《动态规划》PPT课件.ppt

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1、第3章 动态规划,算法总体思想,动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。,算法总体思想,如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。,算法总体思想,T(n),Those who cannot remember the past are doomed to repeat it.-George Santayana,The life of Reason,Book I:Intro

2、duction and Reason in Common Sense(1905),分治法-Fibonacci数列,分治法求解Fibonacci数列。public static fibonacci_recur(int n)if(n=1|n=2)return 1;return fibonacci_recur(n-2)+fibonacci_recur(n-1);,分治法求解Fibonacci数列的问题：划分以后，我们独立地求解每一个子问题，递归过程中存在大量的重复计算。解决方法：动态规划，保存已经解决的子问题的答案，在需要时直接使用，避免了大量重复计算。,Fibonacci数列的动态规划算法(迭代法

3、）,public static int fibonacci(int n)f1=1;f2=1;for(int i=3;i=n;i+)fi=fi-1+fi-2;return fn;递归中的重复问题备查技术,动态规划基本步骤,找出最优解的性质，并刻划其结构特征。递归地定义最优值。以自底向上的方式计算出最优值。根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。,矩阵连乘问题,给定n个矩阵，其中 与 是可乘的，。考察这n个矩阵的连乘积 由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依

4、此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积,完全加括号的矩阵连乘积,（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积 是完全加括号的，则 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 和 的乘积并加括号，即,16000,10500,36000,87500,34500,完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：设有四个矩阵 A,B,C,D，它们的维数分别是：总共有五中完全加括号的方式,矩阵连乘问题,给定n个矩阵A1,A2,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。,穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每

5、一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。,算法复杂度分析：对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下：,矩阵连乘问题,穷举法动态规划,将矩阵连乘积 简记为Ai:j，这里ij,考察计算Ai:j的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，ikj，则其相应完全加括号方式为,计算量：Ai:k的计算量加上Ak+1:j的计算量，再加上Ai:k和Ak+1:j相乘的计算量,1.分析最优解的结构,特征：计算Ai:j的最优次序所包含的计算

6、矩阵子链 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最优的。矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。,2.建立递归关系,设计算Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n当ij时，可以递归地定义mi,j为：,这里 的维数为,的位置只有 种可能,直接递归,public static void matrixChain(int p,int m,int s,int i,int j)if(i=j)return 0;mij

7、=mi+1j+pi-1*pi*pj;Sij=i;for(int k=i+1;kj;k+)int t=matrixChain(p,m,s,i,k)+matrixChain(p,m,s,k+1,j)+pi-1*pk*pj;if(t mij)mij=t;sij=k;,3.计算最优值,对于1ijn不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此，不同子问题的个数最多只有由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征。用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只

8、要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法,实例分析,P,计算过程：1、(r=2)2个矩阵连乘m12=m232、(r=3)3个矩阵连乘m13=m24=m46=,3、(r=4)4个矩阵连乘4、(r=5)5个矩阵连乘m15=min m11+m25+p0p1p5,m12+m35+p0p2p5,m13+m45+p0p1p5,m14+m55+p0p1p5m26=.5、(r=6)6个矩阵连乘,r=2n,i=1n-r+1,j=i+r-1,k=ij-1,用动态规划法求最优解,public static void matrixChain(int p,int m,int s)int n=p.l

9、ength-1;for(int i=1;i=n;i+)mii=0;for(int r=2;r=n;r+)for(int i=1;i=n-r+1;i+)int j=i+r-1;mij=mi+1j+pi-1*pi*pj;sij=i;for(int k=i+1;k j;k+)int t=mik+mk+1j+pi-1*pk*pj;if(t mij)mij=t;sij=k;,算法复杂度分析：算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。,动态规划算

10、法的基本要素,一、最优子结构,矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍性：首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。,注意：同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构，有些表示方法的求解速度更快（空间占用小，问题的维度低）,二、重叠子问题,递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些

11、子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。,三、备忘录方法,备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。,m0private static int lookupChain(int i,int j)if(mij 0)return mij;if(i=j)return

12、 0;int u=lookupChain(i+1,j)+pi-1*pi*pj;sij=i;for(int k=i+1;k j;k+)int t=lookupChain(i,k)+lookupChain(k+1,j)+pi-1*pk*pj;if(t u)u=t;sij=k;mij=u;return u;,最长公共子序列,若给定序列X=x1,x2,xm，则另一序列Z=z1,z2,zk，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列i1,i2,ik使得对于所有j=1,2,k有：zj=xij。例如，序列Z=B，C，D，B是序列X=A，B，C，B，D，A，B的子序列，相应的递增下标序列为2，3，5，7。给定2

13、个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。给定2个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最长公共子序列。,最长公共子序列的结构,设序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn的最长公共子序列为Z=z1,z2,zk，则(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。(2)若xmyn且zkxm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。(3)若xmyn且zkyn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。,由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问

14、题具有最优子结构性质。,子问题的递归结构,由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系。用cij记录序列和的最长公共子序列的长度。其中，Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时Cij=0。其他情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：,计算最优值,由于在所考虑的子问题空间中，总共有(mn)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。,Algorithm lcsLength(x,y,b)1:mx.length-1;2:ny.length-1;3:ci0=0;c0i=0;4:fo

15、r(int i=1;i=cij-1)10:cij=ci-1j;11:bij=2;12:else 13:cij=cij-1;14:bij=3;,构造最长公共子序列Algorithm lcs(int i,int j,char x,int b)if(i=0|j=0)return;if(bij=1)lcs(i-1,j-1,x,b);System.out.print(xi);else if(bij=2)lcs(i-1,j,x,b);else lcs(i,j-1,x,b);,为了得到序列Xm和Yn具体的最长公共子序列，设二维表bm+1n+1，其中bij表示在计算Lij的过程中的搜索状态，并且有：,若bij

16、=1，表明xi=yj，则下一个搜索方向是bi-1j-1；若bij=2，表明xiyj且Cij-1Ci-1j，则下一个搜索方向是Cij-1；若bij=3，表明xiyj且Cij-1Ci-1j，则下一个搜索方向是bi-1j。如：序列X=(a,b,c,b,d,b)，Y=(a,c,b,b,a,b,d,b,b)，建立两个(m+1)(n+1)的二维表L和表S，分别存放搜索过程中得到的子序列的长度和状态。首先把表L和表S的第0行和第0列初始化为0，然后根据式6和7逐行计算填入表L和表S中。计算结果如图4所示。,(a)长度矩阵C(b)状态矩阵b图4 最长公共子序列求解示意图,序列X=(a,b,c,b,d,b)，Y

17、=(a,c,b,b,a,b,d,b,b)，,0/1背包问题,给定n种物品和一个背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。背包问题是如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?如果在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择：装入背包或不装入背包，即不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的一部分，则称为0/1背包问题。,在0/1背包问题中，物品i或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi表示物品i装入背包的情况，则当xi=0时，表示物品i没有被装入背包，xi=1时，表示物品i被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：,（式1）,（式2）,问题归结为寻

18、找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X=(x1,x2,xn)。,首先证明0/1背包问题满足最优性原理。设(x1,x2,xn)是所给0/1背包问题的一个最优解，则(x2,xn)是下面一个子问题的最优解：,如若不然，设(y2,yn)是上述子问题的一个最优解，则，且。因此，这说明(x1,y2,yn)是所给0/1背包问题比(x1,x2,xn)更优的解，从而导致矛盾。,0/1背包问题可以看作是决策一个序列(x1,x2,xn)，对任一变量xi的决策是决定xi=1还是xi=0。在对xi-1决策后，已确定了(x1,xi-1)，在决策xi时，问题处于下列两种状态之一：a.背包容量不足以装入物

19、品i，则xi=0背包不增加价值；b.背包容量可以装入物品i，则xi=1背包的价值增加了vi这两种情况下背包价值的最大者应该是对xi决策后的背包价值。令V(i,j)表示在前i(1in)个物品中能够装入容量为j（1jC）的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态规划函数：V(i,0)=V(0,j)=0（式3）,式3表明：把前面i个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j的背包，得到的价值均为0。式4的第一个式子表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装入前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价值是相同的，即物品i不能装入背包；第二个式子表明：如果第i个物品的重量小于背包的

20、容量，则会有以下两种情况：（1）如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值等于把前i-1个物品装入容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；（2）如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品的价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值较大者作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。,（式4）,第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；依此类推，直到第n个阶段。最后，V(n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。为了确定装入背包的具

21、体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V(n,C)V(n-1,C)，表明第n个物品被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C的背包中。依此类推，直到确定第1个物品是否被装入背包中为止。由此，得到如下函数：,（式5）,例如，有5个物品，其重量分别是2,2,6,5,4，价值分别为6,3,5,4,6，背包的容量为10，求装入背包的物品和获得的最大价值。,根据动态规划函数，用一个(n+1)(C+1)的二维表V，Vij表示把前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值，根据式3把表的第0行和第0列初始化为0，然后一行一行地计算Vij，如图3所示。,10,12,12,可以看到，装入背包的物品的最大价值是15，根据式5，装入背包的物品为X=1,1,0,0,1。,图3 0/1背包求解（填表）过程,设n个物品的重量存储在数组wn中，价值存储在数组vn中，背包容量为C，数组Vn+1C+1存放迭代结果，其中Vij表示前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值，数组xn存储装入背包的物品，动态规划法求解0/1背包问题的算法如下：,