《复数及复平面》PPT课件.ppt

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1、第一章 复数及复平面,本章给出复数的定义,运算及其运算性质.也讨论复平面的有关拓扑的概念.,第一节,复数及其几何表示,1.复数域,定义:形如 x+iy 的数称为复数,其中 x,y R,i 为虚数单位,合于 i2=-1;x,y 分别称为实部和虚部,分别记为 x=Re z,y=Im z,这里 z=x+iy.两个复数 z1,z2 相等当且仅当 Re z1=Re z2,Im z1=Im z2.记作 z1=z2.若 Im z=0,则 z 为实数.若 Im z 0,则称 z 为虚数.若 Im z 0,Re z=0,则称 z 为纯虚数.,全体复数所成的集合称为复数集,记做 C.而 R 是 C 的一个子集.对

2、复数引进加,减,乘,除运算,这样在 C 上引进了代数结构,则复数集成为复数域,仍记之为 C.运算定义如下:设 a1,a2;b1,b2 R,则定义:加法(a1+ib1)+(a2+ib2)=(a1+a2)+i(b1+b2)减法(a1+ib1)-(a2+ib2)=(a1-a2)+i(b1-b2),乘法(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2-b1 b2)+i(a1b2+a2 b1)除法(a2+ib2 0),2.复平面,复数 z=x+iy 平面上点(x,y)平面上以0 为始点,(x,y)为终点的向量.R2 上的点看作复数后称平面为复平面,此时,横坐标轴及纵坐标轴分别称为实轴和虚轴.当复数 z=x+

3、iy 与平面上以原点为始点,(x,y)为终点的向量相对应时(一一对应),复数的加,减运算与平面上向量的加,减法法则一致.在一般情况下,不再区分复数与其对应的点和向量.,7,在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为复数z的模，记作,O,x,y,x,y,q,P,z=x+iy,|z|=r,8,显然,对于模有下列各式成立：,9,在z0的情况，即P点不是原点，以正实轴为始边,表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角,记作Arg z=q。幅角的方向规定为：逆时针方向为正，顺时针方向为负。这时,有,10,任何一个复数z0有无穷多个

4、幅角,如果q1是其中的一个,则Arg z=q1+2kp(k为任意整数)(1.3)给出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,将满足-p q0p的q0称为Arg z的主值,记作q0=arg z,向量 z=x+iy 的长度称为复数 z 的模,记做|z|.显然实轴的正向与向量 z 之间的夹角(z 0)称为 z 的辐角,记作,显然 有无穷多个不同的值,记作 Arg z=+2k,k ZArg z 中的任一确定的值记作 arg z,其中只有一个值 满足-,称它为 z 的辐角主值.,归纳：,对复数 z(0),有 Re z=|z|cos(Arg z),Im z=|z|sin(Arg z)且 z=|z|(cos(A

5、rg z)+i sin(Arg z)=r(cos+i sin)称之为复数 z 的三角表示.,称复数 x-iy 为复数 x+iy=z 的共轭复数,记作.显然,共轭是相互的.性质|z|=|,Arg z=-Arg.(从集合的角度认识等式)|z1+z2|z1|+|z2|(两边之和大于第三边).|z1|-|z2|z1-z2|(两边之差小于第三边).|Re z|z|,|Im z|z|z|2=x2+y2=z,14,由复数运算法则,两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.,z1,z2,z1+z2,成立不等式|z1+z2|z1|+|z2|(三角不等式),15,减法:,z1,z2,z1-z2,-z2,

6、|z1-z2|z1|-|z2|,例1:试用复数表示圆的方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a 0)其中 a,b,c,d 是实常数(如果 a=0,b 及 c 不全为 0,则方程退化为直线方程）,积、商之模与辐角,|z1 z2|=|z1|z2|Arg(z1 z2)=Arg z1+Arg z2 注:关于辐角关系要从集合的角度来理解.,例3:设 z1,z2 是两个复数,求证:|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2+2 Re(z1)并利用这一等式证明:|z1+z2|z1|+|z2|例4:作出过复平面 C 上不同两点 a,b 的直线以及过不共线三点 a,b,c 的圆的表示式.,乘幂与方根,若 z

7、=r cos+i sin,则 zn=rn(cos(n)+i sin(n)k=0,1,n-1.,例5.求 的所有值,3.复球面及无穷大,本小节讨论复数在复球面上的几何表示.利用测地投影法.考虑球面 S:x2+y2+u2=1.取球面上一点 N(0,0,1),称为球极.作连接 N 与 x y 平面上的点 A(x,y,0)的直线,此直线与球面交与点 A(x,y,u),称 A 为 A 在球面上的球极射影.如此在复平面 C 与 S-N 之间建立双射.,22,复球面,N,O,y,P,z,x,S,约定:在复平面上有一个理想的点,称之为无穷远点,其球极射影为 N.无穷远点以及 N 都看作非正常复数无穷大(记作).集 C 称为扩充复数集(记作 C),复平面 C 称为扩充复平面,仍记作C.如此球面 S 与扩充复平面之间建立双射,此时,球面 S 称为复球面.引进复球面即相应地对 C 引进了一种拓扑结构.关于无穷大,规定其运算如 P10.,24,关于的四则运算作如下规定:加法:a+=+a=(a)减法:a-=-a=(a)乘法:a=a=(a0),