《反常二重积分》PPT课件.ppt

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1、*8 反常二重积分,与反常定积分相同,二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形,统称为反常二重积分.,一、无界区域上的二重积分,二、无界函数的二重积分,返回,一、无界区域上的二重积分,数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线,(图21-42),上二重可积.令,若存在有限极限:,重积分收敛,并记,定理21.16 设在无界区域 D 上,为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足,常二重积分(1)必定收敛,并且,以有,另一方面，因为,再由,由定理 21.16 的证明容易看到有以下定理:,重积分(1)收敛的充要条件是：在 D 的任何有界子,例1 证明反常二重积分,收敛,其中 D 为第

2、一象限部分,即,证 设 是以原点为圆心 R 为半径的圆在第一象限,的值随着 R 的增大而增大.又因,所以,并且由定理21.16 有,由(2)式还可推出在概率论中经常用到的反常积分,因为,故得,下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有,从而,算公式,有,所以,式右边的反常二重积分,记,于是有,这里 为平面上第一象限.和例1 一样,下面讨论(4),对上式积分应用极坐标变换，则得,再由第十九章3 的(10)式就得到,助函数:,显然有,收敛.又因,关于必要性的证明,有兴趣的读者可参阅菲赫金哥,尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.,注 对于反常定积分,绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然.而在反常二重积分中,绝对收敛的反常积,分一定收敛,反之亦然.出现这种区别的原因,是因,为直线上的点是有序的,而在平面上的点是无序的.,离为,(i)若当 r 足够大时,含有以原点为顶点的无限扇形区域,则当 时，,(i)因为对任意,对任意,二无界函数的二重积分,上除点 外皆有定义,且在 的任何空心邻域内无,上的反常二重积分收敛,记作,与无界区域上的反常重积分一样，对无界函数的反,常重积分也可建立相应的收敛性定理.其证明方法,也与定理21.19类同,请读者自证.,则下面两个结论成立:,(i)若在点 P 的附近有,总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同,(ii)若在点 P 的附近有,之处.,复习思考题,