《数学与哲学》PPT课件.ppt

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1、第八章 数学与哲学,数学、哲学本是一家.数学思维与哲学思维、数学方法论与哲学方法论等等，在抽象性以及若干特征上都是十分接近的，彼此相辅相成.历史上有众多数学家的哲学修养都很深，且其中不乏哲学名家，比如古代的有欧几里得，阿基米德等；近现代的有庞加莱，罗素等.这不能不说明数学与哲学之间存在着深刻的本质联系,实际上数学渗透在人类社会各个时期的各个领域，人类其实是伴着数学长大的；哲学也是如此，哲学不仅是哲学家创造的，哲学原本存在于人类共同的思维中，哲学家的贡献仅在于用人类共有的理性思维去观察、总结、整理了人类的“哲学”.哲学贯穿人类生活之中.,在这一章，主要讨论数学与哲学的关系。着重阐明若干数学中的辩

2、证法，以及数学、哲学的相互影响。简单介绍数学对自然科学、社会科学和人文科学的作用，这与哲学对它们的作用有类似之处。,第一节 哲学特征和数学特性,数学与哲学之间有不解之缘，它们的联系非常密切，表现在它们的主要特征具有很大的共同性。首先，它们的研究对象都具有客观存在性。哲学是理论化、系统化的世界观，是自然知识、社会知识的概括和总结，也是认识和改造世界的根本方法理论，是关于自然界、人类社会、人类思维三大领域普遍规律的科学。,哲学坚持世界的一元论思想，即坚持世界是物质的，哲学的研究对象就是由这些物质所组成的这个世界.而这里所说的物质，并没有具体地指明是什么，只要是客观存在、不以人的意志为转移的、构成这

3、个世界的东西都是物质.场、能等等都是物质的具体存在形式。,数学是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，是一种现实世界的空间形式和数量关系表示.数学的研究对象有其特殊性，数学不仅研究事物的质的多样性，而且还研究事物的量的确定性.,根据思维行程，数学可分为两类：第一类是从具体事物抽象出来的具有直接的现实原型；第二类是从逻辑推导出来的表现为逻辑上的可能性.从数学发展的实践来看，在19世纪以前，数学是在解决生产实际和科学技术问题的过程中发展起来的.数学问题来自实际问题，所以第一类数学对象的存在性是显而易见的.,第二类数学对象不是直接从具体事物中抽象出来的，而是从理论上研究第一

4、类数学对象时新发现的，或者简单地说，是从逻辑推导而来的，表现为逻辑上的存在性.第二类数学对象的存在性问题有时对于整个人类来讲都不是轻而易举的事情，可以说人类掌握的知识武器越多，越能够更具体地认识掌握一些表现为逻辑上数学对象的存在性问题，并且使它的存在性由逻辑上的可能性转化为实际上的现实性.历史上对虚数的发现与认识就是一个典型的范例.,哲学坚持世界的物质性是第一性，坚持意识对物质的依赖关系，但也承认意识对物质的能动作用.它强调物质能够为我们的意识所反映，即能够被人们所认识，人具有主观能动性，这就与不可知论划清了界限.物质世界是有规律的，这种规律是客观的，规律的客观性表明，它不能被人为地创造，也不

5、能被人为地消灭.人们只能发挥人的主观能动性，认识规律，利用规律为实际的目的服务.,数学的概念是由于生产实践和时代发展的需要而形成的，数学家提出的概念不是创造，而是对客观创造的描述，是人的主观能动性的反映.数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造，但它具有客观性.一个方程有多少解，有哪些解，这些都是客观的.一个定理可能被不同的人以不同的方式同时发现，但不管人类有没有发现，怎么发现这个定理，定理本身是客观存在着的，就像人类发现它之前隐藏在什么地方一样.但数学的结论是数学家推导出来的，数学家的任务是发现这个结论和定理以后用数学的语言简明扼要的表述出来，也就是发挥人的主观能动性，

6、从而使得数学为社会服务，为人类服务.,其次，数学、哲学的研究对象都具有抽象性 哲学研究世界上一切事物共同的普遍的规律，这些被研究的东西虽然是具体的，是包罗万象的，但哲学研究的是它们共有的最本质的客观规律，这种普遍规律只有与具体内容脱离之后才能成为普遍适应的规律，这就要求哲学对具体的东西作抽象的研究,比如哲学中的物质，我们不考虑它的形状、大小、存在方式以及表现形式，哲学只考虑它的客观存在性.实际上存在着两个世界：一个是人们可以看到、听到、摸到的由具体事物组成的实在世界；另一个是理智才能把握的抽象世界.具体的实在世界是相对的，变化的；而抽象世界则是绝对的，永恒的,数学的一个重要特征就是数学的抽象性

7、，数学撇开了事物的具体属性而时刻关注最一般的数与形的规律.数学研究总是撇开事物的具体背景，抓住最本质、最具有量的规定性的关系进行讨论.,一切实在物皆有形，形可以用数来描述.运动与变化伴随着能量的交换与转化，能量可以用数来表示；人的知识本质上是信息，信息可以用数来记取，万物有质的不同，然质又可以用数刻画.它考虑数，并不在意这些数从什么地方来.它考虑形，也不在意这些形用什么材料做成或存在于何处.数学撇开了具体属性而刻画出最一般的数与形的规律，这就是数学的抽象.人们对世界的认识越深入，数学的研究对象的抽象性也越高.,再次，数学和哲学都有广泛的应用性.哲学是人类认识世界的先导，为任何一门具体学科的发展

8、提供科学的指导.虽然哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下，但它可以从事任何具体科学所无法完成的工作，它为学科的诞生准备条件.从这点来讲，哲学是“望远镜”.当旅行者到达一个地方时，他虽然不再需要用望远镜观察这个地方，但他要用它来观察前方.,数学在当今世界的广泛应用是勿庸置疑的，数学的应用无处不在.著名科学大师庞加莱说过：“没有数学这门语言，事物之间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是唯一真正的客观现实正是这种唯一真正的客观现实的和谐，是我们所能达到的唯一真理”.数学对整个世界起着极大的作用，数学渗透到每一门学科，量化这门学科，甚至控制这门

9、学科.数学面对研究对象，总要进行细化量化的处理，使这门学科到达成熟的阶段.从这点来讲，数学是“显微镜”.总是进入对象的最本质处进行最细致的观察与研究.,第二节 数学中的辩证关系,客观世界是相互联系着的充满矛盾但又和谐的统一体，它按照辩证法的规律发展着。作为研究客观世界中数量关系和空间形式的数学，也必然反映客观世界的辩证规律。所以数学本身充满着辩证的思想。,数学中量与质之间的辩证关系,在研究纯粹的量的数学中，存在着质的差异.在数学中量是和一定的质联系着的，量与质也是对立统一的.脱离了一定质的量是不存在的，数学中任何的量都表示一定的量的内容，同时也具有一定质的特点.恩格斯讲：“数是我们所知道的最纯

10、粹的量的规定.但是它充满了质的差异.”如质数和乘积，简单的根式和幂，质数只能被1和本身整除，而任何乘积除了1和本身以外还可以被整数因子所整除.不仅如此，质数给予由它和其他数相乘而得的数以新的一定的质,1、数学中量与质之间的辩证关系 具体表现在判定整除的规律因数而异：只有末一位是2的倍数的数才能被2整除。末二位是4的倍数的数才能被4整除。末三位是8的倍数的数才能被8整除。被3、9整除需要其数字之和能被3、9整除。被6整除需要其数字之和是能被3整除的偶数。被7整除的数特殊一些，如果一个数去掉末位数，剩下的数减去末位数的2倍其差是7的倍数，那末这个数一定能被7整除。如371去掉末位数为37，减去末位

11、数的2倍为37-2135，是7的倍数，所以371是7的倍数（3717=53）。,总之，判定整除的法则因数而异的原因就在于除数2、3、4、59,既有量的大小区别，又有一定的质的差异，这种质的差异必然要反映在该数与其他数相乘而得的数中，数学游戏就建立在这上面，没有学过这些知识的人就会感到莫名其妙，其实说穿了就在质数给予由它和其它数相乘而得的数以新的一定质这个辩证的关系上.根式和幂形式如此简单，但质的差异是很明显的，前者是无理数，后者是有理数.,2、数学概念中的对立统一关系 数学概念中主要有下面几方面的对立统一关系：一与多、零与非零、有限与无限、分数与整数、小数与分数，正数和负数、有理数与无理数、虚

12、数与实数、直线与曲线、三角形和圆等等。,下面我们通过分析数学概念中的对立统一关系，进一步说明数学中的辩证法。（1）“一”与多的辩证法 多包含着“一”这是显然的，因为“一首先是整个正负数系统中的基数，它继续自相加下去就可得出其他任何数目。”例如50等于50个1相加，所以一是产生多的基础，多包含着一。“一”包含着多 一方面“一”的表现形式是多方面的。一的表现形式是多方面的，也可以说产生一的方式是多方面的.我们可以在数学中找到大量的例子。如：分子和分母相等的一切分数的值。1的任何实数幂（为实数）。不等于零的任何实数的零次幂。,另一方面“一”的内容也包含着多.这表现在1是无限可分的.如同其他任何事物一

13、样，一本身也包含着矛盾.这个矛盾首先是由分数展开的.分数就是从分一开始的.“一”的无限可分的客观性（2）有限与无限的对立统一关系 任何一个无限循环小数都可以通过无穷等比数列求和公式转化为确定的有限的数（分数），如可转化为.这里体现了循环小数和分数的内在联系，体现了数的有限与无限的辩证关系.,有限与无限存在着本质的差异，比如对于有限中的某些性质，在无限中不能无条件的加以利用.例如数项级数：该级数是收敛的，且.但如果根据有限的运算性质来进行运算的话有如下结果：=这个结果是错的.,当然有限与无限的差异并非是不可逾越的鸿沟，相反，两者在一定条件下是可以相互转化的、相互表示的。下面的函数项级数：在的情况

14、下，级数收敛，且收敛到，无限的转化成有限的.同样，一个有限的函数在一定的条件下可转化成无限的级数的和：特别地 右边是无限和，左边是有限的.但有限无限的转化不是无条件的，可以转化的前提条件是.如果不满足这一点，那么我们取就会得到下面的一个荒唐的结论：124816 1.可以转化的前提条件是.如果不满足这一点，那么我们取就会得到下面的一个荒唐的结论：124816 1.,第二节 数学中的辩证关系,（3）分数和整数 分数和整数既有严格的区别，又有紧密的联系，并在一定条件下互相转化.首先分数和整数已有质的区别.例如，它是1和2在相比中所规定的一个新的数，为了表示这个分数值，我们可以找到无限多对数，如3与6

15、；4与8等等来代替1和2，即得到等等，也就是我们可以找到无限多个分数，它们的值都等于.而在这个关系之外1就是1,2就是2,3不等于1,6也不等于2，所以分数相对于整数来讲，它已经有了无限性，而整数就不具备这一点.可以看到两者之间的联系.即分数可以理解为两个整数相除的商，能整除时，分数就转化成了整数，不能整除时，就是分数.,第二节 数学中的辩证关系,（4）小数和分数 小数和分数既有质的区别，又有紧密联系，在一定的条件下互相转化.我们理解为把任何一个循环小数转化为分数的问题归结为求无穷等比数列的和的问题.即求无穷等比数列0.6、0.06、0.006的和.根据无穷等比数列：前n项求和公式有：于是我们

16、就得到了无穷等比数列0.6、0.06、0.006、的和为 这样我们就得到，和完全相等而没有差值，在这样的条件下有限和无限等同起来，无限循环小数转化为分数.,第二节 数学中的辩证关系,（5）负数和正数 负数和正数是对立统一的.这些在数学中可举出大量的例子来说明，如解方程需要移项，把方程左边的项移到右边去，就要改变符号，反之也一样.这种移正为负，移负为正，就是正负数对立统一的一种表现，也是解方程的关键.正数与负数又存在于矛盾之中.负可以否定正，即负可以使正改变符号，建立正的对立物即负，如+2，用-3乘+2得到-6.-6和+2符号相反；负还可以否定自身，即负可以否定负，建立自身的对立物得到正.,第二

17、节 数学中的辩证关系,（6）无理数和有理数 无理数和有理数之间是对立统一的，互相联系、互相区别、并在一定条件下互相转化.任何一个无理数a，由于它是一个无限不循环小数，将它写成级数形式：其中每一项都是有理数，前n项的和：还是一个有理数，只是当n增加到无限大时，即到达了由于量变引起质变的关键点时，即有理数才转化成了无理数.（7）实数和虚数,第二节 数学中的辩证关系,3、数学运算中的辩证关系（1）求导数的过程是一个否定之否定过程.求导数的运算过程是反映事物内部矛盾着的两个方面，在一定条件下，矛盾的一方向另一方转化时的数量变化规律.首先，已知的是函数y=f(x)，称之为“原函数”.在原函数中让自变量x

18、真正运动起来，使x变为x1，这就是取差，相应的就有.这样就可得到“预备导函数”：通过实际取差，使原函数转化成预备导函数.所以，预备导函数就是对“原来函数”的否定.在预备导函数中让变回到，把实际的差扬弃，即使得=0，就得到导数.导数又是对预备导函数的否定.这样，从原函数到导数就经历了一个否定的否定过程.第一个否定过程比较容易理解.下面就对预备导函数转化为导数的第二个否定过程，着重加以分析.,第二节 数学中的辩证关系,（2）求曲边梯形的面积过程中表现的运动与静止的辩证关系 曲边梯形的面积：设 在 区间上非负、连续.由直线，及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧 称为曲边.如何求出该曲边梯形的

19、面积S呢？把区间划分为个小区间：它们的长度依次为：在小区间令为该小区间的高因此：则有：,第二节 数学中的辩证关系,（3）极限运算中的量变质变规律 利用有限与无限的辩证关系，可以分析阿基里斯和乌龟的赛跑问题.,第三节 数学对其他科学的作用,在唯物辩证法里我们知道哲学对自然学 科，社会学科和人文学科的发展具有指导作 用，正确的指明了这些学科的发展方向.在本 节我们重点 阐述数学对自然学科，社会学科 和人文学科的作用.,第三节 数学对其他科学的作用,1、数学对自然科学的作用“数学是科学的王后”，这个比喻说明数学对于科学的重要性.人们又说：“数学也是科学的仆人”.一会儿是科学的王后，一会儿是科学的仆人

20、，这正表明数学的双重性，说明数学完美地履行了双重职责.实际上数学的双重性是统一的，反映了数学既具有理论价值又有广泛的实用价值.通过科学史上的一些具体事例就能体会数学对自然科学的作用.数学对自然科学的另一个重要作用还表现在数学中许多最抽象的概念以及模型是来自数学本身的研究，而不是来自自然科学或工程技术的需要，但它们却在后来的科学和工程技术方面发挥了意想不到的重要作用.,第三节 数学对其他科学的作用,将数学应用于自然科学这本身就是数学的目的，就是要运用数学来阐述自然科学的概念和描述自然科学的现象，揭示自然科学的本质，使数学与自然科学为人类服务，同时由此也推动数学与自然科学的发展.2、数学对社会科学

21、的作用 对我们大多数人来说，数学对自然科学的作用较容易理解，但实际上，数学的作用远不是仅仅表现在自然科学方面，可以说它渗透到社会的每个角落，当然包括作用于社会科学.所谓社会科学包括经济学、政治学、社会学、社会和文化人类学、社会心理学、社会经济地理学以及教育学等等，主要是研究人类在社会和文化方面的行为.,第三节 数学对其他科学的作用,社会科学问题的解决不能用先验的、演绎的方法来进行，数学在社会学中的应用是随着社会的不断进步而不断丰富的.统计方法是较早应用于社会科学的一种数学工具，统计方法与概率论相结合，在19世纪就在社会学研究方面取得了很多的成果并上升为一种日益重要的数学方法，使数学应用于社会科

22、学有了坚实的基础.在众多社会科学中数学应用最早的是经济学，经济学是研究商品、价格、需求、供给、利润等等范畴的，所有这些都需要以量的形式表现出来，需要采用定量分析的方法.,第三节 数学对其他科学的作用,社会科学的范畴很广，涉及的面很多很大，不同的社会问题需要构建不同的数学模型，比如经过研究，人们发现在有正式婚姻法的社会中，亲属关系的结构可用置换群的理论来加以说明.但归根到底正是数学的思想和方法在社会科学中的巧妙应用，才能摒弃随意性的猜测和吹毛求疵的个人判断，建立稳妥的科学理论.3、数学对人文科学的作用 对于人文科学，有许多种不同的定义，一般认为是关于人类价值和精神表现的人文主义的学科，而人文主义

23、则是指认为人和人的价值具有首要意义的思想态度.,第四节 哲学对数学的影响和数学对哲学的影响,自古以来，数学与哲学的联系就非常密切.数学以其成果推动着人类哲学思想的发展；哲学则通过数学家而影响其研究成果的获得.本节就历史上的事例说明两者之间的相互影响与相互促进.,第四节 哲学对数学的影响和数学对哲学的影响,1、数学对哲学的影响 下面以三次数学危机为例，说明这些重大的数学发现对哲学思想的影响，从而影响哲学思想的发展.（1）第一次数学危机：的发现，这场危机所涉及的不仅是数学，而且也直接冲击着毕达哥拉斯学派关于“万物皆数”的自然观，也改变了哲学的发展方向.（2）第二次数学危机 这场危机不仅涉及微积分的

24、推理基础，而且引起了数学家关于数学理论真理性的标准的争论，也引起哲学领域的斗争.,第四节 哲学对数学的影响和数学对哲学的影响,（3）第三次数学危机 数学第三次危机在数学界引起很大的震动，使得数学处在一种进退两难的困境之中.这次危机向数学家提出一个问题：如何解决数学基础的可靠性和真理性问题？这不仅是技术问题，更是哲学问题，就是涉及对哲学理论中的无穷的认识问题.对这个问题的不同认识就产生不同的哲学观点，而在不同的哲学观点支配下就产生不同的具体解决方法.数学第三次危机的发生，引发了20世纪一场最为波澜壮阔的持续时间长达半个世纪的数学基础大论战.先后涌现了以策梅罗为首的公理集合论学派，以罗素为首的逻辑主义学派，以布劳维尔为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派.,第四节 哲学对数学的影响和数学对哲学的影响,2、哲学对数学的影响 哲学是通过数学家而影响数学的发展的，不管数学家是否愿意，他总是受一定的哲学思想的支配；问题是受哪一种哲学思想的支配，而这也决定他的思维方式，从而决定他的数学思想和数学.历史上有一些具体的事例可以用来说明哲学对数学的影响.数学的产生与发展归根到底是由生产和社会发展的需要决定的，但在一定时期，哲学思想也对数学的发展起过促进或阻碍的作用，从中可以看出哲学思想对数学的影响.首先是古希腊理性主义对数学的影响.还有欧洲中世纪基督教哲学对数学的影响.,