《剩余定理公式》PPT课件.ppt

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1、中国剩余定理,今有物不知其数，三三数之有二，五五数之有三，七七数之有二，问物有多少？解答：三三数之有二对应140，五五数之有三对应63，七七数之有二对应30，这些数相加得到233，再减210，即得数23。同余方程式：x mod 3=2 x mod 5=3 x mod 7=2 2572=140 1373=63 1352=30 2 357=210,定理1 设m1,m2,mk是两两互素的正整数，则对任意b1,b2,bk，同余方程组x mod m1=b1 mod m1,x mod m2=b2 mod m2,x mod mk=bk mod mk,其解为：x=(M1M1b1+M2M2b2+MkMkbk)m

2、od mm=m1m2mk,复习Mi=m/mi MiMi mod mi=1 显然(Mi,mi)=1即Mi是Mi的逆元Mi(mi)-1mod mi或者可用辗转相除法求Mi.,定理4:mZ+,aZ,a是模m简化剩余的充要条件a是模m的可逆元。必要性:a简化剩余则a可逆 a简化剩余(a,m)=1ax mod m=1有惟一解a,即aa mod m=1a是可逆元。充分性:a可逆则a是简化剩余 a可逆存在a，使得aa mod m=1 则方程ax mod m=1有解，根据定理1的必要可知(a,m)|b即(a,m)|1 故(a,m)=1,例:x mod 3=2 x mod 5=3 x mod 7=2 m1=3

3、m2=5 m3=7 b1=2 b2=3 b3=2m=m1m2m3=357M1=m/m1=57 M1=Mi(mi)-1mod mi=2M2=m/m2=37 M2=Mi(mi)-1mod mi=1M3=m/m3=35 M3=Mi(mi)-1mod mi=1x=(M1M1b1+M2M2b2+MkMkbk)mod m=(2*5*7*2+1*3*7*3+1*3*5*2)mod 105=(140+63+30)mod 105=233 mod 105=23,例2 x mod 5=b1 x mod 6=b2 x mod 7=b3 x mod 11=b4 m1=5 m2=6 m3=7 m4=11 m=m1m2m3

4、m4=56711M1=m/m1=6711=462 M1=Mi(mi)-1mod mi=3M2=m/m2=5711=385 M2=Mi(mi)-1mod mi=1M3=m/m3=5611=330 M3=Mi(mi)-1mod mi=1M4=m/m4=567=210 M4=Mi(mi)-1mod mi=1x=(M1M1b1+M2M2b2+M3M3b3+M4M4b4)mod m=(462*3*b1+385*1*b2+330*1*b3+210*1*b4)mod m,x mod 5=b1 x mod 6=b2 x mod 7=b3x mod 11=b4 m1=5 m2=6 m3=7 m4=11M1=m/

5、m1=6711=462 M1M1mod m1=1M2=m/m2=5711=385 M2M2mod m2=1M3=m/m3=5611=330 M3M3mod m3=1M4=m/m4=567=210 M4M4mod m4=1M1M1mod m1=1M1M1=km1+1M1M1+km1=1(M1,m1)=1最大公约数为1，M1,k为组合系数利用辗转相除法求最大约数,然后求组合系数。462=92*5+2 5=2*2+1 1=5-2*2 1=5-(462-92*5)*2 462*(-2)+5*(1+2*92)=1462*(-5+3)+5*(1+2*92)=1462*3+5*(1+2*92-462)=1M

6、1=3,例3 x mod 5=1 x mod 6=5 x mod 7=4 x mod 11=10 x=(M1M1b1+M2M2b2+M3M3b3+M4M4b4)mod m=(462*3*1+385*1*5+330*1*4+210*1*10)mod m=6731 mod 2310=2111 mod 2310=2111,证明:验证x满足方程(mi,m1)=1,(mi,m2)=1,.(mi,mi-1)=1(mi,mi+1)=1(mi,mk)=1(mi,m1m2.mi-1mi+1mk)=1.(1)(mi,Mi)=1 故 Mix mod mi=1 有解MiMiMi mod mi=1 从(1)可知当ji时

7、 mj|Mi则 Mi mod mj=0(M1M1a1+M2M2a2+MjMjaj+.+MkMkak)mod mj=MjMjajmod mi=ajmod mi.x mod mi=ai mod mi 即满足方程。,证明:惟一性，同一等价类的数看成一个根 若x1,x2均是方程的根,x1 mod mi=ai mod mi=x2 mod mi m=m1m2.mk 又m1,m2,mk两两互素 则 x1mod m=x2 mod m x1,x2同属一个同余类，即是同一解。,21000000mod 77=?,解二77=7*11 x=21000000,x mod 77=?x mod 7=b1 x mod 11=b

8、2 this!1b1,b2可求出，问 x mod 77=?2(7)261 mod 7 Euler Th.1000000=166666*6+4X=21000000=2166666*6+4=(26)16666624 2 mod 7 2(11)2101 mod 11 Euler Th.1000000=100000*10X=21000000=2100000*10=(210)100000 1 mod 11 x mod 7=2 x mod 11=1 求x mod 77=?m1=7 m2=11 m=m1*m2=77 M1=m/m1=11 M2=m/m2=7,解二77=7*11 x=21000000,x mod 77=?x mod 7=2x mod 11=1 求x mod 77=?m1=7 m2=11 m=m1*m2=77 M1=m/m1=11 M2=m/m2=7 M1M1 mod m1=1 M1的逆元 M2M2 mod m2=1 M2的逆元11M1 mod 7=1 M1=2=11(7)-1mod 7=115 mod7 7M2 mod 11=1 M2=8=7(11)-1mod 11=79 mod11 x=(M1M1b1+M2M2b2)mod m=(11*2*2+7*8*1)mod m=23,