《接触问题分析》PPT课件.ppt

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1、2023/7/15,1,第四章 接触问题分析,目的：以接触问题为例，介绍边界非线性问题。特点：与线性有限元方法比较，边界条件是待求的。,内容：,引言 经典的接触问题求解方法 数学规划方法求解接触问题,2023/7/15,2,引言（1/5),接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性连在一起的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲击来传递。,研究现状：简单的弹性接触问题在19世纪末Hertz就已经开始研究，但只有在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有了长足发展，并达到实用化程度。,接触实例：齿轮的齿间啮合；汽（气）轮机及发动机中叶片与轮盘的榫接；两物体的撞击（

2、动态接触）。,接触问题的特点：属边界非线性问题，边界条件不再是定解条件，而是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变，并与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。,2023/7/15,3,引言（2/5),研究内容：,对以上四方面内容，不少学者进行了研究，提出了不同的理论与方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。基于接触问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性，它一直是固体力学研究的热点。,接触模式问题：描述两接触体间的力的传递、描述不同载荷下接触状态的变化；（解决如何描述的问题）几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件；（解决到底以什么具体形式来描述、即

3、怎样描述？）摩擦定律问题：反映接触面上力与位移或压力与切向力之间的关系；求解方法问题：建立数学方程并加以求解。,2023/7/15,4,引言（3/5),研究内容浅析：,接触模式问题：解决接触面上接触力的传递问题。,点面（node-to-surface）接触模式：先将两接触体人为地分为主动体（master body）与被动体（slave body），并假定主动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点（不一定是网格结点）相接触。优点两接触体可根据自身情况剖分网格。缺点方法较复杂、编程难度大。,点点（node-to-node）接触模式：将两接触体的接触面分成同样的网格，使结点组成一一对应的结点对

4、，假定接触力的传递通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地按结点对来判断。优点直观、简单、易于编程。缺点对于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。,2023/7/15,5,引言（4/5),研究内容浅析:（续）,几何约束问题：与接触模式密切相关。实际上，在接触模式确定的同时，接触体边界的约束性也随之确定，即相应地以点对点形式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。,摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑（Coulomb）摩擦定律，其中的摩擦系数为常数。实际上，摩擦系数不仅取决于接触体的材料，而且与接触面光滑度、材料的加工过程、接触面润滑条件、表面压力等多种因素有关。即使是

5、同样的接触物体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理非常复杂，因此，目前仍然多采用库仑摩擦定律，只是将静、动摩擦系数分开处理。本章介绍接触问题的经典解法时，也采用库仑摩擦定律；介绍接触问题的数学规划解法时，将采用数学上表述更严谨的Klarbring广义摩擦定律。,2023/7/15,6,引言（5/5),研究内容浅析:（续）,求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精力。,数学规划方法：利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统总势能极值（或驻值）问题，其涉及的命题可表述为：,经典方法：利用有限元方法，通过迭代进行求解。,寻求一组位移矢量；使系统总势能 取驻值；并满足条件。,

6、目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法，即从各种变分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问题的控制方程。这是由于大型工程结构分析，大多都采用有限元方法，而经典方法仍然在此框架之内。本章则侧重介绍接触问题的数学规划解法，主要从可研究的角度考虑。,二次规划问题,线性互补问题,引入单边约束条件,2023/7/15,7,经典的接触问题求解方法（1/3),一般采用三个假设：,接触表面是凸的、连续的；接触表面服从库仑摩擦定律；接触模式是点点接触模式。,接触的A、B两物体(a)可能接触区；(b)接触区局部坐标系,(a),可能接触区,边界的接触状态（判定性条件）分别为：,r表示接触点对间的间

7、隙,2023/7/15,8,经典的接触问题求解方法（2/3),定解条件：,四类接触状态，对应的定解条件为：,1）开式,2）粘式,3）滑移,4）混合,（假定x 方向滑动）,2023/7/15,9,经典的接触问题求解方法（3/3),接触区有限元方程：,将定解条件代入，接触方程就成为定解问题。代入时可使用间接的接触单元法，也可直接代入。直接带入时的计算步骤,静力凝聚,等效刚度,接触区位移,接触区载荷,非接触区凝聚载荷,接触方程！,Trial-Error-Iteration过程：Step 1，试求解（trial）：假定初始的接触状态，然后依此获得相应的定解条件，以得到新的边界条件并求解，同时得到接触力

8、；Step 2，计算误差（error）：若新得到的接触力与接触位移满足初始假定的接触状态，则为真解。否则转入Step 3；Step 3，迭代（iteration）：更新接触状态及相应的定解条件，转入Step 1进行迭代。,经验表明，接触迭代往往只有几步就可很快收敛，这种试验（trial）误差（error）迭代（iteration）的方法，又称为经典方法，由于归根到底求解的仍然是 型方程。,注意：引入定解条件需考虑保持刚度矩阵的良好形态，一方面为了与所选求解器一致，一方面可适用于解决大型问题。,2023/7/15,10,数学规划方法求解接触问题（1/17),概述：,接触问题的共有特征：接触状态（

9、包括接触区的大小、压力分布、位移、变形等）分析前未知。,数学规划解法：从数学角度，接触问题是一个优化问题，实际的接触状态就是该优化问题的最优解。,迭代法：即试验误差迭代的格式。,二维弹性体为研究对象，较系统地阐述接触问题的数学规划解法：接触问题的数学规划方法描述；无摩擦接触问题的数学规划方法；有刚体自由度的弹性接触问题；摩擦接触问题的数学规划方法。,2023/7/15,11,数学规划方法求解接触问题（2/17),接触问题的势能变分原理及其等价形式,边界分为给定外力边界，位移边界以及可能发生接触的边界。,1）力边界条件,2）位移边界条件,构造公共接触区，使以后对接触区上所做的定义和运算都在 上进

10、行。确定 的方法很多，在大变形讨论中会显示出各自的优劣。对于小变形问题，各种方法都很接近。确定后，随之可确定接触区的公共法线方向 和切线方向。,2023/7/15,12,数学规划方法求解接触问题（3/17),接触问题的势能变分原理及其等价形式（续）,接触问题的接触条件非穿透性条件（non-penetration condition）,on,A、B两物体在公法线方向的位移分量,代表它们在法线方向的间隙!,系统的总势能可表示为,势能原理表述为这样一个命题（proposition）：在所有满足几何关系、位移边界条件及接触条件的位移场中，真实解使得系统的总势能取最小值。,数学上称为单边（unilate

11、ral）约束条件！,2023/7/15,13,数学规划方法求解接触问题（4/17),接触问题的势能变分原理及其等价形式（续）,借助于拉氏乘子法，引入变位（dislocation）势,接触势部分,剩余变量,构造 Lagrange 泛函,势能原理,拉氏泛函的极大极小（鞍点）问题。,等价,下面予以证明,2023/7/15,14,数学规划方法求解接触问题（5/17),接触问题的势能变分原理及其等价形式（续）,对宗量 取变分,in,on,on,对宗量 取变分,对 取变分，最后得泛函的库-塔克（Kuhn-Tucker）最优化条件,经一系列复杂的推导，可将拉氏乘子 识别为,（平衡方程）,（力边界条件）,（拉

12、氏乘子？）,（单边约束条件）,2023/7/15,15,数学规划方法求解接触问题（6/17),无摩擦接触问题的数学规划方法,前面是积分意义上的一般原理，本节在离散意义上进行分析。,系统势能离散成：,接触势离散成：,接触力插值函数,接触区位移插值函数,位移向法向的转换矩阵,重新记做,经组装,相应地，非穿透性条件离散、组装成：,2023/7/15,16,数学规划方法求解接触问题（7/17),无摩擦接触问题的数学规划方法（续）,这样，Lagrange函数离散成,静力凝聚假定两物体均无刚体位移？,（略去了剩余变量 的贡献）,接触问题的特征量是接触区的相对位移，而不是绝对位移！,第二次凝聚,问题变成下列

13、标准的二次规划问题,设计变量,2023/7/15,17,数学规划方法求解接触问题（8/17),无摩擦接触问题的数学规划方法（续）,引入松弛变量,取变分,假定正定,典型的线性互补问题，可采用成熟的方法，如Lemke法和Graves主旋转法，进行求解。,取B的刚度矩阵为无限大,可处理弹性体与刚体（B）的接触问题。,（线性的）,（互补的）,（非负的）,缺一不可！,2023/7/15,18,数学规划方法求解接触问题（9/17),有刚体自由度的弹性接触问题,实际上，接触的两物体之一在将要接触的方向上往往存在刚体自由度，在研究接触时不能回避。刚体位移也是接触问题中的待求变量，而且，是一个自由变量，不像接触

14、位移那样受到限制。本节将通过求解线性互补问题，一次性地同时求得刚体位移和接触状态。,考虑物体 I、II 接触，其中物体 I 存在刚体位移，但整个系统有足够的约束。此时，离散后的总势能为,去除刚体位移后物体 I 的位移,外力 在刚体位移 上做负功增加的势能,力 在广义位移 负方向上的分量,最小势能原理可描述成下列数学问题：,Find,2023/7/15,19,数学规划方法求解接触问题（10/17),有刚体自由度的弹性接触问题（续）,引入拉氏乘子，得到 Lagrange 函数为,利用广义Kuhn-Tucker最优条件,先求后两式的标准线性互补问题，再回代第一式求出自由的刚体位移。,和 非负且互补,

15、可同时求出刚体位移和接触状态的标准线性互补问题。,还可化为更简洁的形式,2023/7/15,20,数学规划方法求解接触问题（11/17),摩擦接触问题的数学规划法,接触问题分析中还需考虑由于相对滑动或趋势产生的摩擦力。摩擦力是非保守力，其形成机理很复杂，与其他量的关系也众说纷纭。,本节从次微分概念出发，建立广义摩擦定律，针对弹性小变形接触，导出一新型线性互补问题，并给出具体的求解步骤。,五个定义,定义1：凸集,定义2：凸函数,凸函数的原始定义中用到上方图概念，不便于用来进行判断。这里介绍的是凸函数定义的等价形式（充要条件）。,2023/7/15,21,数学规划方法求解接触问题（12/17),摩

16、擦接触问题的数学规划法（续）,五个定义（续）,定义3：次微分（sub-differentiation）,且,B单位球,2023/7/15,22,数学规划方法求解接触问题（13/17),摩擦接触问题的数学规划法（续）,五个定义（续）,定义4：法线锥（normal cone）,定义5：指示函数（indicator function）,2023/7/15,23,数学规划方法求解接触问题（14/17),摩擦接触问题的数学规划法（续）,广义摩擦定律,引入两个函数,接触切向力,接触法向力,摩擦系数,经典摩擦定律,不足：,经典摩擦定律无法保证摩擦定律中在切向所要求的,因而，这一要求只能通过迭代修正，才能最终

17、确定，进而获得实际的接触状态。由于迭代的不可避免，给求解带来不便。,2023/7/15,24,Klarbring等指出，切向滑动速率属于超势 对 的次微分，即,定义超势 为闭集 的指示函数，即,数学规划方法求解接触问题（15/17),摩擦接触问题的数学规划法（续）,广义摩擦定律（续）,构造闭集（也可以证明是凸集）,结合以上所做的五个定义，经推导可得,对时间积分,切向间隙,以上讨论的是二维情形，三维情形可仿此讨论。,2023/7/15,25,数学规划方法求解接触问题（16/17),摩擦接触问题的数学规划法（续）,设A、B两物体在外力作用下发生接触，凝聚形式的有限元方程为,接触区位移,外力等效载荷

18、,接触力,接触区结点一一匹配,记相对位移,2023/7/15,26,数学规划方法求解接触问题（17/17),摩擦接触问题的数学规划法（续）,最后考虑接触条件,法向单边约束条件,切向广义摩擦定律,（局部坐标描述）,（局部坐标描述）,向整体坐标变换,参数,含参数，并且非负条件中涉及对参数微分，因而是一个含参数的混合型线性互补问题。这类问题不能直接前面提到的方法求解，可采用根据Kaneko方法推广的算法，详见有关文献。,2023/7/15,27,本章小结,接触问题边界非线性问题接触边界（状态）待求,求解方法经典方法，数学规划方法,经典方法先假设接触状态，接下来变成定解问题加以求解，再用判定性条件判断

19、是否需要通过迭代修正假设。是一种典型的Trial-Error-Iteration方法。,数学规划方法先建立接触问题的数学规划问题，再转化成线性互补问题求解。涉及了：1）无摩擦接触问题可化为标准线性互补问题 2）有刚体自由度问题可两步求解，亦可化成标准问题 3）有摩擦接触问题引入了广义摩擦定律，最终化成了含参的混合型线性互补问题。,2023/7/15,28,思考题,举出工程实际中常见的接触现象，并分析它们的接触类型。举出生活与工程实际中利用和避免摩擦的例子，并加以详细分析。举出实际接触问题中可能存在刚体位移的实例，并说明对其中刚体位移进行专门处理的必要性。分析Klarbring广义摩擦定律与Coulomb摩擦定律的联系与区别。,2023/7/15,29,谢谢！请提问、进行讨论！,