《弯曲变形例题》PPT课件.ppt

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1、1,例1 求如图示等截面直梁的挠曲线方程、用积分法求最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,解：,x,以x为自变量的积分,以(L-x)为自变量的积分转角的定义为在某一点出的倾斜度；转角的真正含义。,2,应用位移边界条件求积分常数,以x为自变量的积分,以(L-x)为自变量的积分,其结果为积分常数的不同,3,写出弹性曲线方程并画出曲线,以x为自变量的积分,以(L-x)为自变量的积分,4,最大挠度及最大转角,B的符号为负，表示截面的转角是顺时针方向的；而挠度fB是负的，表示B点的挠度是向下。,5,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,x,6,用边界条件求

2、积分常数,x,写出AB段的挠曲线方程和转角方程并画出曲线图,x,7,最大挠度(x=L)及最大转角(*BC为直线，故B=C),因为B很小，故f2=B(L-a),8,外力都作用在纵向对称面内的弯曲叫平面弯曲受外力作用的梁其横截面上-弯曲内力(剪力，弯矩)横截面上剪力和弯矩的求法均布载荷，剪力，弯矩三者之间的关系,梁的纯弯曲和横力弯曲；弯曲正应力的求法和分布,中性轴的曲率半径的计算,梁横截面上任意一点正应力的计算,某一横截面上最大正应力的计算,梁的最大正应力的计算,横力弯曲时，矩形，圆形，工字钢等截面上剪应力的分布和计算。一般情况下，由正应力强度条件得出结构尺寸，由剪应力强度条件对构件进行校核,9,

3、度量梁变形的两个基本位移量:挠度 转角挠曲线及其近似微分方程求法弯矩方程，转角，挠度之间的关系怎样用积分法求梁的变形：注意式中的积分常数C，D利用边界条件确定积分常数：在铰支座上，挠度v等于零在固定端，挠度v和转角均为零在弯曲变形的对称点上，转角等于零挠曲线是一条光滑和连续的曲线,10,求弯曲变形的二个方法：1.用直接积分法求梁的弯曲变形（积分常数，分段）,挠曲线方程：,挠曲线方程一次积分：,挠曲线方程二次积分：,2.用叠加法求弯曲变形 载荷叠加、结构固化 是否需要结构固化，要视情况而定；目的就是把复杂的简单化，并且挠度和转角可 以在表中直接查取。,11,叠加法可分为载荷叠加 结构形式叠加（逐

4、段刚化法）无论用那种方法叠加，目的就是要把原来复杂的变成简单的，并且使其挠度和转角都可以在表7.1中直接查取的载荷形式。,12,用叠加法求梁变形时的几个注意点,fC,13,例3 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表(7.1)序号5，7查得：,14,叠加,15,例4：若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩等于多少？,16,解：,表7.1中序号2,表7.1中序号1,17,例5-1：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,18,解：,表7.1中序号3,表7.1中序号3,19,解：,表7.1中没有,表7.1中序号7,表7.1中序号4，挠度向上为正,例5-2：欲使AD梁C点挠

5、度为零，求P与q的关系。,20,例6-1 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中点C的挠度。,解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和,图(b)中点C的挠度为:,图(c)中点C的挠度为零；因为载荷关于C反对称。,叠加:,第七章,21,例6-2 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中点C的挠度。,解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和,图(b)中点C的挠度为:,图(c)中点C的挠度为：,叠加:,+,=,第七章,22,例7：求图示梁B、D两处的挠度 vB、vD。,23,解：,解除B点约束以反力qa代替,24,例8：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、vD。,25,解：,26,结构形式叠加（逐段

6、刚化法)原理说明。,=,+,x,f,x,f,x,f,刚化AC段后,BC段就成悬臂梁了。同时，AC段无外载荷，对BC段无影响。,刚化BC段后,AC段就成简支梁了。BC段上外载荷需移到C截面上，其对AC段有影响如图。外载荷的大小及方向可用外载荷等效法判定。,27,=,外伸梁刚化原理说明,BC外伸梁上作用均布载荷，刚化AB段，BC为悬臂梁。这种形式可以在表7.1中查取。被刚化的 AB段上由于无任何载荷作用，故对BC段的变形无任何影响。刚化BC段，BC为自由端。?取而代之均布载荷的等效载荷为作用在B截面上的弯矩和集中载荷；由表7.1查取。平面系内力的迁移。判断钢化结果的正误:两者载荷之和是否为原来的载

7、荷?,28,习题7.8c EI为常量，用叠加法求图示外伸梁B端的和。,解:1)把复合载荷分解成二个简单载荷的作用；如图(b)、(c)。图(b)固化DB段；图(c)固化AD段。图(b)的载荷形式可以在表7.1中直接查取，图(c)载荷形式无法直接获得；故需对结构进行固化成图(d)和(e)的形式，可直接查表。在图(d)、(e)中，截面D上作用的载荷是两对作用力与反作用力。其大小和方向如何求？,(a),(b),(e),+,+,=,=,29,均布载荷q引起B截面的挠度和转角,载荷P引起D截面的转角,弯矩引起D截面的转角?,2)分别求出简单载荷作用时外伸端B的变形：,(b),(e),固定端虽有载荷，但对D

8、B段的转角和挠度均无影响,集中载荷对DB段的转角和挠度均无影响,表7.1-5,表7.1-3,表7.1-4,30,3)叠加,B点的转角为：,B点的挠度为：,(a),(b),(e),+,=,+,31,(a),若把CB段作为悬臂梁，自由端B的挠度大小等于原来梁C点的挠度图(b)。,1)由于是变截面，故要分段计算。首先把DB段作为悬臂梁 图(c)；自由端B的挠度大小可由表7.1-2求得。固定端D的载荷大小和方向很容易求得，且对DB段的变形不产生任何影响。,解：由变形的对称性可看出：跨度中点截面C的转角为零，挠曲线在C点的切线是水平的。,习题7.6b 变截面梁如图所示；试求跨度中点C的挠度。,32,2)

9、其次，D截面上的剪力和弯矩如图(d)所示。这两个载荷将在D截面上产生挠度和转角，其大小可由表7.1-1，7.1-2求得图(d)。,33,3)如图(d)所示，B端由于，而引起的挠度为：,4)叠加 和，可求出作为自由端B处的挠度为：,34,习题7.15.图中两根梁由铰链相互联接，EI相同，且EI=常量。试求P力作用点D的位移。,解：(1)对两根梁受力分析,中间铰链不传递力偶，所以可用外力RE来取代铰链约束，并求出RE=P/2。,35,=,+,(2)求出梁AE上E点的位移,把AE梁的结构简化成图(c)的悬臂梁及图(d)的简支梁,图(c)悬臂梁：表7.1-2,图(d)简支梁：弯矩的作用使得CE段转动。

10、表7.1-4受力分析的求解利用！,36,(2)分析EB梁：图(e)由于E点的位移而引起D的位移为:,图(e)简支梁：载荷P的作用使D点产生的位移为(表7.1-5)：,D的位移为：,37,7-6 简单超静定梁,超静定梁：未知力的数目多于静力平衡方程的数目,求解方法：1.根据静不定次数选取静不定梁的基本结构(静定基)解除多余约束(个数与静不定次数相同)，用多余约束力代替，得到静不定梁的基本结构；*解除多余约束的方法不同，则基本结构也不同；2.找变形几何关系(变形协调关系)即多余约束处梁的变形应满足的条件；比如支座处的位移为零等；3.求出多余约束处的变形，由此得到补充方程4.联立求解补充方程和平衡方

11、程，得出约束力 5.求解梁的其它问题(强度、刚度等),38,例11：列出如图示超静定梁的求解步骤,=,A,B,解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。图(1)把固定端变成铰支座后增加约束反力MA;图(2)把铰支座B去掉后增加约束反力RB;,39,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题(反力、应力、变形等),40,几何方程：变形协调方程,解：建立静定基,=,例12 结构如图，求B点反力。,LBC,C,=,+,41,=,LBC,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,公式(2.10),42,例13：图示杆系中，AB和CD梁的抗弯

12、刚度为EI，BD杆的拉压刚度是EA，不计剪切变形的影响，求BD杆的内力。,解：(1)确定静不定梁的基本结构：取D为多余约束，以外力代之,(2)求变形几何关系,(3)求物理关系,43,(4)补充方程,(5)求BD杆的内力,44,7-7 如何提高梁的承载能力,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,与内力和截面性质有关。,一般来说可采取以下的方法1）合理安排梁的载荷和支座，以降低Mmax的数值2）采用合理的截面形状，以提到Wz的数值,45,合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。,46,可以求得：当x为0.207L时，弯矩最小为0.0214ql2,47,合理选择截面的形状，使 Wm

13、ax 尽可能大,若把梁的弯却正应力强度条件写成：MmaxW，则梁可以承受的最大弯矩与抗弯截面模量W成正比；同时，使用材料的多少和自重又与截面面积A成正比。即，合理的经济的截面形状应该是W越大，A越小。引入W/A的比值来评价和衡量截面形状的合理性。,故，竖放比平放的抗弯强度大，(1)比(2)更合理。,48,*矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,49,在面积相等的情况下 一般截面形状的抗弯截面模量大小为：,W框W环W矩W方W园,有了这个

14、概念以后，我们选择截面形状时，尽可能选中间空洞的截面，即可省材料又可减轻重量；尽量避免采用实心和圆形的截面。,50,7.7.3 根据材料特性选择截面形状,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方。即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面又处上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,51,7.7.4 采用等强度梁,等强度梁的概念，就是在最大弯矩处的抗弯截面模量达到最大值；而在弯矩沿轴线逐渐减少的地方，其相应的抗弯截面模量也减少；从而达到缩小截面尺寸，节约材料和减少自重的目的。设计时，可设想截面的尺寸沿梁的轴线改变，即M(x)和W(x)都表示为轴线x的函数，

15、引入变截面等强度梁的概念，使得各截面都能满足强度条件。一般均以正应力为校核指标，即：,有时，在固定端的M(x)=0，这并不意味着该处的截面尺寸可以为零。故需用剪应力来确定最小截面尺寸：,52,7.7.5 选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,53,*例14：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求(1)二梁接

16、触处的压力；(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；(3)加固前后B点挠度的比值。,54,解：(1)变形协调条件为：,(2),P产生的挠度,RD产生的挠度,55,(3),加固前,加固后,由RD引起,由D引起,RD,RD,P,P,56,7.17 图示等截面梁的抗弯刚度为EI。梁下有柱形曲面y=-Ax3，欲使梁变形后恰好与该曲面密合，且曲面不受压力，试问在梁的自由端应作用什么载荷？并确定载荷的大小和方向。,解：根据题意，要使得梁的挠曲线方程为y=Ax3,在自由端B加上弯矩Me和集中载荷P；(1)用剪力图弯矩图求解,由弯矩和剪力的关系可得：,画出剪力图和弯矩图后，就可得到B端的Me和P；固定端的MA=0

17、。,Q,M,57,+,(2)用叠加法求解,由(1)和(2)可得：,58,(3)用挠曲线方程求解,求出固定端A的反力为：,写出弯矩方程为：,弯矩方程和挠曲线的关系为：,59,又因为：,弯矩为顺时针方向，集中载荷向上。事实上，固定端的MA=0,60,1.梁的刚度条件,其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面寸；、设计载荷。,二、梁的刚度校核（未作要求）,61,=,+,+,=,例10 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。,62,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简 单载荷变形。,63,=,+,+,图1,图2,图3,叠加求复杂载荷下的变形,64,校核刚度,65,该方法的局限性：用该方法求变形时，全梁的弯矩不同时必须分段计算，所以很烦琐。不能求外载荷作用点以外的其他点的位移。不适用于受两个以上外载荷作用的计算。参看pp.165 例7.6,66,2010/04/19 作业 7.2(c),7.6(a),7.7(a),7.7(d),7.8(c),7.122010/04/28 作业 7.14，7.15，7.19(b)，7.22，7.24，7.25,