《平面向量数量积》PPT课件.ppt

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1、平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,定义：,一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0时,a 的方向与a方向相同；当0时,a 的方向与a方向相反；,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,定义,|a

2、|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的数量积是一个数量。,思考：,ab=|a|b|cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当=90时ab为零。,重要性质:,特别地,解：ab=|a|b|cos=54cos120=54（-1/2）=10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45=2,ab的几何意义：,O,投影,O,O,练习：,1若a=0，则对任一向量b，有a b=0,2若a 0，则

3、对任一非零向量b,有a b0,3若a 0，a b=0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b=b c，则a=c,6若a b=a c,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3),例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab

4、)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,P116 例4,例4,小结：,1.2.,可用来求向量的模,3.投影,作业：,4、已知a、b都是非零向量，且a+3 b 与7 a 5 b 垂直，a 4 b 与7 a 2 b垂直，求a与b的夹角。,解：（a+3 b）（7 a 5 b）（a 4 b）（7 a 2 b）（a+3 b）（7 a 5 b）=0 且（a 4 b）（7 a 2 b）=0 即 7a a+16 a b 15 b b=0 7a a-30 a b+8 b b=0 两式相减得：2 a b=b 2，,代入其中任一式中得:a 2=b 2,cos=,