《偏导数全微分》PPT课件.ppt

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1、2023/7/10,1,一、偏导数的定义及其计算法,第二节 偏导数,多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。,定义,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是将振幅,求u(x0,t)关于 t 的一阶与二阶导数。,u(x,t)中的 x 固定于x0 处,2023/7/10,2,偏导数的几何意义,如图,2023/7/10,3,几何意义,f x(x0,y0)是曲线 在点(x0,y0,z0)处的切线沿x轴的斜率。,f y(x0,y0)是曲线 在点(x0,y0,z0)处的切线沿y轴的斜率。,偏导函数,2023/7/10,4,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,202

2、3/7/10,5,例设,求f(x,y)的偏导数。,解,2023/7/10,6,偏导数存在、连续、极限存在的关系,在(0,0)极限不存在，,例如,在(0,0)不连续，,但。,2023/7/10,7,二、高阶偏导数,2023/7/10,8,问题：,混合偏导数都相等吗？,例,设,求二阶混合偏导数。,解,2023/7/10,9,按定义可知：,2023/7/10,10,例9 证明函数 满足拉普拉斯方程,例8 证明函数 满足拉普拉斯方程,2023/7/10,11,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计

3、算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),2023/7/10,12,思考与练习：,设z=f(u)，方程,确定 u 是 x,y 的函数,连续,且,解：,2023/7/10,13,作业,P63 5（1）（3）（5）；6（1）（3）（5）；7,（1）；8；P69 3；4；5；6（2）（3）；7；8；9（2）,2023/7/10,14,第三节、全微分的定义,一、全微分的概念,1.回忆：一元函数的微分,2.二元函数的偏增量与偏微分,中值定理：,2023/7/10,15,3.二元函数的全增量与全微分,全增量,例1

4、,求 在(x,y)和(1,1)的全微分,其中,全微分定义（略）,则 称为二元函数在(x,y)的全微分。,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关。,若z=f(x,y)在区域D内处处可微分，则称z=f(x,y)在D内可微分。,2023/7/10,16,注：,类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点：（1）dz是z的线性主部；（2）误差为o(),2.函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续。,3.几何意义：函数 z=f(x,y)在(x,y)点可微 曲面z=f(x,y)在(x,y)点切平面存在。,由微分定义:,2023/7/10,17,二、可微分的条件,证明：,定理

5、1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则该函数在点(x,y)的偏导数 存在，且z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为:。,2023/7/10,18,注意：定理1的逆定理不成立，即:偏导数存在不一定可微!,反例：,则,2023/7/10,19,证明：,2023/7/10,20,例2 计算函数,的全微分。,2023/7/10,21,例3 设,解:,利用轮换对称性,可得：,2023/7/10,22,证明：,（1）令：,则,?,2023/7/10,23,（2）,不存在。,2023/7/10,24,注:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件。,2023/7/10,25,内容小结,1

6、.微分定义:,2.重要关系:,2023/7/10,26,课外作业：,2023/7/10,27,全微分在近似计算中的应用,也可写成,2023/7/10,28,解,由公式得,2023/7/10,29,练 习 题,2023/7/10,30,2023/7/10,31,2023/7/10,32,练习题答案,2023/7/10,33,2023/7/10,34,2023/7/10,35,不存在.,观察,播放,2023/7/10,36,不存在.,观察,2023/7/10,37,观察,不存在.,2023/7/10,38,观察,不存在.,2023/7/10,39,观察,不存在.,2023/7/10,40,观察,不存在.,2023/7/10,41,观察,不存在.,2023/7/10,42,观察,不存在.,2023/7/10,43,观察,不存在.,2023/7/10,44,观察,不存在.,2023/7/10,45,观察,不存在.,2023/7/10,46,观察,不存在.,2023/7/10,47,观察,不存在.,