《几何应用》PPT课件.ppt

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1、,四、旋转体的侧面积(补充),三、已知平行截面面积函数的 立体体积,第二节,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则微元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为,例1.计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积.,解:由,得交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2:由,得交点,例2.计算抛物线,与直线,的面积.,解:由,得交点,所围图形,为简便计算,选取 y 作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回

2、结束,S1,S2,阴影面积可以以x为变量来求：,例3.求椭圆,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a=b 时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程,若y=0,且当x由a变到b时，t由,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,给出时,例4.求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标：,在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴，,对于平面内任何一点M,用表示线段OM的长度,表示从Ox到OM的角度,再选定一个长度单位和角度的正方向

3、(通常取逆时针方向).,这样建立的坐标系叫做极坐标系.,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)就叫点M的极坐标.,极点O和直角坐标系的原点且 极轴Ox与直角坐标系的x轴重合时,极坐标(,)与直角坐标(x,y)建立一一对应关系.,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应 从 0 变,例5.计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处播放开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到 2 所围图形面积.,例7.计算心形线,与圆,所围图形的面积.,解:利用对

4、称性,所求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,交点？,例8.求双纽线,所围图形面积.,解:利用对称性,则所求面积为,思考:用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,定义域？,交点？,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称,注：一阶导数连续的曲线称为光滑曲线。,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、平面曲线的弧

5、长,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.计算摆线,一拱,的弧长.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长.,解:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求连续曲线段,解:,的弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直角坐标方程,找定义域,代公式,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所

6、求立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.,解:绕 x 轴旋转而成的体积为,利

7、用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限!,注 目录 上页 下页 返回 结束,计算时注意积分方法和特殊性质的运用！,柱壳体积,说明:,柱面面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.设,在 x0 时为连续的非负函数,且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明:,证:,利用柱壳法,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例16.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并,与底面交成 角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.,机动 目录 上页 下页

8、返回 结束,思考:可否选择 y 作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,垂直 x 轴的截面是椭圆,例17.计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a=b=c 时就是球体体积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的体积.,内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.已知平行截面面面

9、积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴:,绕 y 轴:,(柱壳法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例18.求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,(94 考研),解:利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(矩形部分去掉有色部分),例.试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积:,提示:,方法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转而成的环体体积 V.,上半圆转成的立体与下半圆所成立体之差,利用对称性,法2 柱壳法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取定y,旋转一周柱面面积,四、旋转体的侧面积(补充),设

10、平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,取侧面积元素:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,侧面积为,求绕 x 轴形成物体的侧面积:,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式也可写成,它也反映了环面微元的另一种取法.,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.,提示:交点为,弧线段部分,直线段部分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以 x 为积分变量,则要分,两段积分,故以 y 为积分变量.,3.,求曲线,图形的公共部分的面积.,解：,与,所围成,得,所围区域的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设平面图形 A 由,与,所确定,求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积.,提示：,选 x 为积分变量.(柱壳法）,旋转体的体积为,4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若选 y 为积分变量,则(外台体积去掉内圆台体积),