《函数凹凸性》PPT课件.ppt

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1、,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、曲线的凸性,曲线的凸性与函数作图,第三章,二、渐近线,三、函数的作图,定义1.设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有,则称,图形是下凸的;或称f(x)为I上的下凸函数。,一、曲线的凸性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,弦在弧的上方；切线在曲线的下方。,(2)若恒有,则称,图形是上凸的;或称f(x)为I上的上凸函数。,弦在弧的下方；切线在曲线的上方。,下凸也称为凸，上凸也称为凹。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1：设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有,则称,图形是下凸的;（弦在弧的上方，或切线在曲线下方）,(2)若恒有,则称,

2、图形是上凸的.（弦在弧的下方，或切线在曲线上方）,等价定义：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于函数凹凸性的判定,有下面的结论：,定理1 设函数 f 在区间I上可导，则 f 在区间I上下凸,（上凸）的充要条件是f(x)在区间I上单调增加（减少）,证明：,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,必要性：,若f 是下凸函数，由定义有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,充分性：,设,单调增加，,对函数,分别在区间,上用拉格朗日中值定理得：存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 在 I 内图形是下

3、凸的;,(2)在 I 内,则 在 I 内图形是上凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例1.判断曲线,的凸性.,解:,故曲线,在,上是下凸的.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.判断曲线,的凸性.,解:,故曲线,在,内是上凸的.,在,内是下凸的.,曲线凸性的分界点称为拐点,定义2：设,内的点，如果曲线在点,的左右两侧凸性相反，则称点,为此曲线的拐点.,注意：拐点是曲线上的点，不能说,是拐点。,与极值点不一样。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求曲线,的拐点.,解:,不存

4、在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,下凸,上凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求拐点的步骤见教材P162.,例4.求曲线,的上（下）凸区间及拐点.,解:,1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,下凸,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,下凸,下凸,上凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5：证明不等式,证明：设,则,当,时，有,即上述 f（t）为下凸函数，,于

5、是对任意,有：,例5.4 例5.5,无渐近线.,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,二、曲线的渐近线,定义3.若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线.,例如,双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1.求曲线,的渐近线.,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.斜渐近线,斜渐近线,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求曲线,的渐近线.,解:,又因,为曲线的斜渐近线.,机动 目录 上页

6、 下页 返回 结束,三、函数的作图,步骤:,1.确定函数,的定义域,期性;,2.求,并求出,及,3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;,4.求渐近线;,5.确定某些特殊点,描绘函数图形.,为 0 和不存在,的点;,并考察其对称性及周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.描绘,的图形.,解:1)定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.描绘方程,的图形.,解:1),定义域为,2)求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3)判别曲线形态,(极大),(极小),4)求渐近线,为铅直渐近线,无定义,机动 目录 上页 下页 返回

7、结束,又因,即,5)求特殊点,为斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6）绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.描绘函数,的图形.,解:1)定义域为,图形对称于 y 轴.,2)求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3)判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5)作图,4)求渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.曲线,(A)没有渐近线；,(B)仅有水平渐近线；,(C)仅有铅直渐近线；,(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与

8、练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,2.设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P168 1（3，6）；2;3；5（1，3）6（3，4）；7（2）,作业,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 求笛卡儿叶形线,的渐近线.,解:令 y=t x,代入原方程得曲线的参数方程:,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,笛卡儿叶形线,参数的几何意义:,图形在第四象限,图形在第二象限,图形在第一象限,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,当,时，,有,证明:,令,则,是凸函数,即,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(自证),