《拉普拉斯变换》PPT课件.ppt

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1、主要内容,第一节 拉普拉斯变换简介第二节 拉普拉斯变换的性质第三节 拉普拉斯反变换第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程,拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。,第一节 拉普拉斯变换简介,原函数(Original Function),象函数(Image Function),一、拉普拉斯变换的定义,设时间函数,则 的拉普拉斯变换定义为,一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：,(1)在t0时，,(2)在t0的任一有限区间内，是分段连续的；,如果复变函数 是时间函数 的拉氏变换，则 称为 的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为：,二、典型时间函

2、数的拉氏变换,单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。,常用的时间函数有：,（一）单位脉冲函数,单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄拉克函数(Dirac Function)，其变化曲线如图2-1-1，,数学表达式为：,其拉氏变换为,函数具有如下重要性质,任意连续函数,（二）单位阶跃函数,单位阶跃函数(Unit Step Function)又称位置函数通常用 或1(t)来表示。其变化曲线如图2-1-2所示。,数学表达式为,的拉氏变换为,（三）单位斜坡函数,其拉氏变换为,单位斜坡函数(Unit R

3、amp Function)又称速度函数，其变化曲线如图2-1-3所示。,数学表达式为,（四）单位加速度函数,其拉氏变换为,单位加速度函数（Unit Acceleration Function）又称抛物函数(Parabolic Function)，其变化曲线如图2-1-4。,数学表达式为,其拉氏变换为,（五）指数函数,指数函数(Exponential Function)分为指数增长函数和指数衰减函数。变化曲线如图2-1-5所示。,数学表达式为,r(t)=eat(指数增长函数)r(t)=e-at(指数衰减函数),其中a 0。,其拉氏变换为,（六）正弦函数,其拉氏变换为,（七）余弦函数,(八)幂函数

4、,其拉氏变换为,注:欧拉公式,一、线性性质(Linearity),第二节 拉普拉斯变换的性质,线性性质指同时满足叠加性和齐次性。,齐次性(Homogeneity Property)：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则。,则,例2-2 求。,解：,二、延时定理（Time-Shift Theorem）,若有，对任意实数 a,则,三、周期函数的拉氏变换,若函数 是以T 为周期的周期函数,即，则有,四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem),若，对于任意常数a(实数或复数)，有,五、时间尺度改变性质(Change of Time Scale),时间尺度

5、改变性质又称相似定理或称尺寸变换特性(Scaling Property)或称压扩特性(Companding Property)。,若，a 是任意常数，则,六、微分性质(Differentiation Property),f(0)为时间函数 f(t)在t=0处的初始值。注意，本书假设 f(0-)=f(0+)=f(0)。,推论 若，则,特别地，当 时，有,七、积分性质(Integration Property),其中,当初始条件为零时，,八、初值定理(Initial Value Theorem),若，且 存在，则,九、终值定理(Final Value Theorem),解：由初值定理和终值定理得,

6、例2-8 已知（a0），求。,十、复微分定理(Complex-Differentiation Theorem),十一、复积分定理(Complex-Integration Theorem),十二、卷积定理(Convolution Theorem),两函数 f 1(t)和f 2(t)的卷积定义为,卷积满足以下性质：,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,拉氏变换的卷积定理：,则,第三节 拉普拉斯反变换,已知象函数，求其原函数 的变换称作拉氏反变换（Inverse Laplace Transform），记为：，并定义为,通常求拉氏反变换的方法有：,(1)查表法,(3)部分分式法,(2)有理函数法

7、,一般象函数可以表示成如下的有理分式,式中，和 分别为F(s)的极点和零点，它们是实数或共轭复数，且nm。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下两种情况。,一、F(s)无重极点的情况,当F(s)无重极点时，即只有各不相同的单极点（Distinct Poles）。F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：,因此,式中，ci 为待定常数，称为F(s)在极点 pi 处的留数.,例2-11已知,试求原函数。,解：将 F(s)写成部分分式形式,式中,于是，有,二、F(s)有重极点的情况,假设F(s)有 r 个重极点(Multiple Poles)p1，其余极点均不相同，则F(s)可表示为,

8、式中,为重极点对应的待定系数,求法如下：,其余系数 的求法与第一种情况所述的方法相同，即,因此，F(s)的拉氏反变换为,例2-12 已知，试求原函数 f(t)。,解：将F(s)写成部分分式形式，有,式中，c11,c12,c13为三重极点s=-2所对应的系数，根据公式式计算,c2,c3为单极点对应的系数，根据公式计算,于是其象函数可写为,查拉氏变换表可求得原函数为,第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程,利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：,(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；,(2)由代数方程求解出象函数；,(3)取拉氏反变换，得微分方程解。,解：,将初始条件代入上式得,例2-15 求微分方程,满足初始条件,的解。,方程两边取拉氏变换得,即,利用部分分式法得,作 业(P44)2-7（2）,谢谢！,