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1、7.3 多 项 式 的 根,多 项 式 的 根,设()是域F上面的一个多项式,是F中的任意元素,以代()中所得的元素记为()。若()=0,则称是多项式()的一个根,或称是方程()=0的一个根。,定理 7.3.1(余式定理)以-除()所得的余式等于()。证明:由-是一次式,知余式是常元素cF。设商式为q(),于是()=q()(-)+c以代得()=q()(-)+c故得c=()。推论1.-()iff 是()的根。证明:-()iff 以-除()所得的余式为0 iff()=0。,K重根,定义.称是非0多项式()的k重根,如果(-)k整除(),但(-)k+1不整除()。若k1,则称是()的重根。若()=0
2、,则对任意正整数k,(-)k(),因而称是()的重根,且也看作是()的重根。,定理 7.3.1 设非0多项式()的次数为n,则()最多有n个根,此处k重根作为k个根计算。证明:把()的质因式分解式写成下面的形式:()=c(-1)k1(-r)krp1()ps()(1)其中1,r都不同,而p1(),ps()都是高于一次的质式。(1)中r和s都可能等于0。比较两边的次数得:n=k1+kr+次(p1()ps()(2)显然,i是()的ki重根,i=1,r。除了这些,()没有另外的根.因否则-应是()的质因式,而分解式(1)中没有这个质因式。可见,k重根算k个根时,()共有k1+kr个根,由(2),此数n
3、。,多项式恒等,定义.两个多项式()和g()说是恒等,如果以F中任意元素代,恒有()=g()。记为()g()。note:相等强调形式上完全相同,恒等强调二者作为变量的两个函数恒取同样的值。在有理域、实数域、复数域等无限域上相等与恒等一样,但在一般域上二者不同。,例,考虑R2=0,1上的多项式:f(x)=x3+x2+x,g(x)=x。显然,f(x)g(x),但f(x)g(x),因为f(0)=0=g(0),f(1)=1=g(1)。,定理 7.3.3 设F中有无穷多个元素,()=g(),当且仅当()g()。证明:必要性。若()=g(),则它们同次项的系数完全相同,因而自然对任意的值其值亦相同,故二者
4、恒等。充分性。若()g(),于是,对任意F,()-g()=0,这表示()-g()0,即F中每个元素都是()-g()的根。但F中有无穷多个元素,可见()-g()有无穷多个根。只有多项式0才能这样,故()-g()=0,即()=g()。,域上多项式重根的判定,给定多项式()=a0n+a1n-1+an-1+an,定义()=aonn-1+a1(n-1)n-2+an-1 为f(x)的微商。不难证明:()+g()=()+g()(c()=c()()g()=()g()+()g()()m)=m()m-1(),域上多项式重根的判定,定理 7.3.4 若是非常数多项式()的k重根,则它至少是()的k-1重根。证明:由
5、题设,()=(x-)k g(),-不整除g(),于是,()=k(-)k-1g()+(-)k g()从而(-)k-1()故至少是()的k-1重根。,讨论:(1)若k是F的特征p的倍数,则在F中等于0,这样()=k(-)k-1g()+(-)k g()右边第一项k(-)k-1g()为0,从而(-)k(),至少是()的k重根。,(2)若k不是F的特征p的倍数,则()=k(-)k-1g()+(-)k g()右边第一项k(-)k-1g()非0,且由-不整除g(),此项只能为(-)k-1整除,不能为(-)k整除,但()右边第二项(-)k g()为(-)k 整除,可见()只能为(-)k-1不能为(-)k整除,
6、从而可以断定恰是()的k-1重根。,例.考虑R2=0,1上的多项式:f(x)=x2+1=(x+1)2=(x-1)2可见1是f(x)的2重根,k=2是域的特征2的倍数。这时,()=2x=0,可见1是()的重根,即1在()中的重根数比k-1=1要高。例.有理域、实数域、复数域上特征为0,不等于0的k不可能为0的倍数。因此若是非常数多项式()的k重根,则它至少是()的k-1重根。,判断重根,定理7.3.5 是()的重根,当且仅当它是()和()的公共根。证明:必要性。设是()的重根。当()=0时,()=0,故是()和()的公共根。()0时,应是()的k重根,k1。因此,至少是()的k-1重根,但k-1
7、1,故是()的根,因而是()和()的公共根。,充分性。用反证法。假设不是()的重根,若根本不是()的根,当然更不会是()和()的 公共根,与它是()和()的公共根矛盾。若是()的根,则只能是单根,即重数k=1。因为1不是F的特征的倍数,故可以断定是()的k-1重根,即0重根,这就是说,不是()的根,因而不是()和()的公共根,与它是()和()的公共根矛盾。证毕。判断重根的方法:用辗转相除法求出()和()的最高公因d(),只要看d()在F中有没有根就知道()在F中有没有重根。,复数域上多项式的质式问题,定理7.3.6(代数学基本定理).复数域上,任意非常数多项式必有根。这个定理是整个数学中最重要
8、的定理之一,它在代数学中起着基石的作用,但其证明是困难的,经过几代数学家的努力才得到它的严格证明,令人惊奇的是,证明方法本身不是代数的而是分析的,有兴趣的学生可参阅张顺燕编著的数学的源与流一书。复数域上,只有一次式才是质式。任意非常数多项式()可以唯一地分解成下面的形式:()=c(-1)k1(-r)kr其中1,r恰是()的所有不同的根。若重根按其重数计数,则n次多项式恰 有 n个根。,证明:用反证法。设g()是复数域上的质式,若次g(),则由代数学的基本定理,g()在复数域中有根,比如,从而g(),故g()不是质式,与g()是质式矛盾。因此,复数域上,只有一次式才是质式。既然只有一次式才是质式
9、,()的质因式分解式c(-1)k1(-r)krp1()ps()中便没有 p1(),ps(),而分解式成为 c(-1)k1(-r)kr的形式。可见,i是()的ki重根,i=1,r,而且除了这些,()没有另外的根,因此,重根按其重数计数时,()的根数恰等于其次数。,实数域上多项式的质式问题,定理7.3.8 实数域上,质式只能是一次式或二次式。二次式a2+bx+c是质式,当且仅当判别式b2-4ac2,(1)若g(x)有实根,则x-g(x),故g(x)非质式.,(2)若g(x)有虚根a+bi,b0,命 h(x)=(x(a+bi)(x(a bi)=x2-2ax+(a2+b2)。h(x)是实系数多项式,以之除g(x),设g(x)=q(x)h(x)+cx+d以a+bi代x得 0=0+c(a+bi)+d即 c(a+bi)+d=0 故,cb=,但b0,故c=0,又由ca+d=0,得d=0。因此,h(x)g(x),g(x)非质式。二次式ax2+bx+c是质式,当且仅当此式无实根,当且仅当b2-4ac0。,
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