《多元函数的微积分》PPT课件.ppt

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1、1,6.2 多元函数的微积分,主要内容：一.多元函数的概念二.二元函数的极限和连续三.偏导数的概念及简单计算四.全微分五.空间曲线的切线与法平面六.曲面的切平面与法线七.多元函数的极值,2,设D是平面上的一个点集如果对于每个点P(x，y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y的二元函数(或点P的函数)，记为z=f(x，y)(或z=f(P),二元函数的定义：,其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量,类似地可定义三元及三元以上函数,当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函数,一.多元函数的概念,3,二元函数的图形：,二元函数的图形是一张曲面,例 z=

2、a x+b y+c是一张平面，,点集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D称为二元函数zf(x，y),的图形,4,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f(x，y)有两个：,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f(x，y)是中心在原点，,它的定义域为D=(x，y)|x2y2 a 2,半径为a的球面,5,二.二元函数的极限和连续 1.二元函数的极限,设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数e 总存在正数d，使得对于适合不等式,都有|f(x，y)A|e 成立，则称常数A为函数f(x，y)当x x0，y y0时的极限，记为

3、,这里r|P P0|,我们把上述二元函数的极限叫做二重极限,定义,的一切点P(x，y)D，,6,(1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A.,例,当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，,当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时,注意：,(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在,7,8,则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续,定义：,设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)D,函数f(x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续：是指函数f(x，y)在D内每一点

4、连续此时称f(x，y)是D 内的连续函数,二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去,2.二元函数的连续性,如果,9,所以函数在原点不连续.,例函数在单位圆,上各点是否连续？,若在单位圆上任何点都不连续,10,设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，,当y 固定,在y0 而x 在x0 处有增量x 时，,相应地函数有增量,f(x0 x，y0)f(x0，y0)，,（）如果极限,存在，,则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对x 的偏导数，记作,定义,偏导数的概念及简单计算1.偏导数的概念：,11,记作,（）如果极限,则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0

5、，y0)处对y 的偏导数，,存在，,12,对自变量的偏导函数，记作,偏导函数：,如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x 的偏导数都,存在，,那么这个偏导数就是x、y 的函数，,它就称为函数zf(x，y),类似地，可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导函数，,记为,偏导数与偏导函数的关系：,13,2.一阶偏导数的计算,注意：,看成二者之商.,14,例3 求zx23x yy2在点(1，2)处的偏导数,解,15,3.二阶偏导数的计算,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数,二阶偏导数：,设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数,那么在D 内fx(x，y)、fy

6、(x，y)都是x，y 的函数如果这两个函数,的偏导数也存在,则称它们是函数zf(x，y)的二偏导数,16,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,其中,称为混合偏导数,同样可得三阶、四阶以及n 阶偏导数,高阶偏导数:,17,解,18,在对x求导就有,得证.,19,设zf(u，v)，而uj(x，y)，vy(x，y)，则复合函数,4.复合函数的微分法(链式法则),zf j(x，y)，y(x，y)的偏导数为：,20,21,四.全微分,全增量：,z f(xx，yy)f(x，y)称为函数在点P(x，y)对,自变量增量x、y的全增量,全微分的定义：,如果函数zf(x，y)在点(x，y)的全增量,22,记作

7、dz或df(x,y),即,或,可微:当函数z=f(x,y)在(x,y)全微分存在时,称z=f(x,y)在(x,y)可微.,当函数z=f(x,y)在区域D的每一点都可微时,称z=f(x,y)在区域D可微.,23,定理1,函数z=f(x,y)在其一阶偏导数连续时一定可微.,定理2,函数z=f(x,y)在可微点连续.,定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数,连续，则它可微,且其全微分为,24,解 由定义知,所以,得,25,解 因为,所以,26,五空间曲线的切线与法平面,定义:,设在空间曲线 上有一个定点，,在其邻近处取 上另一点，,并作割线,令 沿 趋近，,那么割线的极限位置,T,27,设空

8、间曲线的参数方程为,得曲线在点M 处的切线方程为,过曲线上tt0和tt0t对应的,考虑,当M M，即t 0时,x(t)，yy(t)，zw(t),这里假定(t)，y(t)，w(t)都可导,点M 和M，作曲线的割线M M，,28,通过点M而与切线垂直的平面,法平面：,j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0,称为曲线在点M 处的法平面.,法平面方程为:,29,例9 求曲线xt，yt 2，zt 3在点(1，1，1)处的切线及法平面,于是，切线方程为,法平面方程为(x1)2(y1)3(z1)0，即x2y3z6,方程.,数t1，所以,30,曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在

9、同一个平面上这个平面称为曲面在点M 的切平面,通过点M(x0，y0，z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该,曲面的切平面：,曲面的法线：,六曲面的切平面与法线,曲面的法向量：,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,点的法线,31,其中函数z=f(x,y)具有连续的一阶偏导数,法线的方程为,32,切平面方程为：,33,解 f(x，y)3x22y2，,例10 求抛物面z3x22y2在点P(1，-1，5)处的切平面方程及,所以在点(2，1，4)处的切平面方程为6(x1)-4(y+1)(z5)0，即6x-4yz50法线方程为,法线方程,34,七多元函数的极值,设函数zf(x，y)在点(x0，y0)

10、的某个邻域内有定义，对于该邻域内异开(x0，y0)的点(x，y)：如果都适合不等式f(x，y)f(x0，y0)，则称函数在点(x0，y0)有极小值f(x0，y0)极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点,极值的定义：,定理 有界闭域上的连续函数一定存在最大值和最小值,35,例11 函数z(x-2)2(y-3)2-1在点(2，3)处有极小值-1,也有使函数值为负的点,因为在点(0，0)处的函数值为零，而在点(0，0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，,36,定理 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点,取得极值的必要条件：,(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导

11、数必然为零：,驻点：,函数zf(x，y)的驻点,注意：,函数的驻点不一定是极值点,极值点一定是驻点,如：函数,（，）点是其驻点，但不是其极值点,37,定理 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一,取得极值的充分条件：,(3)AC B 20时可能有极值，也可能没有极值,(2)AC B 20时没有极值；,AC B 20时具有极值，且当A0时有极小值；,则f(x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：,阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0，令,38,求二元函数极值的步骤：,fx(x，y)0，fy(x，y)0，,第一步 解方程组,求得一切实数解，

12、即可得一切驻点,第二步 对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶,偏导数的值A、B和C,第三步 定出AC B 2的符号，按定理的结论判 f(x0，y0)是否是极值、是极大值 还是极小值,39,例12求函数f(x，y)x3y33x23y29x 的极值,求得驻点为(1，0)、(1，2)、(3，0)、(3，2),在点(1，0)处，ACB 21260，又A0，所以函数的(1，0)处有极小值f(1，0)5；在点(1，2)处，ACB 212(6)0，又A0，所以函数的(3，2)处有极大值f(3，2)31,fxx(x，y)6x6，fxy(x，y)0，fyy(x，y)6y6,再求出二阶偏导数,40,八.小结,1 多元函数的概念,2 二元函数的极限,3 二元函数的连续性,41,(1)偏导数的概念,(2)一阶偏导数的计算,(3)二阶偏导数的计算,(4)复合函数的微分法,5 全微分,4 偏导数的概念及简单计算,42,6空间曲线的切线与法平面,7曲面的切平面与法线,8.多元函数的极值,j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0,函数极值的求法,43,九.作业,习题6.2,2,4,6,8,10,