《对面积的曲面积分》PPT课件.ppt

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1、,第四节 对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量 M.,其中,表示 n 小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数

2、f(x,y,z)在曲面 上对面积,函数,叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:由定义知,而,(光滑),化曲面积分为二重积分 设曲面的方程为zz(x y)在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(x y z)在上连续 则,讨论 如果积分曲面由方程yy(z x)给出或由xx(y z)

3、给出 那么 f(x y z)在上对面积的曲线面积分如何计算?,提示 对于 yy(z x)有,化曲面积分为二重积分,要点：一代、二换、三投影,代：将曲面的方程代入被积函数,换：换面积元,投影：将曲面投影到坐标面得投影区域,注：,（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加,（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式,（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数,例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,例2.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,例3 计算,与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面,解,在 xoy 内的投影区域,例3 计算,与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面,解,例3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,思考与练习,P219 题1；3；4(1);,解答提示:,P219 题1.,P219 题3.,设,则,P219 题4(1).,在 xoy 面上的投影域为,这是 的面积!,作业：p-219习题11-4 4(3);5(2);6(1),(3),(4);,