《分式线变换》PPT课件.ppt

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1、共形映射,第六章,6.1分式线性变换,1.分式线性变换的结构,形如 的映射称为分式线性变换，其中a,b,c,d为复常数.,逆变换,两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换,其中,它由下列三个变换复合而成,2.分式线性变换的性质,(1)一一对应性,(2)保圆性,定理6.1分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成扩充w平面上的圆，即具有保圆性.,在扩充复平面上,函数 的导数除点 和z=以外处处存在，而且.我们把 的像看成是w=,把z=的像看成是,得到分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的.,在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.,变换w=az+b是由=az（旋转与伸长）和w=+b（平移）复合

2、而成的.而这些映射将原象平面内的圆或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w=az+b在扩充复平面上具有保圆性.,z平面上的圆的一般方程为,经过映射 后,在扩充复w平面上它仍是圆的方程.,推论6.1在分式线性变换下，圆C映射成圆C.如果在C内任取一点z0，而点z0的象在C的内部，那么C的内部就是映射到C的内部；如果z0的象在C的外部，那么C的内部就映射成C的外部.,证明：设z1,z2为C内的任意两点，用直线段把这两点连接起来.如果线段z1z2的像为圆弧(或直线段)w1w2，且w1在C之外，w2在C之内，那么弧w1w2必与C交于一点w*，于是w*必是C上某一点的像.,但w*又是线段z1z2上某一点的

3、像，因而就有两个不同的点被映射为同一点.这就与分式线性映射的一一对应性相矛盾.故推论成立.,(3)保对称性,定义6.1设C为以z0点为中心，R为半径的圆周.如果点z,z*在从z0出发的射线上，且满足|z-z0|z*-z0|=R2,则称z,z*是关于圆周C的对称点.如果C是直线，当以z和z*为端点的线段被C平分时，则称z,z*关于直线C的对称点.,规定：无穷远点关于圆周的对称点是圆心.,z,z*是关于圆周C的对称点的充要条件是经过z,z*的任何圆周与C正交.,定理6.2 设点z,z*是关于圆周C的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w及w*也是关于C的像曲线C的一对对称点.,证明：设经过

4、w与w*的任何一圆周是经过z与z*的圆周由分式线性变换映射过来的.由于与C正交，因保角性(第三节中将介绍)，所以与C也正交.因此w与w*是一对关于C的对称点.,6.2 确定分式线性变换的条件,定理6.3在z平面上任意给定3个不同点z1,z2,z3，在w平面上也任意给定三个不同点w1,w2,w3，那么就存在分式线性变换，将zk依次映射成wk(k=1,2,3)，且这种变换是唯一的.,证明：,设且,求出w，即得所求分式线性变换.,推论6.2 z1,z2,z3所在的圆C的象C是w1,w2,w3所在的圆.且如果C依z1z2z3 的绕向与C依w1w2w3的绕向相同时，则C的内部就映射成C的内部（相反时，C

5、的内部就映射成C的外部）,例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z0映射为圆心w=0的分式线性变换.,解:由定理6.4，z0关于实轴的对称点 的像应变为点w=.,所求分式线性变换有形式,其中k为常数.,因为，而实轴上的点z对应着|w|=1上的点，这时，所以|k|=1，即，这里是实数，,所求的分式线性变换的一般形式为,例6.2 求将单位圆|z|1映射为单位圆|w|1的分式线性变换.,解：不妨设将第一个单位圆内的点z0映射到第二个单位圆的中心w=0.,由于 关于|z|=1与z0对称，因此 的象为.,故所求映射有形式,由条件当|z|=1时，|w|=1,故将z=1代入上式，有,从而，|

6、k|=1，即,于是，所求映射的一般形式为,.,6.3 共形映射,1.共形映射的概念,设w=f(z)为z平面上区域D内的连续函数，它把z平面上的点z0映射到w平面上的点w0=f(z0)，把曲线C:z=z(t)映射到曲线C:w=f(z(t).,过z0点的两条曲线C1,C2，它们在交点z0处的切线分别为T1，T2，我们把从T1到T2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z0处 从C1到C2的夹角.,(1)若在映射w=f(z)的作用下，过点z0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z0处是保角的.,平移变换w=z+是一个保角映射.,函数 不是保角映射.它是关于

7、实轴的对称映射.,原象的伸缩性:象点之间距离与原象点之间距离的比值.,(2)若极限 存在且不等于零，则这个极限称为映射w=f(z)在z0处的伸缩率.并称w=f(z)在z0具有伸缩率的不变性.,定义6.2 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一对一的，在z0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w=f(z)在z0是共形的，或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，那么称w=f(z)是区域D内的共形映射.,z0z1z2为点z0的一个小邻域内的三角形，在z0处的伸缩率记为A.经过w=f(z)后变成了曲边三角形w0w1w2.,2.解析函数与共形映射,设f(z)在

8、z0处解析，且f(z0)0.,过z0作一条光滑曲线C，它的方程为z=z(t),t0tT0,并设z0=z(t0)，且z(t0)0.则Argz(t0)为z平面上的正实轴到C在点z0的切线的夹角.,经过w=f(z)把C映射为w平面上光滑曲线C，其方程为w=w(t)=fz(t),t0tT0.且w0=fz(t0).由于w(t0)=f(z0)z(t0)0，所以在w平面上，正实轴到C在w0处的切线的夹角为Argw(t0)=Argf(z0)+Argz(t0)或 Argw(t0)-Argz(t0)=Argf(z0).,像曲线C在w0处的切线与正实轴的夹角与原象曲线C在z0处的切线与正实轴的夹角之差总是Argf(

9、z0)，而与曲线C无关.Argf(z0)就称为映射w=f(z)在点z0处的转动角.,过z0点作两条光滑曲线C1,C2，它们的方程分别为C1:z=z1(t)t0tT,C2:z=z2(t)t0tT.且z1(t0)=z2(t0)=z0.,映射w=f(z)把它们分别映为过w0点的两点光滑曲线C1和C2.它们的方程分别为C1:w=w1(t)=fz1(t),t0tT0,C2:w=w2(t)=fz2(t),t0tT0.,Argw1(t0)-Argz1(t0)=Argf(z0)=Argw2(t0)-Argz2(t0),即 Argz2(t0)-Argz1(t0)=Argw2(t0)-Argw1(t0).上式左端

10、是曲线C1和C2在z0处的夹角，右端是曲线C1和C2在w0处的夹角.这个式子说明了w=f(z)在z0处是保角的.,因为f(z0)存在，且不等于零，则 这个极限与曲线C无关.故w=f(z)在z0处的伸缩率具有不变性.,w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y).因为w=f(z)在z0处解析，则在该点满足柯西黎曼方程,在该点的雅可比(Jacobi)式有,映射w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的.,定理6.4如果函数w=f(z)在z0解析，且f(z0)0，那么映射w=f(z)在z0是共形的，而且Argf(z0)表示这个映射在z0的转动角，|f(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在区域D内

11、处处有f(z)0,那么 映射w=f(z)是D内的共形映射.,6.4 几个初等函数所构成的映射,1.幂函数,w=zn(n2)，,当z=z00时.设，则所以映射w=zn在z=z0的转动角为(n-1)0，伸缩率为即映射w=zn在z0点是共形的.,在z0=0处，设 和，由w=zn得 和.因此在w=zn的映射下，圆|z|=r映射成|w|=rn，,|z|=1映射成|w|=1.即在以原点为中心的圆有保圆性.,射线=0映射成射线；正实轴=0映射成正实轴=0；角形域 映射成角形域,当n2时，映射w=zn在z=0处没有保角性.,角形域 映射成沿正实轴剪开的w平面的域，它的一边=0映射成正实轴的上沿=0；另一边 映

12、射成正实轴的下沿.这两个区域之间的映射是一一的.,例6.4 求把角形域 映射成单位圆|w|1的一个映射.,解：,所求变换为,例6.5求将|z|0映射为|w|1的一个共形映射.,解：先将上半单位圆域映射为第一象限.此时考虑将1,i,-1依次映射为,i,0的分式线性变换.该映射还把-1,0,+1依次映射为0,1,.为所求映射.,再用 将第一象限映射为上半平面,最后又选择分式线性变换，该映射将 映射为|w|1.,于是，有,2.指数函数,w=ez的导数w=ez0，所以，由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射.,(1)平面上的直线x=常数，被映射成w平面上的圆周=常数；而y=常数，被映射成射线=常数.,(2)水平带形域 被映射成角形域,(3)带形域 被映射成沿正实轴剪开的w平面：,例6.6 求把带形域a0的一个映射.,解：,所求的映射为,