《复变函数级数》PPT课件.ppt

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1、第三章 复变函数级数,复变函数的无穷级数（新运算）,求和：连续求和积分离散求和级数重要性：积分和级数是表达函数的两大工具内容：级数收敛性和求和方法复变函数展开为级数（复变函数的级数表示）级数的运算,3.1 幂级数,复数项级数 收敛性：若级数 的部分和序列 有有限极限，则称该级数收敛，其和为，否则该级数发散。,绝对收敛：若 组成的级数收敛，则称该级数绝对收敛。绝对收敛 收敛,？,收敛判别法基本法则Cauchy判据任给，必有N存在，当 时对任意的正整数p有 特殊法则比较判别法由基本法则可知，若对充分大的k有，则,发散 发散 收敛 收敛,具体比较判别法与标准级数比较，如几何级数比值判别法（dAlem

2、bert判别法）根式判别法（Cauchy判别法）,r1时级数发散；r=1时不一定。,级数的代数运算若，加减法：两收敛级数的和与差级数仍收敛，且,乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收敛，且其和与乘积项的排列次序无关,n012,除法是乘法的逆运算,n-101,复变函数项级数收敛性：若复变函数项级数在某个区域D内所有点处收敛，则称该级数在D内收敛。,一致收敛性定义：若对任意e 0，必有一个不依赖于z的N(e)存在，使 时，有 则函数项级数在 D 上一致收敛。,特殊判别法：正实常数项收敛级数 有 则 在 D 上一致收敛。,一致收敛级数性质：连续性：在有限（开）区域D内 连续，在D内任意闭区域上 一致收敛，

3、则和函数 在D内连续。,一致收敛级数性质：积分性质：在有限（开）区域D内 解析，在D内任意闭区域上 一致收敛，则其和在D内解析且可沿l逐项积分，即,一致收敛级数性质：微商性质：在有限（开）区域D内 解析，在D内任意闭区域上 一致收敛，则其和在D内解析且可逐项微商任意多次，即,幂级数定义：主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂级数；称为以a为中心的幂级数。,收敛特性：以a为中心的幂级数在某个圆 内收敛且绝对收敛在 上绝对一致收敛在圆外 发散收敛圆 收敛半径,Abel定理：幂级数 在某点 处收敛 它在 上收敛且绝对收敛 它在 上绝对一致收敛,证：（利用比较判别法）级数 在 内收敛,收敛,推论：若幂级

4、数在某点 处发散，则它在 处发散,收敛半径的求法（比值或根式判别法）幂级数运算性质：幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且可任意次逐项积分、逐项微商。,例1,例2,3.2 泰勒级数及解析延拓,Taylor展开定理：已知f(z)在z=a处解析，z0为f(z)距离a点最近的奇点，则 其中，且展开唯一。,证：1）利用解析函数的积分特征 Cauchy积分公式 2）将 展开为以a为中心的幂级数 3）逐项积分 4）再利用Cauchy导数公式,具体计算：展开：逐项积分：,利用导数公式：唯一性：,Taylor展开方法：基本方法（Taylor展开定理）特殊方法（幂级数运算）线性运算 乘除运算 复合运算 微积分运算,

5、Taylor展开例子：例1 求 ez 在 邻域的Taylor 展开。解：因为 故收敛半径,例2 求 ez 在 邻域的Taylor 展开。解：因为 故收敛半径：,例3 求 和 在 z=0 邻域的Taylor 展开,类似的有,例4 求 在 z=0 邻域的Taylor展开,例5 求（a为任意复常数）在z=0邻域的泰勒展开当a 整数时，f(z)为多值函数，须在指定叶上展开。z=-1是其支点，若取负实轴上(-,-1)为割线，规定（k为整数）,因所以有,例6 求 在z=1邻域的泰勒展开若取负实轴(-,0)为割线，规定（k为整数）因有积分代入并逐项积分,无穷远点邻域的Taylor展开：若存在R使f(z)在以

6、z=0为圆心R为半径的圆外（包括z=）解析 只需作变换,解析延拓延拓：定义域扩大定义：函数f(z)在d上解析，如果能够把它的解析区域扩大，即 在D内解析（）这种延拓称为d上解析函数由d到D-d的解析延拓。,唯一性定理：若在区域D内两解析函数 Fk,k=1,2，在D上内某条曲线l上 相等则必在整个区域D内相等。（证明：利用级数特征）,解析延拓方法基本方法：利用解析函数级数或积分特征例：,3.3 洛朗级数及奇点分类,非正整幂级数非正整幂级数 非负整幂级数,收敛性：在圆外 收敛且绝对收敛；在 上绝对一致收敛，在圆内 发散；在圆外 定义一个解析函数,根据Taylor展开定理，在 z=点解析的函数可以在

7、其邻域展开为非正整幂级数,Laurent级数定义：整幂级数 称为以a为中心的洛朗级数；它由非负整幂级数和非正整幂级数组成收敛性：在以a为中心的环内 收敛且绝对收敛其和在环内解析,Laurent展开定理：已知f(z)在环内 解析，则，其中 c为环内将z=a围在其内的任意光滑曲线。且展开唯一。,证：复通区域Cauchy积分公式把被积函数展开为幂级数,逐项积分解析函数的积分特征,几点说明：若函数f(z)在 内解析，则展开退化为泰勒展开尽管洛朗展开系数an的公式与泰勒展开系数的积分公式形式一样，但一般来说,Laurent展开方法：基本方法：展开公式特殊方法：利用幂级数运算线性运算乘积运算复合运算微积分

8、运算,例 1 求 在环内 的洛朗展开基本方法：,特殊方法：,例 2 求 在环内 的洛朗展开,例 3 在 的邻域内将 展开为洛朗级数,例 4 在 的邻域内将 展开为洛朗级数,奇点分类：孤立奇点与非孤立奇点 已知z=z0是单值函数f(z)的奇点，若在其一个邻域内除它外都解析，则称z=z0为函数的孤立奇点，否则称为非孤立奇点。,几个例子：函数，z=0,i,为其孤立奇点；函数 仅在Re(z)=0处可导，所以复平面上所有点均为非孤立奇点;,函数 奇点为z=0和满足方程 的点即为孤立奇点;为非孤立奇点。,孤立奇点分类：有限孤立奇点分类：设z=z0是f(z)有限孤立奇点且有洛朗展开 按展开中负幂项的个数分类

9、：可去奇点：展开中不含负幂项m阶极点：展开中含有有限个负幂项本性奇点：展开中含有无穷多个负幂项,几个例子：z=1是函数 的一阶极点z=0是函数 的本性奇点,无穷远孤立奇点分类：设z=是f(z)的孤立奇点且在其邻域有洛朗展开 按展开中正幂项的个数分类：可去奇点：展开中不含正幂项m阶极点：展开中含有有限个正幂项本性奇点：展开中含有无穷多个正幂项,几个例子：z=是函数 的5阶极点z=是函数 的本性奇点,孤立奇点分类：按极限分类：可去奇点：单极点：m阶极点：本性奇点：不存在,例子：z=0是函数 e1/z 的本性奇点，在0z 的环域内，它的 Laurent 级数为 z 沿正实轴0 时，1/z,故 e1/

10、z z 沿负实轴0 时，1/z,故 e1/z,z 沿虚轴，按i/(2n)0 时，e1/z 1 z 按序列,函数 e1/z 的实部与虚部,孤立奇点类型判断：奇点的判断：（解析的判断）初等函数无意义的点（支点除外）孤立奇点的判断：（解析性的判断）三大特征：（导数、积分、级数）孤立奇点类型的判断：基本法则：（洛朗展开和极限特征）特殊法则：,特殊法则：一个函数加减（乘除）在z点解析（且不为零）的函数不改变z点的奇点类型若z点是f(z)的本性奇点，是g(z)的非本性孤立奇点，则z点是fg,fg,f/g的本性奇点函数f(z)对z微商不改变其（有限）孤立奇点类型，但改变极点阶数；对无限孤立奇点，微商可能将极点变成可去奇点有限点z是函数f(z)的m阶零点 有限点z是1/f(z)的m阶极点,有限阶支点：作变换在 平面单叶圆环上展开无负幂项：解析型支点；有限个负幂项：极点型支点无限个负幂项：本性奇点型支点,例：求 在 z0=0 的展开 z0=0为一阶支点。作变换 在 平面单叶圆环上展开,小结,引入新运算：复变函数无穷级数运算解析函数的级数特征：Taylor展开定理和Laurent展开定理奇点的分类：孤立奇点与非孤立奇点；孤立奇点的分类：级数特征和极限特征本章基本要求：Taylor展开和Laurent展开孤立奇点的分类,