《微分方程一阶》PPT课件.ppt

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1、当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37按照牛顿冷却定律(物体的温度的变化率与该物体与周围介质温度之差成正比)开始变凉。假设两小时后尸体温度变为35，并且假定周围空气的温度保持20不变。(1)求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间t(以小时为单位)的函数随时间变化的；(2)画出温度时间曲线；(3)最终尸体的温度如何?用图像和代数两种方式表示这种结果；(4)如果尸体被发现时的温度是30，时间是下午4时，那么谋杀是何时发生的?,微分方程,引例1,分析：要建立尸体的温度 与时间 的函数关系,已知：物体冷却的速度与当时的物体温度和周围环境,温度之差成正比。,得到,-微分方程,解,由已知,-微分方程

2、,解方程，方程两边积分,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,一、定义,第一节 微分方程的概念,一阶,一阶,二阶,一阶,一阶,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导,数的阶数.,的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,二、微分方程的阶与解,一阶微分方程的初始条件:,二阶微分方程的初始条件:,(3)初始条件:用来确定通解中任意常数取值的条件.,称为可分离变量的微分方程.,解法,若满足,一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,第二节 一阶微

3、分方程,若满足,例 求微分方程,解,分离变量,两端积分,通解为,解,分离变量,两端积分,（可以是隐式解，即用方程表示）,分离变量,两端积分,通解为,解:,分离变量,两端积分,通解为,由：,特解为,一阶线性微分方程的标准形式:,方程称为齐次的.,线性：指的次数都是一次,二、一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1.解线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),采用常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,设 是非齐次方程的解,2.解线性非齐次方程,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,例,原方程的通解为：,解1：,齐次通解为,常数变易法设,带入原方程求得,为非齐次的解,例,解1：,通解为,常数变易法设,带入原方程求得,原方程的通解为：,为非齐次的解,解2,例,例,解2：,一阶线性,练习：解下列微分方程,原方程的通解为：,分离变量,一阶线性,