《几何综合问题》PPT课件.ppt

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1、几何综合问题,综合题复习的思考,大家一直都在研究综合题。观察一般研究的角度，或者观察研究的对象基本都是针对题目的外在形式研究的，或者利用以往的考题，例如什么几何变换型的题目等等。其实既然称之为综合题，那么只从外在的形式研究显然是不全面的，或者说是只关注结果的研究方法，难免会出现猜题的嫌疑。,如果只从外在的形式研究不全面，那么实际上就相当于告诉我们研究的角度应该调整到，从内的联系和关系上研究。这就需要考验教师的认识了。因此就需要我们进一步研究综合题本身的类型和外在形式上可能的状态和形式。换句话说，需要我们建立一种新的界定综合题的标准和新的认识。只有这样才可能使我们的复习变被动为主动。,综合问题的

2、分类：如果按照我们以前对综合题的界定，实际上综合题与现在说的综合题有很大的差异。一般讲我们以前说的几何综合题，是指那种利用几何图形，实现利用代数知识进行数量计算的问题。其中题目的外在形式是以几何图形或者关系形成的问题。,综合题（几何本身的应用）我们界定综合题的一般标准：涉及知识点多；涉及的数学思想多；涉及数学方法多；题目解题距长；涉及到的知识背景新；设计的题目形式新。,由于北京市的新课标实施后中考命题的设计中出现了新的所谓的综合题，因此，几何综合题已经不是原来的意义了。现在在中考题目设计中出现的纯几何知识应用，设计的题面比较新、且有一定难度、题型比较新颖、解题方法也比较新的题目称之为综合题了。

3、我们这样的认识它，实际上是从题目的功能上认识的。因为一般讲这样的题目起的作用是区分学生水平，即体现选拔作用的功能。,就目前所考的题目的角度研究，它存在于两种形式之中，即 其一，以一种几何现象为出发点，发现其中可能存在的规律，验证一般或者特殊化的情况。这类题目需要根据题意，理解一般或特殊化，寻求方法证明结论成立。另一类，是以一种几何图形满足一定条件或者特定条件下运动，研究验证运动后图形具有的结论。,这两类题目的解题特征：第一类是先分析，后移动；第二类是先运动，后分析。这两类题目的图形构成特征：我们知道一个几何问题的构成至少由两个以上的图形根据图形的边，角关系，依据不同的位置而形成的。那么中考中的

4、两类题目的图形呈现的现象是相反的。,第一类题目：它是把两个以上的图形经过运动后形成的图形关系中，把一些干扰图形结论的线或者角隐藏起来形成的简化的图形，我们要做的是把那些隐藏的图形显现出来，找到需要的条件，即分析，再动起来。第二类题目：它是在两个图形中，先把其中一个图形的运动显现出来，这时就出现了一些干扰关系的图形条件，需要我们把那些干扰因素找出来，确定可用的条件，即分析。,通过这样的研究和分析，我们就回到了问题的起点，即这两类题目共同存在的现象就是必须存在两个以上的图形，并且这两个图形之间存在着数量，或者位置上的关系，那么都有哪些图形可以形成这样的图形关系，就是我们研究综合题的出发点和起点。我

5、们就这个问题谈点看法和想法。,我们要研究两个图形之间的关系，那么就要解决两个什么样的图形可以结合的问题。从综合题的构成角度思考，一般讲，两个或者两个以上的图形之间应该存在着内在的关系，实际上综合题的解决首先就应该依赖于对这个问题的认识与理解。根据需要我们做这种分类：一、同类图形问题；二、不同类图形问题。,同类图形问题 我们这里所说的同类图形就是指那些封闭的图形。例如三角形、特殊四边形等。由于在题目的构成上存在着：先分析，再移动以及先运动、再分析的两种情况，因此，我们在研究时，就按这两种情况分别研究。为了说明问题，我们结合以往的考题说明就更明确了。,如图2，当ABC中只有ACB=60 时，请你证

6、明 与 的和等于 与 的和.,图2,本题 就是同类型图形结合形成的综合题。从中我们可以体会到这一类题目的特征。再例如，如图1，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC若，探究PG与PC的位置关系及的 值,小聪同学的思路是：延长GP交CD于H点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的PG与PC的比值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）

7、若图1中，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的PG与PC 的比值（用含 的式子表示）,这个题目也是北京市的中考试题，从题目的构成上看，它也属于同类图形的综合问题，只不过它是菱形的应用问题。在这个问题中实际上提出一个很有点研究价值的问题，即当图形关系已经满足例如旋转等条件时，应该判断出是旋转的应用就可以解决问题了，但是在这个问题中不能这样实现求解的目的，是什么因素造成的？是不是具有规律性问题？就是我们必须研究清楚的。,我们知道当两个图形按照我们的设计，进行相应的变换后，就具备了图形移动后存在全等三角形的条件。但是当在这两个图形中存在着新的图形关系时，就会

8、出现本题的现象，即不能直接应用旋转得到的结论。因此就出现了需要判断是否还原旋转关系的问题，就该点而言，是这道题目的价值所在。,这个问题实际上以前讲过：已知正方形ABCD和正方形CEFG共顶点于C，M是BG的中点求证：CMDE,从研究综合题的角度讲，这个问题有必要给学生讲解清楚为什么如此。,前面的中考题就是这个问题的变形应用。由于中点破坏了旋转的条件，那么就需要利用由中点而形成的中心对称的关系，先研究可能的结论，再把问题转化为旋转的问题。,在ABC中，AB=AC，BAC=（0 60），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，

9、BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。,本题就是北京市设计的同类图形综合题的第二种情况的题目。即本题的题干设计的就是先运动的问题，图形运动到一个位置后，可以形成什么关系需要分析；再运动，就形成新的关系，最后在满足特定的条件下求角的数量。在这个过程中，需要学生自己构成新的图形，并且分析新图形必须满足的条件，其后再证明或者求解数量。对于这样的问题而言需要学生具有对图形的变化方向以及结果预判的能力。,不是同类图形问题 在几何命题的构成上，如果不是同类图形而形成的，这些应该是基本问题，但是由于相比同类图形的问题，就显得难度大

10、些。从图形关系的角度说，不是同类的情况是一般情况，因此应属于基本问题。只是我们平时研究的少，使这个问题显得难了些。,不同类图形组合在一起，对一般模式化的东西是一种冲击，因为它的规律性隐藏的比较好，所以需要我们认真的对待这类问题。从往届中考题考察，就会发现，凡是当年考察了这个问题，那么这年的题目就显得难，考试的结果就不是很好，但是考察的数据却很好，说明它的功能性好。,已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA 探究DBC与ABC度数的比值,这个题目就是典型的不同类图形的组合问题，对这样的问题而言，我们持有的分析方法似乎不能解决它。这其中就是今天主要想表达的一些

11、想法的延伸。我们谈同类和不同类的图形问题，实际上想表达的是，几何问题的形成就是因为图形之间的内在的联系才形成的，那么原始的图形可形成的关系就是问题产生的根本原因。,再例如在ABC中，BA=BC，BAC=，M是的中点，P是线段PA上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2 得到线段PQ。（1）若=60且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出的CDB度数；（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线

12、段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。,这也是不同类图形的组合问题，区别在于它是先运动后分析的问题。换句话说，它只告诉你运动状态的结果，那么运动后可能产生什么，就需要分析运动是什么运动，这个运动可能会形成什么问题等。由于同学本身就不习惯从两个图形的角度认识我们，再加上是先运动后分析的情况，因此，本身就形成了难度。除此之外，还因为此问题中实质上是四点共圆的问题，超出课标要求，那就更难了。,综合上面的研究，我们可以对问题有一个基本的描述了：根据综合题的构成的基本情况，可以总结出问题的实质就是需要很好的研究两个或两个以上的图形组合问题，把握几何综合题形成的基本规律。在前面

13、我们提到过一个问题，即最终呈现的是一个题目的相应的图形，也就是一个图形，为了研究的需要我们可能在一些问题上呈现图形变化的过程。,已知点P是正方形ABCD外一点，连结PA、PD，且满足BPD=90，连结PA、PC。问PA+PC与PB的关系是什么？,我们说研究两个图形的组合问题，那么就需要从一个最原始的图形出发研究。为了说明问题，我们就从最特殊的图形看问题。例如正方形。假定我们在正方形中放置一条线段BP。,这个时候，我们可以这样的理解问题，即第二个图形还不确定。那么可能出现的情况是两种，其一是同类的图形，其二是不同类图形。还需要满足什么条件才是同类图形呢？本题中给出了一个直角，那么这个直角还隐含什

14、么呢，由于直角顶点到中心的距离是等于对角线的一半的，实际上就相当于告诉我们它存在着与第一个图形相同的性质，所以就是同类图形问题。,当然这种认识不是唯一的，我们还可以从对所研究的对象的角度研究，结果也是一样的。我们曾经说过，直线形的问题分析问题的方法是：执果索因。因为需要研究的是三条线段之间的关系，此时需要我们把他们放在可以确立关系的图形中才可能实现，那么就需要移动两条线段的位置与第三条线段形成新的关系。此外，本题中隐含着BPA=BPC=DPC=45，还可以从这个角度研究问题。,因此本题可以确定的是：它是同类图形的组合问题。我们把正方形和等腰直角三角形看做是同一个图形。,再例如，ABC中，AB=

15、AC，BAC=100，D是AB延长线上一点，且AD=BC，确定D的度数,从图形上观察，它不具备两个同类图形的综合问题的条件。这时就需要进行必要的分析，本题在原有一个等腰三角形的基础上增加了一条相等的线段，这个条件实际上相当于告诉我们，存在着一个隐含的条件，即BC=AB+BD、这种情况说明，可能存在着另一个等腰三角形。换句话说，就是利用给出的线段相等的条件隐含另一个等腰三角形。,由已知条件中含有顶角的度数，且又是等腰三角形，因此就可确定底角的度数，而本题需要确定角的度数，那么所求的度数应该与本题提供的角度有关。一般讲所求的角都是特殊的角。根据这两点我们可以猜测到：可能是一个三十度的角，当这种假设

16、成立的时候，我们就发现，实际上这个题目中隐含着第二个等腰三角形，而这个三角形的底角是三十度。,再例如，四边形ABCD中，ABC与DCB都是锐角，若AB=CD，确定AD与BC 的关系,这个问题实际上以往的中考题考过，即是等对边四边形问题。今天我们重提这个话题，就是想说明，考题的出发点就是两个图形的组合问题，那么怎么理解呢？四边形的特征是没有关于边的性质，一般讲四边形也不具备边相等的条件那么当存在这样一个条件时，只能说明它是由两个图形组合后去掉连接线而形成的几何问题。我们只需要根据题目条件还原那些连接的线就可以了。,我们说到四边形不具备边相等的条件，当具备这个条件时，可以考虑边相等是怎么形成的。以

17、我们涉及到的题目为例研究，就不难发现形成的原因。因为图形中给出的条件不能直接使用，那么就需要移动其中一条边的位置，即把AB或者CD移动位置，为了使用的方便，显然需要移动到与另一个线段共顶点的位置，形成等腰三角形。,从本题的结果看，它是一道典型的两个不同类图形的组合问题，不同类的图形组合还有其他的情况，再举一例：在ABC中，ABAC，且 求证：DB=CE,本题从最后的求证的结论看，其实就是等对边四边形问题，只是它是需要证明的结论.从中我们还可以得到等对边相等的四边形还可以这样形成。题目的条件中，只给出了两个角等，相当于给出了新的三角形是等腰三角形，由于没有标注字母，因此一般意义上是不能直接应用的

18、条件。,根据我们前面提及的方法，即想办法把相等的线段凑到一起就可以形成等腰三角形了，利用平移的方法显然不可取。这时就出现了一种很特殊的位置关系，即一个等腰三角形与另一个等腰三角形的组合时，如果是底边和腰的组合，那么怎么办，这时唯一可用的方法，就是这两等腰三角形具有的共性性质就是解题的钥匙，即轴对称性。,在不同类的两个图形的问题上，当两个都是特殊图形时，就存在着类似的现象，需要我们研究。,研究的延伸 在我们以往研究中研究过一些具有特殊条件或者特殊规律的问题，那么在研究综合问题时，这些问题是否还有用武之地呢？例如，正方形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且EAF=45，AE、AF交BD于M、N

19、 会形成：EF与BE、DF以及MN与MB、DN的关系的研究,当MAN=45移动位置，即当这个角的一部分移动到正方形的外部时，MN与DN、MB还存在关系吗,有这样一个问题：已知ABC中，C=60，ACBC，BC上一点D，使BD=AC，延长AC至E，使AC=CE求证：DE=AB,我们给这个命题的目的，其一它是涉及到两个三角形的组合问题；其二它对于我们研究综合命题的分析很重要，体现了正确的分析方法的重要性。在这个问题中具有很多的提示性，对我们来讲，怎么引导学生也能读懂这种提示性，才是硬道理。首先告诉我们一个角度，其次告诉我们AC+CD=BC，相当于告诉我们可能存在着两个特殊三角形的组合。,再例如，两

20、个不全等的等腰直角三角形ABC、ADE，固定ABC，使ADE饶着点A旋转，不论它旋转到什么位置，在EC上总有一点M，使DBM是等腰直角三角形,这个题目是特意找到的，目的就是体会：几何研究的对象中位置是第一位的，其次是数量关系。怎么用这个位置关系呢？首先在题目中告诉我们：不论怎么旋转，不论它旋转到什么位置。位置情况只有两种，即直角顶点在斜边AB的同侧或者在异侧。因此，只需要我们研究这两种情况就可以得到结论是否成立。,我们换个角度研究综合题，即从这类命题的构成上以及它的功能上看问题，换个角度看问题，实际上可以帮助我们站的更高一点，看的更远一点，只是希望大家不要花很多工夫猜题、押题，工夫花在解决真正的问题上。学生存在的最根本问题：不理解知识的应用以及问题分析的基本方法，而综合问题的研究恰好可以解决这两个根本问题，所以才这么研究问题的。,提点教学建议：认识正确、详尽的占有资料、设计有序合理、每节课目标明确、落实清晰。等腰三角形的组合问题；等边三角形的组合问题；等腰直角三角形的组合问题；正方形的组合问题；菱形的组合问题；一般图形的组合问题。,给大家留个礼物：一道思考题 在ABC中，AP平分BAC，点P是AD上一点，过点B、P与C、P的直线交AC、AB于点E、F，BE=CF求证：ABC是等腰三角形,感谢聆听,