《平稳随机过程》PPT课件.ppt

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1、第十二章 平稳随机过程,12.1 平稳随机过程概念12.2 各态历经性12.3 相关函数的性质12.4 平稳随机过程的功率谱密度,平稳随机过程12.1.2 广义平稳过程例,12.平稳随机过程概念,12.平稳随机过程概念,平稳随机过程:在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，对未来状态的发生都有着很强的影响。这类随机过程，即为平稳随机过程。特点：过程的统计特性不随时间的推移而变化。,返回本节,最近一张,同时称此过程为平稳随机过程，简称平稳过程。,12.1.2 广义平稳过程,给定二阶矩过程,，如果对任意,定义：,则称,返回本节,为宽平稳过程或广义平稳过程.相对地,前述按分

2、布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程。,今后讲到平稳过程一词时,除特别指明外,均指宽平稳过程。,此定义中只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，故一 个严平稳过程只要二阶矩存在，则它必定也是宽平稳的。但反 过来，一般不成立。,如，正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度也不随时间的推移而变化。故一个平稳过程的正态过程必是严平稳的。,注：,若两个平稳过程,返回本节,设s(t)是一周期为T的函数，是在(0，T)上服从均匀分布的随机变量，称X(t)s(t+)为随机相位周期过程试讨论它的平稳性。,解,设 是互不相关的随

3、机变量序列，且,即相关函数只与 有关，所以它是宽平稳的随机序列。如果 又是独立同分布的，则序列也是严平稳的。,返回本节,例 考虑随机电报信号.信号X(t)由只取+I或-I的电流给出(图12-1画出了X(t)的一条样本曲线).这里PX(t)=+I=Px(t)=-I=1/2;而正负号在区间(t,t+)内变化的次数N(t,t+)是随机的,且假设N(t,t+)服从泊松分布,即事件Ak=N(t,t+)=k的概率为P(Ak)=()ke-/k!,k=0,1,2,其中0是单位时间内变号次数的数学期望.试讨论X(t)的平稳性.,返回本节,12.2 各态历经性主要内容,随机过程积分的概念时间均值和时间相关函数例1

4、2.2.1定义（12.2.1）定理12.2.1(均值各态历经定理)定理12.2.2(自相关函数各态历经定理)定理12.2.3和定理12.2.4各态历经定理的重要价值模拟自相关分析仪数字方法,12.2 各态历经性 本节主要讨论，根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法,首先注意，如果按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征，就需要预先确定X(t)的一族样本函数或一维、二维分布函数，这实际上是不易办到的 但是，平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的，于是我们自然期望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线，可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据本节给出的各态历经定理

5、将证实：对平稳过程而言，只要满足一些较宽的条件，那末集平均(均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替这样，在解决实际问题时就节约了大量的工作量为此，先介绍随机过程积分的概念,返回本节,12.2.1 随机过程积分的概念,给定二阶矩过程X（t），tT，如果它的每一个样本函数在a，b,T上的,显然，Y是一随机变量但是，在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在a，b上的积分未必全都存在此时，引入所谓均方意义下的积分，即考虑a，b内的一组分点：,且记,的随机变量Y存在，我们就称Y为X(t)在a,b上的均方积分仍以（2.1)记之。,积分都存在，我们就说随机过程 X（

6、t）在a，b上的积分存在，并记为,(2.1),返回本节,分别称为随机过程X(t)的时间均值和时间相关函数我们可以沿用高等数学中的方法求积分和求极限，其结果一般来说是随机的。,可以证明：二阶矩过程X(t)在a,b上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分,(2.2),存在，且有,就是说，过程X(t)的积分的均值等于过程的均值函数的积分 现在引入随机过程X(t)沿整个时间轴上的如下两种时间平均：,(2.3),(2.4),和,时间均值和时间相关函数,返回本节,最近一张,例12.2.1 计算随机相位正弦波 X（t）=acos(t+)的时间平均（t）和X（t）X（t+）.解将此例结果与337页例2的

7、结果比较，可知 这表明：对于随机变量相位正弦波，用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的这一特性并不是随机相位正弦波所独有的下面引入一般概念,返回本节,最近一张,设X（t）是一平稳过程，1.如果 X（t）=EX（t）=(2.5)以概率1成立，则称过程X（t）的均值具有各态历经性.2.如果对任意实数,X（t）X（t+）=EX（t）X（t+）=RX()(2.6)以概率1成立，则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性.特别当=0,称均方值具有各态历经性.3.如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,则称X(t)是(宽)各态历经过程,或者说X(t)是各态历经的.定义中“以概率l成立

8、”是对X(t)的所有样本函数而言的.注：各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性(ergodicity).按定义，例1中的随机相位正弦波是各态历经过程 当然，并不是任意一个平稳过程都是各态历经的例如平稳过程X(t)=Y其中y是方差异于零的随机变量，就不是各态历经过程事实上，y，亦即时间均值随y取不同可能值而不同因Y的方差异于零，这样就不可能以概率1等于常数EX(t)EY,返回本节,定义（12.2.1）,注意,对例l中的随机相位正弦波而言，不存在，但它的均值是各态历经的在定理一的证明中将X(t)换成X(t)X(t十)，就可得下列定理。,平稳过程X（t）的 均值具有各态历经性的充要条件是,推论 在

9、存在条件下，若,则(2.7)式成立，均值具有各态历经性；若 则（2.7)式不成立，均值不具有各态历经性,(2.7),定理12.2.1(均值各态历经定理)：,返回本节,定理12.2.2(自相关函数各态历经定理)：平稳过程X(t)的自相关函数Rx()具有各态历经性的充要条件是(2.12)其中,在(212)式中令o，就可得到均方值具有各态历经性的充要条件,返回本节,最近一张,以概率成立的充要条件是,定理12.2.3,(2.7),定理12.2.4,以概率1成立的充要条件是,(2.12),返回本节,各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若0t十，只要它满足条件(27)

10、和(212)，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数，即(2.13)和(2.14),如果试验记录x(t)只在时间区间0，T上给出，则相应于(2.13)和(2.14)式有以下无偏估计式：,返回本节,最近一张,不过在实际中一般不可能给出 x(t)的表达式，因而通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式(2.15)和(2.16)现介绍如下：,1.模拟自相关分析仪这种仪器的功能是当输入样本函数x(t)时，XY记录仪自动描绘出自相关函数的曲线它的方框图如图125所示另有一种求自相关函数的近代方法遍历转换技术,本书不作介绍,乘法器,滞后发生器

11、，,记录仪,积分平均电路,图,x(t)。,返回本节,最近一张,2.数字方法如图126，把0，T等分为N个长为tT/N的小区间，然后在时刻tk(k一0.5)t，k1，2，N，对x(t)取样,得N个函数值xkx(tk)，kl,2,N把积分(215)近似表示为基本区间t上的和，就有无偏估计相应于(216)式，我们可以写出任r=rt时，自相关函数的无偏估计 由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值，从而拟合出自相关函数的近似图形，见图12-7.设函数x(t)，0tT的傅里叶(Fourler)变换H(i)只在频率域|c上存在(c为正常数)，而在其他频率上为零依照抽样定理，应选取取样间隔t不超过奈奎斯特(

12、Nyquist)区间/c(或取NcT/)才能保证xk，kl，2，N包含函数x(t)在0tT上的全部信息注意，这里所指的“频率”是角频率，它与实际的频率f之间有关系式：=2f,(2.17),返回本节,最近一张,12.3 相关函数的性质主要内容,相关函数的性质(1、2)相关函数的性质（3）相关函数的性质（4、5）相关接收法,12.3 相关函数的性质,在第十章2中指出，用数字特征来描绘随机过程，比用分布函数(或概率密度)来得简便上一节中又指出，对于具有各态历经性的平稳过程，可以根据各态历经定理，对随机过程的一个样本函数使用数学分析的计算手续去求它的均值和相关函数在这种场合下，利用均值和相关函数去研究

13、随机过程更是方便特别是对于正态平稳过程，它的均值x和相关函数Rx()完全刻画了该过程的统计特性因此，这两个数字特征的重要性更突出地显现出来。为了成功地使用数字特征去研究随机过程，下面着重研究一下相关函数的性质以下假设X(t)和Y(t)是平稳相关过程，Rx()Ry()和Rxy()分别是它们的自相关函数和互相关函数.,返回本节,最近一张,12.3.1 相关函数的性质(1、2),1.这由(12)式即可得到在下一节将看到，量Rx(0)表示平稳过程X(t)的“平均功率”2.Rx(一)Rx()，即Rx()是的偶函数而互相关函数既不是奇函数，也不是偶函数，但满足Rxy(一)Ryx()这分别可由(12)和(1

14、3)式得到依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量Rx()，Ry()，Rxy()和Ryx()在0的值。,返回本节,最近一张,12.3.1 相关函数的性质（3）,这可根据自相关函数、自协方差函数的定义以及柯西一施瓦兹不等式直接推出此不等式表明：自相关(自协方差)函数都在0处取到最大值 类似地，可以推得以下有关互相关函数和互协方差函数的不等式：,返回本节,3.关于自相关函数和自协方差函数有不等式,应用上还定义有标准自协方差函数和标准互协方差函数：,12.3.1 相关函数的性质（4、5）标准自协方差函数和标准互协方差函数：,由上述不等式性质知：和且当时，X(t)和Y(t)不相关 4.Rx()是非负定

15、的，即对任意数组tl，t2，tn T和任意实值函数g(t)都有 对于平稳过程而言，自相关函数的非负定性是最本质的这 是因为理论上可以证明：任一连续函数，只要具有非负定性，那么 该函数必是某平稳过程的自相关函数 5.如果平稳过程X(t)满足条件PX(t十T。)X(t)1，则称它为周期是T。的平稳过程周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且其周期也是T。下面讲一个应用的例子,和,返回本节,最近一张,12.3.2 相关接收法下面讲一个应用的例子:,设某接收机输出电压V(t)是周期信号S(t)和噪声电压N(t)之和，即 V(t)=S(t)+N(t)又设S(t)和N(t)是两个互不相关(实际问题中一般都

16、是如此)的各态历经过程，且EN(t)0根据第十章(212)式，V(t)的自相关函数应为 RV()=RS()+RN()由性质5，RS()是周期函数，又因为一般噪声电压当值适当增大时，X(t十)和X(t)呈现独立或不相关，即有于是，对于充分大的值，我们有 RV()RS().如果现在将V(t)作为自相关分析仪(图12-5）的输入。则对于充分大的值，分析仪记录到的是周期函数Rs()的曲线，如果只有噪声而无信号，则对充分大的值，记录到的Rv()0所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期成分就可以判断接收机的输出有无周期信号这种探查信号的方法称为相关接收法,返回本节,最近一张,12.4 平稳随机过程的功率谱

17、密度主要内容,平稳过程的功率谱密度平稳过程X(t)的功率谱密度（1）平稳过程X(t)的功率谱密度（2）谱密度的性质表12.1白噪声互谱密度及其性质（1）互谱密度及其性质（2）,12.4 平稳随机过程的功率谱密度,在很多理论和应用问题中，常常利用傅里叶(Fourier)变换这一有效工具来确立时间函数的频率结构本节的目的就是讨论如何运用这一工具以确立平稳过程的频率结构功率谱密度。12.4.1平稳过程的功率谱密度 设有时间函数 我们知道，假如 满足狄利克雷(Dirichlet)条件，且绝对可积，即那末x(t)的傅里叶变换存在或者说具有频谱且同时有傅里叶逆变换 一般是复数量，其共扼函数在 和 之间成立

18、有帕塞瓦尔(Parseval)等式,等式左边表示x(t)在(一，十)上的总能量，而右边的被积函数 相应地称为x(t)的能谱密度这样，帕塞瓦尔等式可理解为总能量的谱表示式,(4.1),返回本节,最近一张,12.4.2平稳过程X(t)的功率谱密度（1）,我们把(4.5)式右端的被积式称作函数x(t)的平均功率谱密度，简称功率谱密度，并记为(4.6)而式(4.5)右端就是平均功率的谱表示式 现在我们把平均功率和功率谱密度的概念推广到平稳过程X(t),t,(4.7)和(4.8)显然(4.7)和(4.8)式中诸积分都是随机的这时，我们将(48)式左端的均值的极限，即量(4.9)定义为平稳过程X(t)的平

19、均功率 平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或Rx(0)(4.11)相应于(4.5)(4.6)式，我们把(4.11)式中的被积式称为平稳过程X(t)的功率谱密度，并记为Sxx()或Sx().,(4.5),返回本节,最近一张,12.4.2平稳过程X(t)的功率谱密度（2）,利用记号Sx()，(4.11)式可简写为(4.13)称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式.功率谱密度Sx()通常也简称为自谱密度或谱密度，它是从频率这个角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征由(4.13)式知，它的物理意义表示X(t)的平均功率关于频率的分布,在平稳过程理论中“谱密度”一词总是指功率谱密度,返回本节,

20、最近一张,12.4.3谱密度的性质,它们统称为维纳一辛钦(WienerKhintchine)公式 有如下结论：平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下，谱密度就是自相关函数的傅里叶变换，即维纳一辛钦公式(4.15)成立而公式(4.16)则是Sx()的傅里叶逆变换 在(4.16)式中令0，再次得到表示式(4.13)此外，由于Rx()和Sx()都是偶函数，所以利用欧拉(Euler)公式,维纳一辛钦公式还可以写成如下的形式：,(4.15)(4.16),(4.18)(4.19),返回本节,维纳一辛钦公式又称为平稳过程自相关函数的谱表示式。,谱密度Sx()有以下重要性质：Sx()是的实的、非负的偶函数Sx(

21、)和自相关函数Rx()是一傅里叶变换对，即,表12.1列出了若干个自相关函数以及对应的谱密度,返回本节,最近一张,例12.4.1,返回本节,返回本节,返回本节,白噪声 均值为零而谱密度为正常数，即,12.4.5 互谱密度及其性质（1）设X（t）和Y（t）是两个平稳相关,12.4.5 互谱密度及其性质（2）,本 章 小 结,小结（1）小结（2）小结（3）小结（4）,小结（1）,小结（2）,小结（3）,小结（4）,第十二章 平稳随机过程,12.1 平稳随机过程概念12.2 各态历经性12.3 相关函数的性质12.4 平稳随机过程的功率谱密度小结习题,本章主要内容,谢谢使用!,全部内容学完!,所以，

22、随机相位周期过程是平稳的特别随机相位 正弦波是平稳的,解：,由假设 的概率密度为,由s(t)的周期性，可知,而自相关函数,=,=,解 显然，EX(t)0现在来计算EX(t)X(t十)，先设0,我们注意，如果电流在(t，t十)内变号偶数次，则X(t)和X(t+)必同号且乘积为I2；如果变号奇数次，则乘积为-I2.因为事件X(t)X(t十)I2的概率为P(A0)十P(A2)十P(A4)十，而事件X(t)X(t十)-I2的概率为P(A1)十P(A3)十，于是EX(t)X(t+)注意:上述结果与t无关而若0时,只需令t=t+,则有 EX(t)X(t十)EX(t)X(t-)=故这一过程的自相关函数为Rx

23、()EX(t)X(t十)它只与有关其图形如图122所示因此随机电报信号X(t)是一平稳过程,最近一张,计算随机相位正弦波X（t）=acos(t+)的时间平均（t）和X（t）X（t+）解（t）=X（t）X（t+）=,返回本节,最后指出，各态历经定理的条件是比较宽的，工程中碰到的大多数平稳过程都能够满足不过，要去验证它们是否成立却是十分困难的因此在实践中，通常事先假定所研究的平稳过程具有各态历经性，并从这个假定出发，对由此而产生的各种资料进行分析、处理，看所得的结论是否与实际相符如果不符，则要修改假设，另作处理,但并不排除在o处也可取到最大值例如，随机相位正弦波的自相关函数 Rx()a2/2cos 在2K/，ko，1，2，时均取到最大值,返回本节,最近一张,