《收敛准则》PPT课件.ppt
《《收敛准则》PPT课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《收敛准则》PPT课件.ppt(61页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、1,2.4 收敛准则,2.4.1 单调有界原理 问题提出 收敛数列有界,但有界数列未必收敛。问有界数列外,还应增加什么条件,是结论成立?定理2.4.1(单调有界原理)单调有界数列必收敛。证 设数列xn单调增有界,即存在M,使得x1 xnxn+1 M 由确界原理,由 xn 构成的数集必存在上确界,对 0,存在xN,使得,当nN时,有 xN xn+亦即 xn+,即,2,例2.4.1 设 x10,,证明数列xn收敛,并求其极限。,,n=1,2,,解 因,,n=1,2,,又,表明xn+1 xn与xn xn 1同号,即xn+1 xn定号,故xn单调,由单调有界原理,xn收敛。记,3,对,求极限,则有,所
2、以,4,例2.4.2 设0 x11,,证明数列xn收敛,并求其极限。,,n=1,2,解 因 0 x11,设n=k时仍有 0 xk1,,,n=1,2,,由归纳法,数列xn 有界。,数列xn 单调减。由单调有界原理,知xn收敛,记,5,对,,n=1,2,,求极限,得,由此解得=0,于是,例2.4.3 设,证明数列xn收敛,并求其极限。,,n=1,2,解 因 0 x1 3,设n=k时仍有 0 xk3,,由归纳法,数列xn 有界。又,6,数列xn 单调增。由单调有界原理,知xn收敛,记,n=k,有xk+1xk0,则有,对,求极限,得,由此解得=3,于是,7,2.4.2 两个重要极限()在引进极限时,多
3、次提到我国的刘徽用割圆术求圆的周长问题。设圆的半径为r,内接正n边形,每边所对的圆心角为,,接正n边形边长为,,n时,,数列,的极限,应当存在,需给出证明,并求出其值。,8,的符号,几乎不可能,为此考虑两者的比值,令,先证数列,单调。计算,则上式为,9,继而,又,于是,所以,10,数列,单调增。,再证数列,有界性。,半径为r的圆,内接正n边形的面积为,必小于这个正n边形的外接圆的面积4r2,即,11,合上,数列,单调增有界。,故,收敛,记为。,这时,=圆的周长2r;故,=,引进弧度,则有,继而,特点,,是无穷小量。,这是第一个重要极限,12,()数列,证明(1)方法1:直接展开。,,单增有界。
4、,数列,,单减有界。,且,13,所以,,单增。,又因,14,合上,,单增有界。,(1)方法2:利用算术、几何均数,15,为证有界,由于,表明数列,单调减,16,于是,合上,,单增有界。,两种方法评述:方法1直观,且关于xn的极限有较好的估计,特别是给出,有界性证明方法。并且可以推测,17,方法2简洁但较抽象,在有界性证明中给出了数列yn,是单调减有界的结论。这是方法1所不具备的。,以后将证明,这种第六感觉是正确的。,18,第二个重要极限的特点:无穷小量,合上,极限,第二个重要极限,且由于,故,与无穷大量n,的乘积=1。,19,2.4.3 数列的子列 若数列yn 单调,当数列yn再增加有界这个条
5、件,则数列yn 必收敛。对于单调数列yn,还可以增加什么条件,代替有界条件,仍然保证数列yn 收敛。另外,所遇到的数列大多数都不具有单调性,如何使研究其收敛性问题得到简化?,例如,数列xn=,1,0,1,0,1,,能否用数列xn的第1项,第3项,第2k1项,,构成的数列x2k 1:1,1,1,是发散的,说明xn也是发散的?(结论:是可以),20,在所举的例中,称数列x2k 1是数列xn的子列;它的定义如下。定义 设数列xn,对于数列 nk,通项nk是正整数,且是严格递增的,则称 xn中按nk排列的数列,为数列xn 的子列。,21,注:数列nk除严格增外,还具有以下性质。,()nkk;()若nk
6、nl,必有 kl;,(),定理2.4.2(数列与子列的关系)数列xn收敛数列xn的任意子列都收敛。,()nkk;()若nknl,必有 kl;,证明“”(必要性)若数列xn收敛于a,,并设a是有限数,则有 0,N,当nN,恒有,是数,列xn任一个子列。由,22,当kN时,因nkk,故nkk,所以恒有,数列xn 一个子列,所以,“”(充分性)若数列xn任一个子列都收敛,记,收敛于有限数a。,这样一来,得到一个重要结论:若数列xn收敛于a,则数列xn任意子列都收敛于a。,23,也是数列xn 的子列,所以收敛。,另一方面,由必要性证明,可知a=b,矛盾!,显然,,是,的子列。,事实上,设xn 两个子列
7、,往证xn所有子列都收敛于数a。,分别收敛于,a,b,(ab),则取xn 子列,其中,是数集,按正整数大小顺序排列所成的数列。,24,得到数列xn 的子列,它不收敛于a。矛盾!,即00,N,n0N,有,再证,xn收敛于a。事实上,若xn不收敛于a。,取N1=1,n1N1,有,取N2 max2,n1,n2N2,有,取N3 max3,n2,n3N3,有,一般地,取Nk maxk,nk1,nkNk,有,同理可证,当a=,+,有相同的结论。,25,据此,很容易判断,推论()若xn存在不收敛的子列,则xn不收敛。,()若xn存在两个收敛的子列,,且,则xn不收敛。,等数列是发散的。,26,推论 数列xn
8、 收敛奇子数列x2n1与偶子数列x2n收敛,且,证明“”(必要性)显然。往证“”(充分性),由于,0,N1,当n N1,恒有,对上 0,N2,当n N2,恒有,取N=2max N1,N2,当n N,若n=2k,或n=2k1,必有k max N1,N2;因而恒有,即,同理可证,当a=,+,。,27,推论 若xn是单调的,且存在收敛的子列,证法一 不妨设xn是单调增的,则,则xn 收敛。且,也是单调,增的,并设,,a为有限数。,则 0,K,当kK,恒有,亦即,当然也有,28,取N=nK+1,当nN,由于nnnnK+1K,则有,亦即,所以,证法二 不妨设xn是单调增的,由于,收敛,,则,有界,即 M
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 收敛准则 收敛 准则 PPT 课件

链接地址:https://www.31ppt.com/p-5517561.html