《导数与不等式》PPT课件.ppt

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1、1.导数的概念及运算(1)定义(2)几何意义 曲线y=f(x)在P（x0，f（x0）处的切线的斜率为 k=f(x0)(其中f(x0)为y=f(x)在x0处的导数).(3)求导数的方法 基本导数公式：c=0(c为常数)；(xm)=mxm-1(mQ);(sin x)=cos x;(cos x)=-sin x;(ex)=ex;(ax)=axlna;(ln x)=(logax)=,第3讲 导数与不等式,导数的四则运算：(uv)=uv;（uv)=uv+uv;(v0).复合函数的导数：yx=yuux.如求f(ax+b)的导数，令u=ax+b,则(f(ax+b)=f(u)a.2.导数的应用（1）求曲线的切线

2、方程 利用导数求曲线的切线方程：由于函数y=f(x)在 x=x0处的导数表示曲线在点P（x0，y0）处的斜率，因此曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为y-y0=f(x0)（x-x0).注意：如果曲线y=f(x)在点 P(x0，f（x0)处的切线平行于y轴（此时导数不存 在）时，由切线定义可知，切线方程为x=x0.,（2）求函数的单调区间 利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几方 面：f(x)0是f(x)递增的充分条件而非必要条件（f(x)0（或f(x)0）解出在定义域内相应的 x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义 域，其次运用求导的方法来证明.,（3）求可导函数的

3、极值与最值 求可导函数极值的步骤 求导数f(x)求方程f(x)=0的根检验f(x)在方程根左右值的符号，求出极值（若左正右 负，则f(x)在这个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极小值).求可导函数在a,b上的最值的步骤 求f(x)在（a,b）内的极值求f(a)、f(b)的值比 较f(a)、f(b)的值和极值的大小.,3.不等式（1）不等式的性质 对不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄 清每一个性质的条件和结论，注意条件的放宽和 加强，以及条件、结论之间的相互联系，不等式 的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.单 向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的 基础，因此解

4、不等式要求的是同解变形.（2）均值不等式(其中a,b均为正实数)，均值 不等式主要用于证明不等式和求二元函数的最（极）值.解题时往往需要拆（添）项，其目的：,一是创设一个应用基本不等式的情境；二是创设 使等号成立的条件.创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常见的解题技巧，而拆 与凑的成因在于使等号能够成立.另外，在运用均 值不等式时，不能忽视“正数”和“和”或“积”为定值这两个条件.（3）一元二次不等式的解集（联系图象）.尤其会 正确表示当=0和0，x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1x2，则 其解集如下表：,如关于x的不等式ax2-(a+1)x+10)在（k,+）

5、上有两根、在（m,n）上有两根、在（-,k）和（k,+）上,当a=0时，,x|x1；当a1或 当0a1时，,当a=1时，x;当a1时，,R,各有一根的充要条件分别是:根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间 m,n讨论方程f(x)=0有实数解的情况，可先利 用在开区间（m,n）上实根分布的情况，得出结 果，再令x=n和x=m检查端点的情况.如实系数方程 x2+ax+2b=0的一根大于0且小于1，另一根大于1且 小于2，则 的取值范围是.,1.（2009全国理，4）曲线 在点（1，1）处的切线方程为（）A.x-y-2=0B.x+y-2=0 C.x+4y-5=0D.x-4y-5=0 解析 yx=

6、1=-1.又f(1)=1,函数y=f(x)在点（1，1）处的切线方程为y-1=-(x-1),即y+x-2=0.,B,2.（2009江西理，5）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点（1,g(1)）处的切线方程为y=2x+1,则 曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为（）A.4 B.C.2D.解析 由条件知g(1)=2,又f(x)=g(x)+x2=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=2+2=4.,A,3.（2009安徽理，9）已知函数f(x)在R上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程是（）A.y=2x-

7、1B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 解析 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8.f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8.将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8.f(x)=x2.y=f(x)在（1,f(1)）处的切线斜率为yx=1=2.函数y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.,A,4.点P在曲线y=x3-x+7上移动，设点P处切线的倾斜角 为，则角 的取值范围是（）A.B.C.D

8、.解析 y=3x2-1,由导数的几何意义,tan-1,即,B,5.若方程 有四个不同的实根，则 实数k的取值范围为()A.B.(0,+)C.D.解析 令h(x)=-ln(1+x2),y=k,则h(x)=x-令h(x)=0，得 x=0,-1或1.,当x变化时，h(x)、h(x)的变化如下表：据此可作出h(x)的简图，由图可知，当=ln(1+x2)+k有四个不同的实根 时，k的取值范围为（,0）.故选D.答案 D,6.(2009全国文，7)设a=lg e,b=(lg e)2,c=lg,则（）A.abcB.acb C.cabD.cba 解析 0cb.,B,7.（2009江西文，15）若不等式 的解集

9、为区间a,b,且b-a=1,则k=.解析 令y1=,y2=k(x+1),作出两函数图象如图，y1y2的解集为a,b,且b-a=1,b=2,a=1.直线过点A（1，），k=.,8.（2009山东理，13）不等式|2x-1|-|x-2|0的 解集为.解析 方法一 原不等式等价于不等式组 由得 x1,由得-1x，综上得-1x1,所以原不等式的解集为x|-1x1.方法二 原不等式即为|2x-1|x-2|,4x2-4x+1x2-4x+4,3x23.-1x1.,不等式组无解，,x|-1x1,9.设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2，其中x0且x1，试 比较f(x)与g(x)的大小.解 f(x

10、)-g(x)=(1+logx3)-2logx2=logx logx 0，即f(x)g(x).,即0 x1或,10.已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1,当且仅当x=-1,x=1 时，取得极值，且极大值比极小值大4，（1）求a,b的值；（2）求f(x)的极大值和极小值.解（1）f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R,f(x)=5x4+3ax2+b,x1时有极值，5+3a+b=0,综上所述，当,当0,时，f(x)g(x).,b=-3a-5.将代入f(x),得 f(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)5(x2+1)+3a=(x+1)(x-1)5x2+(3a+5).f(x)仅在x=1时有极值，5x2+(3a+5)0对任意x成立，3a+50,列出f(x)、f(x)随x的变化情况表：,由此可知，当x=-1时取得极大值；当x=1时取得极 小值，f(-1)-f(1)=4,即(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1-(15+a13+b1+1)=4,整理得，a+b=-3,由解得(2)a=-1,b=-2,f(x)=x5-x3-2x+1.f(x)的极大值为f(-1)=-1+1+2+1=3;f(x)的极小值为f(1)=1-1-2+1=-1.,a=-1,b=-2.,返回,