《弹塑性力学》PPT课件.ppt

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1、弹塑性力学,河北工业大学土木工程学院王贵君 博士教授,绪论,弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学科。材料受力三个阶段：弹性 塑性 破坏 弹性力学 塑性力学 破坏力学 断裂力学等,弹塑性力学基本假设,物体是连续的，其应力、应变和位移都可用连续函数来描述；物体是均匀和各向同性的，每一个部分都具有相同的性质，物理常数不随位置和方向变化而变化；变形是微小的，变形后物体内各点的位移都远小于物体本来的尺寸，因而可忽略变形所引起的几何变化。,弹塑性力学问题的求解方法,根据几何方程、物理方程和运动（或平衡）方程以及边界条件和初始条件，解出位移、应变和应力等的表达式。精确解

2、法，即能满足弹塑性力学中全部方程度解；近似解法，即根据问题的性质，采用合理的简化假设，从而获得近似结果。包括数值解法。,第1章 应力分析,应力状态三维应力状态分析三维应力状态的主应力最大剪应力等倾面上的正应力和剪应力应力罗德参数与应力罗德角应力张量的分解平衡微分方程,1.外力,体力、面力,(1)体力,弹性体内单位体积上所受的外力,体力分布集度,（矢量）,X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3,说明：,(1)F 是坐标的连续分布函数；,(2)F 的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等),(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。,11 应力状态,(2)面力,作

3、用于物体表面单位面积上的外力,面力分布集度（矢量）,面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2=1Pa(帕),1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕),说明：,(1)F 是坐标的连续分布函数；,(2)F 的加载方式是任意的;,(3)的正负号由坐标方向确定。,2.应力,(1)一点应力的概念,内力,(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2)由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),M,(1)M点的内力面分布集度,(2)应力矢量,-M点的应力,的极限方向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,应力分量,应力的法向分量,正应力,应力的切向分量,剪应力,单位:,与面力相同,MPa(兆帕)

4、,应力关于坐标连续分布的,斜截面上的应力,斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力,平面应力状态,主应力与应力主向最大剪应力,摩尔应力圆,平面应力与平面应变问题,平面应力问题,简化为图示等厚度板受载情况-平行于板面且沿板厚均匀分布 前后板面没有载荷；此种情况即属平面应力问题。,2.平面应力问题的特征,1.引例：,墙壁、座舱隔板等,薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直于中面的任一直线为z轴，建立坐标系如图所示。因板面上（z=t/2）不受力，所以有：,根据剪应力互等定理可知,由于板很薄，外力又不沿厚度变化，应力沿板的厚度又是连续分布的，因此，可以认为在整板的所有各点都有：,所以,在薄板

5、中只剩下平行于x、y面的三个应力分量，即：,此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图,对于仅有平行于xy面的三个应力分量的均质薄板类问题，就称为平面应力问题。,平面应变问题,简化为等长度很长的截面柱体,载荷垂直于长度方向，且沿长度方向不变作为无限长柱体看待。,3.平面应力问题的定义,1.引例:,水坝、隧洞等,2.平面应变问题的特征,(1)位移分量,对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移的，因此,对任一截面都应有：,(2)应变分量,根据对称关系和剪应力互等定理有,(3)应力分量,对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。,3.平面应变问题

6、的定义,对于无限长柱体，所有的应变与位移都发生xoy面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面应变问题,小结：平面问题基本未知量,平面应力问题 平面应变问题,1.应力分量,（3个）,独立的（3个）,2.应变分量,独立的（3个）,（3个）,3.位移分量,独立的（2个）,（2个）,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,12 三维应力状态,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的法线方向；,第2个下标 y 表示的方向.,应力正负号的规定：,正应力 拉为正，压为负。,剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时

7、为正。,与材力中剪应力正负号规定的区别：,规定使得单元体顺时转的剪应力为正，反之为负。,在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题,四面体受力图,在某点处取出一无限小四面体。它的三个面分别与x、y、z三个轴相垂直。另一面即为任意倾斜面，其法线为v，其方向余弦为l、m、n。,pv,利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应力pv作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量分量来表示。上式可作为力的边界条件的表达式。,13 三维应力状态的主应力,在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正

8、应力便称为主应力。如果v方向为主应力平面的方向，则有pvx=x l，pvy y m，pvz=z n，则得 几何关系,l,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零，即展开行列式得到 其中,I1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力张量不变量，分别称为应力张量第一（一次）不变量、第二（二次）不变量与第三（三次）不变量。解一元三次方程，得三个主应力1,2,3。I1、I2、I3可用主应力表示如下：求解主应力时，先求出各应力张量不变量，再解一元三次方程。,【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确定，即试求主应力的值。【解】求各

9、应力张量不变量，I1=3，I2=-6，I3=-8，代入一元三次方程得解得,斜截面上的正应力和剪应力,设斜截面上的正应力为v,则由投影可得若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序按x,y,z排列，则总应力为斜截面上的剪应力为,三维应力圆,三维应力状态下任意斜截面上的正应力和剪应力，在以三个主应力组成的应力圆所围成的阴影的范围之内。最大剪应力等于最大和最小正应力值之差的一半。,14 最大剪应力,主应力平面上的剪应力为零；最大剪应力位于坐标轴分角面上，而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一半。,在主应力坐标系中（1,2,3分别代表1,2,3）主应力与最大剪应力作用面及其方向余弦,1-5

10、等倾面上的正应力和剪应力,等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（5444）的面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面法线的方向余弦l,m,n可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力,主应力空间：以三个主应力为轴而组成的笛卡儿坐标系,若将1,2,3轴在等倾面上投影，则在等倾面上可以得到互相成120角的三个坐标轴。,等倾面及其上应力,向量 在等倾线上的投影 0向量 在等倾面上的投影 00与轴1在等倾面上的投影之间的夹角称为应力状态的特征角，cos为应力形式指数。,等倾面上一点的应力状态,偏平面,如果等倾面上的正应力0=0，？如果0=0，等倾面过原点，则

11、此等倾面称为平面。平面上没有正应力，只有剪应力，只有应力偏张量，所以平面又叫偏平面。,应力强度 或广义剪应力,0 为平均应力或静水压力，只引起物体体积的变化，i 或0只引起物体形状的变化，与应力状态有关。,应力偏量分量、主应力用应力强度、平均应力与应力状态状态角表示,应力偏量 主应力 s1+s2+s3=0 1+2+3=30,应力星圆,应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以2i/3为半径所画的圆。由圆心O点开始作与轴O成 角的直线，则此直线与圆的交点在。轴上的投影即为1。由OA线顺时针旋转120作一直线，此直线与圆的交点在 轴上的投影即为2。而由OA线顺时针旋转240所作的直线与圆的交点在 轴

12、上的投影即为3。,应力星圆,应力状态与应力星圆,【例】已知应力状态为：1=150MPa,2=50MPa,3=-50MPa，试画出应力星圆。【解】0=(150+50-50)/3=50MPa 故，=30。,应力星圆,最大剪应力用i 和表示,应力星圆,剪应力2的绝对值最大。,1-6 应力罗德参数与应力罗德角,在 平面上建立直角坐标系Oxy，取y轴方向与2轴在 平面上投影2 一致。矢量Op在坐标轴1上的投影长度为Op1=1，在2上的投影长度为Op2=2，在3上的投影长度为Op3=3。矢量Op与x轴夹角为应力罗德角。,应力罗德参数与应力罗德角和应力状态特征角的关系,r,r,应力罗德参数与应力罗德角,应力

13、罗德角,应力罗德参数,洛德角，平面上的剪应力 与2轴的垂线间的夹角；洛德参数，。,应力罗德参数,-30 30-1 1,应力状态与应力罗德角,【例】已知一点的主应力1 32 33，试求该点的应力形式指数cos、应力罗德参数、应力状态特征角、应力罗德角，并在平面（等倾面）上画出两个角度之间的关系。,如果1 33，2 23，则,1 32 33,1-7 应力张量的分解,一点的应力状态可以用6个应力分量来表示，在给定的受力情况下，各应力分量的大小与坐标轴的方向有关，而它们作为一个整体用来表示一点应力状态的这一物理量（称为应力张量）则与坐标的选择无关。所谓张量是指在坐标变换时，按某种指定形式变化的量。张量

14、的分量随坐标的变换而变化。应力张量是二阶张量。应力张量是二阶对称张量。,应力张量,应力分量,应力偏量张量,克罗内克尔（Kronecker）符号,应力张量的分解,将应力状态分解为球形应力张量和应力偏量，球形应力张量表示各向均匀受力状态，有时也称静水压力状态。将原应力状态减去静水压力状态即可得到应力偏量状态。球形应力张量引起物体体积的改变，而应力偏量则引起物体形状的变化。,应力偏量张量不变量,1-8 平衡微分方程,一均质的杆，悬挂在固定端，受自重的作用。取x方向的静力平衡由此得积分并利用x=0时=0的边界条件，得应力解答=gx。,悬挂的均质杆,在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的

15、长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以连接六面体前后两面中心的直线ee 为矩轴，列出力矩的平衡方程Mee=0整理，并略去微量后，得同理，可以得出,剪应力互等定理,剪应力互等定理,列出x轴方向的力的平衡方程,由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方程。化简，除以dxdydz，得,空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）,空间问题的平衡微分方程,如物体处于运动状态，根据达朗伯(dAlembert)原理，在体力项中引入惯性力:,运动微分方程,柱坐标下平衡微分方程,对于圆柱形或圆筒形的物体采用柱坐标比较方便。在圆柱坐标中，任一点的位置都是用坐标r、和z表示的。取微元体drddz，利用 三个方向大静力平衡方 程，求得坐标下平衡微 分方程。,极坐标时，与z有关的量为0轴对称问题,