《变化率和导数》PPT课件.ppt

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1、函数的平均变化率和瞬时变化率,如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？,H,A,B,C,D,E,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？,登山问题,x,选取平直山路AB放大研究:若,自变量的改变量,函数值的改变量,直线AB的斜率:,D1,X3,O,y,x,x0,x1,y0,y1,A(x0,y0),B(x1,y1),O,y,x,x2,x3,y2,y3,C(x2,y2),D1(x3,y3),直线AB的斜率:,直线CD1的斜

2、率:,x,y0,x0,x1,y1,B(x1,y1),y2,C(x2,y2),y3,D(x3,y3),y4,E(x4,y4),显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。,现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。,函数图象上也有类似定义，由此我们引出函数平均变化率的概念。,思考：比值 表示的意义是什么？,它表示每一个单位上的函数值的平均增量。,平均变化率,曲线陡峭程度,数,形,变量变化的快

3、慢,建构数学,函数的平均变化率,已知函数 在点 及其附近有定义，令,则当 时,比值叫做函数 在 到 之间的平均变化率,思考:函数平均变化率的几何意义？,O,A,B,x,y,Y=f(x),x0,X0+x,f(x0),f(X0+x),x,直线AB的斜率,函数平均变化率:,函数值的改变量与自变量的改变量之比,观察函数f(x)的图象,过曲线 上的点 割线的斜率。,思考：（1）x、y的符号是怎样的？（2）该变量应如何对应？理解：2、对应性：若,例1.求函数 在 到 之间的平均变化率,解:当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,分析:当 取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.,(2

4、)求函数 在 到 之间的平均变化率,解:当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,图1,图2,课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？,例3：已知函数，计算函数在下列区间上的平均变化率。,解:当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,瞬时速度,导数的概念,也可记作,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。,设函数 y=f(x)在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x(点 x0+x 仍在该定义内）时，相应地函数 y 取

5、得增量 y=f(x0+x)-f(x0)，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数记为,即,注意：,例:高台跳水运动中，秒 时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在 时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在 呢?,割线PQ的的变化情况,在,的过程中，,请在函数图象中画出来,你能描述一下吗？,P,Q,M,求已知曲线的切线.,练习：,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,3.求函数的瞬时变化率的步骤:一差 二化 三极限,