《反常积分》PPT课件.ppt

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1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,一、反常定积分,二、反常二重积分,三、小结,3.3 反常积分,湘潭大学数学与计算科学学院,2,1.无穷区间上的反常积分,成的图形的面积A,解 由定积分定义可知，图形,面积等于阴影部分图形的面积,的极限，即,一、反常定积分,湘潭大学数学与计算科学学院,3,定义 设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不,存在,就称反常积分,发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,4,类似地,若,则定义,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,5,无穷限的反常积分也称为第一

2、类反常积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,数，引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,湘潭大学数学与计算科学学院,6,湘潭大学数学与计算科学学院,7,解,解 由定义，,湘潭大学数学与计算科学学院,8,其中C为常数，而,所以，反常积分,发散,证 当 p=1 时有,湘潭大学数学与计算科学学院,9,当 p 1 时有,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,10,解 这是一个反常积分，由于,用初等函数表示,的原函数不能,因此，利用一元函数反常积分,无法计算现利用二重积分来进行讨论,设,由于,湘潭大学数学与

3、计算科学学院,11,此时,设,湘潭大学数学与计算科学学院,12,显然,由于,由3.2节中例题8的结果，有,湘潭大学数学与计算科学学院,13,令,上式两端同趋于,准则，有,由极限的夹逼,湘潭大学数学与计算科学学院,14,例5 某种传染病在流行期间人们被传染患病的速度,可以近似地表示为,人/天，t 为传染病开始流行的天数.如果不加控制,最终将会传染多少人？,这里 r 的单位是,解 依题意，,已知速度求总量，就是求,速度函数在区间,上的积分,湘潭大学数学与计算科学学院,15,其中：,即：如果不加控制，最终将会传染到375000人.,湘潭大学数学与计算科学学院,16,2.无界函数的反常积分,y=0 所

4、围成的图形的面积A,解 由定积分定义可知，图形,面积等于阴影部分图形的面积,的极限，即,湘潭大学数学与计算科学学院,17,记作,湘潭大学数学与计算科学学院,18,即,湘潭大学数学与计算科学学院,19,记作,湘潭大学数学与计算科学学院,20,无界函数的积分又称作第二类反常积分.,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一,说明:,例如,类间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,湘潭大学数学与计算科学学院,21,计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿-莱布,尼茨公式.,设 x=a 是 f(x)的瑕点，在(a,b上，,则反常积分,湘潭大学数学与计算科学学院,22,类似地，有,其中，x=a 是 f(

5、x)的瑕点，,且在(a,b上，,其中，x=b 是 f(x)的瑕点，,且在a,b)上，,湘潭大学数学与计算科学学院,23,所以是反常积分,解,湘潭大学数学与计算科学学院,24,所以是反常积分因此,湘潭大学数学与计算科学学院,25,例8 证明反常积分,证 当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以:当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,26,例9 计算反常积分,解 由于,故x=a是瑕点，,从而,湘潭大学数学与计算科学学院,27,例10 设,解,求,是f(x)的无穷间断点,故 I 为反常,积分.,湘潭大学数学

6、与计算科学学院,28,1无界区域上的反常积分,二、反常二重积分,湘潭大学数学与计算科学学院,29,的反常二重积分收敛，否则称反常二重积分发散,构造,湘潭大学数学与计算科学学院,30,则,（2）,湘潭大学数学与计算科学学院,31,构造,则,湘潭大学数学与计算科学学院,32,则,湘潭大学数学与计算科学学院,33,例11 计算反常二重积分,其中,部分.即,解 设 是以原点为圆心 R 为半径的圆在第一象限,化为极坐标,湘潭大学数学与计算科学学院,34,于是,湘潭大学数学与计算科学学院,35,在第一象限所构成的无界区域,解 区域为,因此,湘潭大学数学与计算科学学院,36,2无界函数的反常二重积分,定义,

7、湘潭大学数学与计算科学学院,37,如果,湘潭大学数学与计算科学学院,38,这个极限也称为,依然记作:,如果,不存在，则称,湘潭大学数学与计算科学学院,39,解 显然区域,取,那么,湘潭大学数学与计算科学学院,40,因此，当 m2 时，,当,时，,发散,湘潭大学数学与计算科学学院,41,1.反常定积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,说明(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以,互相转化.,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,2.反常二重积分(与反常定积分类似).,三、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,42,作 业,湘潭大学数学与计算科学学院,43,思考题 试证,并求其值.,解,令,湘潭大学数学与计算科学学院,44,