,数学建构,类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想 的步骤为：,(1)证明当n=1时猜想成立,(2)证明若当n=k时命

2、题成立，则n=k+1时命题也成立.,完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。,相当于第一张牌能倒下,相当于使所有骨牌倒下的第2个条件,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,例 证明：,数学运用,递推基础,递推依据,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,这就是说，当n=k+1时,等式也成立。,根据和，可知对任何nN*等式都成立。,先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2)时命题成立，然后假设当n=k(kN,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.,一般地，对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下

3、面的方法来证明它们的正确性：,数学归纳法的两个步骤：,()证明当nn0(如n0 1或2等)时，结论正确；,()假设nk(kN*且kn0)时结论正确，并应用此假设证明nk1时结论也正确,数学理论,（2）假设当n=k时等式成立，就是,那么当n=k+1时，,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立,练习1 用数学归纳法证明：,递推基础,递推依据,练习2 用数学归纳法证明,证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立,（2）假设当n=k时，等式成立，即,递推基础,递推依据,

4、那么当n=k+1时，,用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值（如 或2等）时结论正确；,（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,“综合（1）、（2），”不可少！,注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。,分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：,练习3,纠错!,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)

5、2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当n=1时,左边=,假设n=k(kN*)时原等式成立，即,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,证明 当n=1时,左边=,这才是数学归纳法,假设n=k(kN*)时原等式成立，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；,(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。,(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来 解决“无限”的问题,(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 的重要方法,回顾反思,再见!,