《函数极限概念》PPT课件.ppt

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1、第三章 函数极限,函数极限概念 函数极限的性质及存在条件 两个重要极限 无穷小量与无穷大量,教学要求1 理解函数极限的“-”，“-M”定义及单侧极限概念；2 掌握函数极限的基本性质及两个重要极限；3 理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念。,第三章 函数极限,第三章 函数极限,一 函数极限概念,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,0,0.02,0.04,0.06,0.08,0.1,0.12,0.14,0.16,0.18,0.2,一、,x,趋,于,时,函数的极限,设,函数,f,定,义,在,),+,a,上，,类,似于数列情形，,研究当自,变,量,x,趋,于,+,时,，,

2、对应,的函数,值,能否无限地接近于某个定数,A,.例如,对,于函数,(,),x,x,f,1,=,我们,画出,它,的,图像,当,x,无限增大,时,，函数,值,无,限,地接近于,0,；,0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,而,对,于函数,(,),x,x,g,arctan,=,，,则,当,x,趋,于,+,时,函数,值,无限地接近于,2,p,我,们,称,这,两个函数当,+,x,时,有极限,。,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向

3、无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近”某数A?,问题,:,函数,在,的,过程中,对应,函数值,无限,趋近于,确定值,A,.,一般地,当,x,趋,于,+,时,函数极限的精确定,义,如下：,定,义,1,设,f,定,义,在,),+,a,上的函数，,A,为,定数.若,对,任,给,的,0,e,存在,数,(,),a,M,使得当,M,x,时,有,(,),e,-,A,x,f,则,称,函数,f,当,x,趋,于,+,时,以

4、,A,为,极,限,记,作,(,),A,x,f,x,=,+,lim,或,(,),(,),+,x,A,x,f,。,在定,义,1,中正数,M,的作用与数列极限定,义,中,N,的相,类,似,表明,x,充分大的程,度;但,这,里所考,虑,的是比,M,大的所有,实,数,x,而不,仅仅,是正整数,n,.因此,当,x,趋,于,+,时,函数,f,以,A,为,极限意味着：,A,的任意小,邻,域内必含有,f,在,+,的某,邻,域内,的全部函数,值,。,正,M,定,义,1,的几何意,义,如,下,图,所示，,对,任,给,的,0,e,在坐,标,平面上平行于,x,轴,的两条直,线,e,+,=,A,y,与,e,-,=,A,y

5、,，,围,成以直,线,A,y,=,为,中心,线,、,宽为,e,2,的,带,形区域;定,义,中的“当,M,x,时,有,(,),e,-,A,x,f,”表示:在直,线,M,x,=,的右方,曲,线,(,),x,f,y,=,全部落在,这,个,带,形区,域之内.,A-,A+,A,O,x,f(x),M,x,=,一般要往右平移;但无,论带,形区域如何窄,总,存在,这样,的正数,M,使,得曲,线,(,),x,f,y,=,在直,线,M,x,=,的右,边,部分全部,落在,这,更窄的,带,形区域内。,M,A-,A+,A,O,x,f(x),如果正数,e,给,的小一点,即当,带,形区域更窄一点,那,么,直,线,现设,f,

6、为,定,义,在,(,),-,U,或,(,),U,上的函数,当,-,x,或,x,时,若函数,值,(,),x,f,能无限地接近某定数,A,，,则,称,f,当,-,x,或,x,时,以,A,为,极限,分,别记,作,(,),A,x,f,x,=,-,lim,或,(,),(,),-,x,A,x,f,(,),A,x,f,x,=,lim,或,(,),(,),x,A,x,f,这,两,种,函数极限的精确定,义,与定,义,1,相仿,只,须,把定,义,1,中的“,M,x,”分,别,改,为,“,M,x,-,”或“,M,x,”即可。,几何解释:,x,O,证,证,任,给,0,e,由于,而此不等式的左半部分,对,任何,x,都成

7、立,所以只,要考察其右半部分,x,的,变,化范,围,。,为,此,先限制,则,有,例 证明,证,故不妨设|x|1，,而当|x|1时,二、自变量趋于有限值时函数的极限,先看一个例子,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限。,注,定义习惯上称为极限的定义其三个要素：10。正数，20。正数，30。不等式,定义中,所以x x0时，f(x)有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在x0附近的变化趋势,即 x x0时f(x)变化有无终极目标，而不是f(x

8、)在x0这一孤立点的情况。约定x x0但 xx0,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯一的。由不等式|f(x)A|来选定，一般地，越小，越小,2.几何解释:,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯一的。由不等式|f(x)A|来选定，一般地，越小，越小,2.几何解释:,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯一的。由不等式|f(x)A|来选定，一般地，越小，越小,2.几何解释:,如何正面表述,e0 d0 当 0|x-x0|

9、d 有|f(x)-A|e,下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限.请注意以下各例中是怎样确定的.,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,分析,注意函数在x=1是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无关系,证明,因为e 0,=e,当0|x1|d 时 有,例,e 0,只要|x1|e,要使|f(x)A|e,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,例 证明,证,于是,恒有,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,证,恒有,例 设x00 证明,0,e,d,x,=,取,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,例,证明 因为

10、e0 d0 当0|x-x0|d 时,都有|f(x)-A|c-c|0e,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,分析:,|f(x)-A|c-c|0.,e0,d0,当0|x-x0|d 时,都有|f(x)-A|e.,分析,|f(x)A|xx0|e,当0|xx0|d 时 有,d e,因为e 0,证明,只要|xx0|e.,要使|f(x)A|e,e 0,例,|f(x)A|xx0|,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e,通过以上各例,我们对函数极限的“”定义要把握以下几点:,有,(,),(,),e,;,A,U,x,f,。或更,简,单,地表,为,：任,给,0,e,，存在,0,

11、d,，使得,(,),(,),(,),e,d,;,;,0,0,A,U,x,U,f,。,4,d,e,-,定,义,的几何意,义,如,图,3,-,3,所示。,对,任,给,的,0,e,，在坐,标,平面上画一条以直,线,A,y,=,为,中心,线,、,宽,e,2,为,的横,带,，,则,必存在以,直,线,0,x,x,=,为,中心,线,、,宽,d,2,为,的,竖带,，使函数,(,),x,f,y,=,的,图,象在,该竖带,中的部分落在横,带,内,，,但点,(,),(,),0,0,;,x,f,x,可能例外（或无意,义,）。,单侧极限,有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点）,或

12、函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义.,例如，函数,(,),=,0,0,2,x,x,x,x,x,f,5,）,当,0,x,而,趋,于,0,时,应,按,(,),2,x,x,f,=,来考察函数,值,的,变,化,趋势,当,0,x,而,趋,于,0,时,应,按,(,),x,x,f,=,又如函数,2,1,x,-,在其定,义,区,间,1,1,-,端,点,1,=,x,处,的极,限，也只能在点,1,-,=,x,的右,侧,和点,1,=,x,的左,侧,来分,别讨论,。,来考察.,左极限,右极限,例,7,讨论,2,1,x,-,在定,义,区,间,端点,1,处,的,

13、单侧,极限。,解,由于,1,x,，故有,(,),(,),(,),x,x,x,x,-,-,+,=,-,1,2,1,1,1,2,任,给,0,e,则,当,(,),2,1,2,e,-,x,时,，就有,e,-,2,1,x,（,6,）,于是取,2,2,e,d,=,，,则,当,d,-,x,1,0,即,1,1,-,x,d,时,，（,6,）,式成立。,这,就推出,0,1,lim,2,1,=,-,-,x,x,。,类,似地可得,(,),0,1,lim,2,1,=,-,+,-,x,x,。,(1),自变量趋于有限值时函数的极限;,作业,3.小结,(2),自变量趋于无穷大时函数的极限;,(3),函数极限的几何意义;,(4),单侧极限的概念;,(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法;,P47:1,(1)(3)(5)3,4,