《函数连续》PPT课件.ppt

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1、上 午 好！,同学们：,第1章 函数、极限与连续,1.1 函 数,1.2 极 限,1.3 连 续,1.2.2 函数极限的概念,1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限,2.自变量x 趋于某定数 x0时函数的极限,1.2.3 无穷小量与无穷大量,1.2.4 极限的运算法则,1.2 极 限,1.2.5 两个重要极限,两个重要极限,两个重要极限的变换形式：,设 是某一过程中的无穷小，则,#,1.3.1 函数连续性的概念,1.3.3 初等函数的连续性,1.3.4 闭区间上连续函数的性质,1.3 函数的连续性,1.3.2 函数的间断点,1.3.1 函数连续性的概念,1.变量的增量 研究函数 yx2，当x从初

2、值1增加到终值1.1,函数值 y从1增加到1.21，我们把1.110.1称为自变量的增量，把1.2110.21称为函数 y 的增量。,1.3.1 函数连续性的概念,一般地,常用x0 表示自变量的初值，用x表示自变量的增量，则自变量的终值可表示为x0 x，相应地用y表示函数值的增量，,yf(x0 x)f(x0),则,1.变量的增量,函数在x0处连续的意义是指:当自变量在x0处的增量x为无穷小量时，函数的增量y也为无穷小量。,这一定义说明了连续的本质：当自变量变化很微小时，函数值相应变化也很微小.,2.函数连续性的定义,定义1-9,定义,设f(x)在点 x0 的某邻域内有定义,则称 f(x)在点

3、x0 连续.,2.函数连续性的定义,若,例1,证明：,证明 f(x)=3x1在 x=1连续.,由定义知,f(x)=3x1在 x=1连续.,例2,证明：,单侧连续的概念,设 f(x)在点 x0 的左(右)邻域内有定义,若,则称函数 f(x)在点 x0 左(右)连续.,函数 f(x)在点 x0 连续的充要条件是 f(x)在,点 x0 即左连续又右连续.,例3,解：,设,讨论 f(x)在,点 x=0 的连续性.,故,在 x=0 左连续.,又因为,故,在x=0非右连续,故,在x=0非连续.,对自变量的增量,相应函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价定义:,连续性等价定义,1.3.1 函

4、数连续性的概念,在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,连续函数,例4,证明：,证明 f(x)=sin x 在定义域上连续.,任取,因为,由夹逼准则知,故sin x 在 x0 连续.,由 x0 的任意性知,在,上连续.,1.3.2 函数的间断点,1.3.2 函数的间断点,（1）可去间断点,若极限,存在,但不等于f(x0),则称x0是f(x),的可去间断点.,例如:,因为,故 x=0 是 f(x)的可去间断点.,函数间断点的分类,包括 f(x)在x0处无定义.,（2）跳跃间断点,若极限,与,都存在但不相等

5、，则称,x0 是 f(x)的跳跃间断点.,称为 f(x)在x0 的跳跃度.,解:,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,例5,第二类间断点,若极限,与,至少有一个不存在,则,称x0是f(x)的第二类间断点.,例如:,因为,故x=0是 f(x)的,第二类间断点.,解:,例6,#,复合函数连续性,若函数 f(u)在 u0 连续,u=g(x)在 x0 连续,且,则复合函数,在 x0 连续.,连续函数的四则运算法则,设 f(x),g(x)都在 x0 连续，则函数,在 x0 也连续.,基本初等函数在定义域内是连续的.,1.3.3 初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连

6、续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,例如：,的连续区间为,(端点为单侧连续),1.3.3 初等函数的连续性,定义区间是指包含在定义域内的区间,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如:,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,若函数 f(u)在 u0 连续,复合函数,在 x0 处极限存在.且,连续函数的极限运算与函数运算的顺序可以互换,或者说函数符号和极限符号可以互换位置。,即,这是证明函数连续和计算连续函数的极限常用的方法。,初等函数求极限的方法代入法(求极限的又一种方法).,可以利用初等函数的连续性求极限,由于初等函数

7、是连续函数，所以求初等函数 f(x)在定义域内的某一点 x0 处的极限，只需求出 f(x)在 x0 处的函数值 f(x0)即可。,例9,求,例10,求,解：,解：,例8,解：,求,例11,解：,求,在 u=1 连续,所以,例12,解：,求,连续,从而,解,例13,求,例14 求,解 原式=,=e 2.,定理1-3(最值定理）,若函数 f(x)在a,b上连续,则 f(x)在a,b上必有,最大(小)值.,即:,存在,使,(证明略),1.3.4 闭区间上连续函数的性质,定理1-4(介值定理）,若函数 f(x)在a,b上连续，,则对介于 f(a)与 f(b)之,间的任何实数c,则,至少,若函数 f(x

8、)在a,b上连续，且,零点定理:,则,至少存在一点,使,零点定理(根的存在性)几何意义:,一条连续曲线如果两个,两侧,则它至少穿过 x 轴,端点分别位于 x 轴上下,一次.,思考与练习,证明：,证明方程 x=sinx+2至少有一个不大于,令,观察(0,3),则,方程 f(x)=0在(0,3)内至,少有一实根,即方程,至少有一个不大于3的的实根.,3的实根.,由零点定理知,证明：,设函数 f(x)在a,b连续，且 f(a)a,f(b)b,证方程 f(x)=x在(a,b)内至少有一实根.,令,在a,b上连续,由零点定理知,在(a,b)内至少有一实根,即 f(x)=x 在(a,b)内至少有一实根.,#,P21习题19,若自变量在x0处有的增量,相应函数的增量,左连续,右连续,函数,在点x0连续有下列等价定义:,连续性等价定义,小 结,在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,连续函数,函数的间断点,#,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,P21习题 1 14 16(1)(3)18预习：P23 第2章 2.1导数的概念学习指导书中第1章部分习题解答,作 业,