《函数连续性》PPT课件.ppt

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1、1,2.6函数的连续性,函数连续性的概念,函数的间断点,连续函数的运算法则,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,2,可见,函数,在点,2.6.1 函数连续性的概念,定义1:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,3,例1,解,4,例2,证,由定义1知,5,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,定义2:,6,定义3：单侧连续,定理,7,例3,解,右连续但不左连续,8,连续函数与连续区间,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,若,在某区间上每一点都连

2、续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,定义4:,在闭区间,上的连续函数的集合记作,基本初等函数在定义区间内连续,9,例.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,10,在,在,2.6.2 函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,定义5:,11,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡

3、,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,12,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,13,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,14,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,在x=k各点处间断.,15,连续函数的运算法则,定理1：在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,定理2：连续函数的复合函数是连续的.,定理3：连续单调递增 函数的反函数,(递减).,(证明略),递增,(递减),也连续单调,在,上连续 单调 递

4、增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,在 1,1 上也连续单调递增.,16,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,17,初等函数在定义区间内可以利用连续性求极限,即直接代入法,18,例6 求,解:,原式,说明:若,则有,19,闭区间上连续函数的性质,定义6:,例如,20,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间

5、内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,定理5(最大值和最小值定理),21,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论：,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,22,定理6（介值定理）,几何解释:,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,23,几何解释:,定义:,24,例1,证,由零点定理,25,例2,证,由零点定理,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求,26,例3,证,由零点定理知,总之,27,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,28,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,3.初等函数连续性,4.四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,29,备用题 确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,