《微元法的应用》PPT课件.ppt
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1、微元法的应用,一、学习目标,微元法在高考中的地位:微元法是一种深刻的思维方法,先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体的目的。关于微元法的题目,连续几年出现在江苏高考物理试卷中和各大高校的自主招生考试中。微元法在教材中的广泛应用:在处理匀变速直线运动的位移、瞬时速度,曲线运动速度方向、万有引力由“质点”向“大的物体”过渡、探究重力做功、变力做功、推导第二宇宙速、推导正弦式交流电峰值和有效值的关系等等,微元法的一般思维程序,例1如图1所示,一个质量为m的钢性圆环套在一根固定的足够长的水平直杆上,环的半径略大于杆的半径。环与杆之间的动摩擦因数为。t=0时刻给环一个向右的初速度v0,同时对环施
2、加一个方向始终竖直向上的力F,已知力F的大小为F=kv,(k为大于0的常数且已知,v为环的运动速度),且有kv0mg,t=t1时刻环开始沿杆做匀速直线运动。试求:在0t1时间内,环沿杆运动的距离。,(一)微元法在力学中的应用,环做加速度减小的减速运动,最后匀速,解析:kv1=mg,v1=mg/k,环在任意时刻t 的加速度 a=(kvmg)/m,式改写为 v=k vt/mgt,在v0v1区间内对式各项求和有 v=kx/mgt,由式可得 v0v1=kx/mgt1 式整理得 x=m(v0mg/k+gt1)/k,=k x/mgt,取一段时间微元t0,a=v/t,求:在0t1时间内,环沿杆运动的距离。,
3、练习1从地面上以初速度v0竖直上抛出质量为m的球,若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比,t1时刻到达最高点,再落回地面,落地时速率为v1,落地前球已经做匀速运动,求:作出球运动的速率随时间变化的图象;球上升的最大高度,设上升至速度为v时加速度为a,ma=mg kv,对变化的速度、位移从牛顿定律出发,采取先微元、再求和的方法,并注意换元的技巧。,取一段时间微元t,a=v/t 有:,例2如图所示,一个由绝缘细线构成的刚性轨道水平放置,轨道OCD部分光滑,是以B为中心,l为半径的半圆,AB2l,直轨道DE部分是粗糙的且足够长。轨道上A处有电荷量为Q1的正点电荷,B处有电荷量为Q2的负点电荷(|Q
4、2|Q1)。一个质量为m电荷量为q的小环套在轨道上,环与轨道间的动摩擦因数为。已知点电荷产生电场时,若以无穷远为零势面,其电势可表示为=kQ/r,Q为场源电荷,r为与电荷的距离。(1)若小环初始位置在O处,受到轻微扰动后沿半圆轨道加速运动,求小环运动至D处的速度大小v0。,(二)微元法在静电场中的应用,解:(1)根据点电荷产生的电势公式可知,Q2在O、D两处产生的电势相等,小环从O运动到D只有点电荷Q1对环做功,由动能定理可得 WOD=q(OD)=mv02/2 即 kQ1q/l kQ1q/3l=mv02/2解得,例2(2)若小环到达D点后沿直轨道DE运动。设小环在两个点电荷Q1、Q2共同作用下
5、所受库仑力与速度大小成正比,比例系数为k,经过时间t0静止,求小环在直轨道上运动的距离x。,解析:设某时刻t小环运动速度为v时加速度为 a=(mg+kv)/m,取一段时间微元t,a=v/t 有:,v=(gt+kvt/m)=(gt+kx/m),v=(g t+k/m x),v0=gt0kx/m x=m(v0gt0)/k,练习2,电量Q均匀分布在半径为R的圆环上(如图3所示),求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度和电势,图3,解析:选电荷元,空间元,注意矢量和标量不同的叠加方法,它在P点产生的电场的场强的x分量为:,根据 对称性,电荷元在P点的电势为,(三)、微元法在电磁感应中的应用,例3
6、.如图4,两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成角,导轨间距为d,两导体棒a和b与导轨垂直放置,两根导体棒的质量都为m、电阻都为R,回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度的大小为B。在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动,同时将b由静止释放,b经过一段时间后也作匀速运动。已知d=1m,m=0.5kg,R=0.5,B=0.5T,=30,g取10m/s2,不计两导棒间的相互作用力。,(三)、微元法在电磁感应中的应用,为使导体棒b能沿导轨向下运动,a的速度v不能超过多大?,解析:设a的速度为v1,由于b初态速度为零,则 I=E1/2R=Bdv1/2R
7、对b:FA=BId=B2d2v1/2R b要下滑 FAmgsin 将式代入式得:v110m/s,(三)、微元法在电磁感应中的应用,例3.如图4,两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成角,导轨间距为d,两导体棒a和b与导轨垂直放置,两根导体棒的质量都为m、电阻都为R,回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度的大小为B。在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动,同时将b由静止释放,b经过一段时间后也作匀速运动。已知d=1m,m=0.5kg,R=0.5,B=0.5T,=30,g取10m/s2,不计两导棒间的相互作用力。若a在平行于导轨向上的力F作用下,以v
8、1=2m/s的速度沿导轨向上运动,试导出F与b的速率v2的函数关系式并求出v2的最大值;,解析:设a的速度为v1,b的速度为v2,回路电流为I,则:I=(E1+E2)/2R=Bd(v1+v2)/2R 对a:mgsin+FA=F mgsin+B2d2(v1+v2)/2R=F 代入数据得:F=3+v2/4(N)设b的最大速度为vm,则有:B2d2(v1+vm)/2R=mgsin代入数据得:vm=8m/s,(三)、微元法在电磁感应中的应用,在中,当t=2s时,b的速度达到5.06m/s,2s内回路中产生的焦耳热为13.2J,求该2s内力F做的功(结果保留三位有效数字)。,解析:对b:mgsinFA=
9、ma 即 mgsinB2d2(v1+v2)/2R=ma 取一段时间微元t,a=v/t,mg sinB2d2(v1+v2i)/2R=mv2i/t 代入数据并整理得:8v2i=2v2i/t 等式求和得:8tv2it=2v2i 8tx2=2v2 将t=2s,v2=5.06m/s代入上式得:x2=5.88m,解法1:a的位移:x1=v1t=22=4m由动能定理知:mv22/20=WFmgx1sinmgx2sinWA WA=Q 代入数据得:WF=14.9J,解法2:棒a有一很小位移x1时,力F做的功为Wi=Fix1=mgsin30 x1+B2d2(v1+v2i)x/2R代人数据得 Wi=3x1+0.25
10、v2ix1 式中v2i可由式求得:v2i=82v2i/t得:Wi=3x1+(82v2i/t)0.25x1=5x10.5v2 ix1/t式中v2i为棒b在t时间内的速度增量,x1为棒a在t时间的位移,所以x1/t=v1=2m/s,代入式并求和得 WF=5x10.5 v1v2i=5 x10.5 v1v2=54J15.06J=14.9J,两种解法,其中第二种解法并未使用“2s内回路中产生的焦耳热为13.2J,”这一条件,所以,这是一个有多余已知条件的高考模拟题。在条件充分的情况下,微元法并不是唯一选择,不要形成遇到电磁感应必用微元这样的先入为主的印象,练习3-1如图5所示,两平行光滑的金属导轨AD、
11、CE相距L=1.0m,导轨平面与水平面的夹角=30,下端用导线连接R=0.40的电阻,导轨电阻不计PQGH范围内存在方向垂直导轨平面的磁场,磁场的宽度d=0.40m,边界PQ、HG均与导轨垂直质量m=0.10kg、电阻r=0.10的金属棒MN垂直放置在导轨上,且两端始终与导轨电接触良好,从与磁场上边界GH距离也为d的位置由静止释放,取g=10m/s2(1)若PQGH范围内存在着磁感应强度随高度变化的磁场(在同一水平线上各处磁感应强度相同),金属棒进入磁场后,以a=2.5 m/s2的加速度做匀加速运动,求磁场上边缘(紧靠GH)的磁感应强度;(2)在(1)的情况下,金属棒在磁场区域运动的过程中,电
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