《信源与信息熵》PPT课件.ppt

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1、1,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,第2章 信源与信息熵,信源描述与分类离散信源的信息熵和互信息离散序列信源的熵连续信源的熵与互信息冗余度,2,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.1信源的描述与分类,信源是产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。从数学上，由于消息的不确定性，因此，信源是产生随机变量、随机序列和随机过程的源信源的基本特性是具有随机不确定性,3,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.1信源特性与分类,分类时间 离散 连续幅度 离散 连续记忆 有 无三大类：单符号离散信源符号序列信源（有记忆和无记忆）连续信源,4,普通高等教育“十五

2、”国家级规划教材信息论与编码,2.1信源描述与分类,描述：通过概率空间描述单符号离散信源例如：对二进制数字与数据信源,5,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.1信源描述与分类,连续信源,6,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.1信源描述与分类,离散序列信源以3位PCM信源为例,7,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.1信源描述与分类,当p=1/2,8,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,信息量自信息量联合自信息量条件自信息量单符号离散信源熵符号熵条件熵联合熵,9,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码

3、,2.2离散信源熵与互信息,信息不确定性的消除信息的度量随机性、概率相互独立符合事件概率相乘、信息相加熵事件集的平均不确定性,10,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,直观推导信息测度信息I应该是消息概率p的递降函数由两个不同的消息（相互统计独立）所提供的信息等于它们分别提供信息之和（可加性）,11,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,定义：对于给定的离散概率空间表示的信源，x=ai事件所对应的（自）信息为以2为底，单位为比特（bit)以e为底，单位为奈特（nat)1nat=1.433bit以10为底，单位为笛特（de

4、t)1det=3.322bit,12,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,定义：联合概率空间中任一联合事件的联合（自）信息量为：定义：联合概率空间中，事件x在事件y给定条件下的条件（自）信息量为：,13,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,联合自信息、条件自信息与自信息间的关系,14,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,例1 设在一正方形棋盘上共有64个方格，如果甲将一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内，让乙猜测棋子所在的位置：（1）将方格按顺序编号，令乙猜测棋子所在方格的顺序号（2

5、）将方格按行和列编号，甲将棋子所在的方格的行（或列）编号告诉乙，再令乙猜测棋子所在列（或行）所在的位置。,15,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,解：由于甲将一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内，因此棋子在棋盘中所处位置为二维等概率分布（1）联合（自）信息量为（2）条件（自）信息量为,16,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,例2.一个布袋内放100个球，其中80个球为红色，20球为白色。若随机摸取一个球，猜测其颜色，求平均摸取一次所获得的（自）信息量。解：随机事件的概率空间为,17,普通高等教育“十五”国家级规划教材

6、信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,18,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,单符号离散信源熵定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量I的数学期望为信源的信息熵，单位为比特/符号,19,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,离散信源条件熵定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量I（x/y)在集合X上的数学期望为给定y条件下信源的条件熵，单位为比特/序列,20,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,离散信源联合熵定义：对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机

7、变量I（x，y)的数学期望为集合X和集合Y的信源联合熵，单位为比特/序列,21,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,联合熵、条件熵与熵的关系,22,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,单符号离散信源互信息定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在出现y事件后所提供有关事件x的信息量定义互信息，单位为比特,23,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,单符号离散信源互信息,24,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,条件互信息量与联合互信息量定义：对于给

8、定离散概率空间表示的信源，在事件z给定条件下，事件x与事件y之间的条件互信息量为：,25,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,条件互信息量与联合互信息量定义：对于给定离散概率空间表示的信源，在事件x与联合事件yz之间的联合互信息量为：,26,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,Eg1(p23)设信源发出8种消息符号，各消息等概发送，各符号分别用3位二进码元表示，并输出事件。通过对输出事件的观察来推测信源的输出。假设信源发出的消息x4，用二进码011表示，接收到每个二进制码元后得到有关x4信息。,27,普通高等教育“十五

9、”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,28,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,平均互信息量 其中,29,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,熵的性质对称性非负性确定性香农辅助定理最大熵定理条件熵小于无条件熵,30,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,非负性,31,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,对称性,32,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,确定性 香农辅助定理,33,普通高等教育

10、“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,最大熵定理 条件熵小于无条件熵,34,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,平均互信息的性质非负性互易性与熵和条件熵及联合熵关系极值性凸性函数性质信息不增性原理,35,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,非负性,36,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,互易性,37,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,平均互信息与熵的关系,38,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离

11、散信源熵与互信息,互信息量与熵的关系,39,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,极值性,40,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,凸性函数当条件概率分布给定时，平均互信息量是输入概率分布的上凸函数当集合X的概率分布保持不变时，平均互信息量是条件概率分布的下凸函数,41,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.2离散信源熵与互信息,信息不增性,42,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,离散无记忆序列信源离散有记忆序列信源马尔可夫信源离散无记忆信源的序列熵离散有记忆信源的序列

12、熵,43,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,离散无记忆序列信源布袋摸球实验，若每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色放回布袋，再取另一个球。,44,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,离散有记忆序列信源布袋摸球实验，每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色不放回布袋，再取另一个球。,45,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m个符号有关联性，而与更前

13、面的符号无关。,46,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源由于高阶马尔可夫信源需要引入矢量进行分析，现方法将矢量转化为状态变量。定义状态：信源在某一时刻出现符号概率xj与信源此时所处状态si有关，用条件概率表示p(xj/si),状态转移概率表示为p(sj/si),47,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源更一般，经过n-m步后转移至sj的概率,48,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源特别关心n-m=1情况，pij(m,m+1),49,普通高等教育“十

14、五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源系统在任一时刻可处于状态空间的任意一状态，状态转移时，转移概率是一个矩阵，一步转移转移矩阵为,50,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源k步转移概率pij(k)与l步和k-l步转移概率之间满足切普曼-柯尔莫郭洛夫方程。定义：如果从状态I转移到状态j的概率与m无关，则称这类MovKov链为齐次对于齐次马尔可夫链，一步转移概率完全决定了k步转移概率。,51,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源定义：若齐次马尔可夫链对一切I,j存在不依赖

15、于I的极限，则称其具有遍历性，pj称为平稳分布,52,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马尔可夫信源定理：设有一齐次马尔可夫链，其状态转移矩阵为P，其稳态分布为wj,53,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,不可约性，对于任意一对I和j，都存在至少一个k，使pij(k)0.非周期性，所有pij(n)0的n中没有比1大的公因子。定理：设P是某一马尔可夫链的状态转移矩阵，则该稳态分布存在的充要条件是存在一个正整数N，使矩阵PN中的所有元素均大于零。,54,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵

16、,Eg.一个相对编码器，求平稳分布,55,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,Eg.二阶马氏链，X0,1,求平稳分布,起始状态,00011011,1/201/40,1/203/40,01/301/5,02/304/5,S1(00),S2(01),S3(10),S4(11),56,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,离散无记忆信源的序列熵,57,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,离散无记忆信源的序列熵平均每个符号熵（消息熵）,58,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离

17、散序列信源的熵,离散有记忆信源的序列熵和消息熵,59,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,Eg 求信源的序列熵和平均符号熵,60,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,离散有记忆信源的序列熵和消息熵结论1 是L的单调非增函数结论2结论3 是L的单调非增函数结论4,61,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,马氏链极限熵,62,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,63,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.3离散序列信源的熵,Eg 求马氏链平均

18、符号熵（三个状态）,64,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.4连续信源的熵与互信息,幅度连续的单个符号信源熵,65,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.4连续信源的熵与互信息,幅度连续的单个符号信源熵,66,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.4连续信源的熵与互信息,波形信源熵,67,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.4连续信源的熵与互信息,最大熵定理,68,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.4连续信源的熵与互信息,最大熵定理限平均功率最大熵定理：对于相关矩阵一定随机变量X，当它是正态分布时具有最大熵,69,

19、普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.5冗余度,冗余度，表示给定信源在实际发出消息时所包含的多余信息。它来自两个方面，一是信源符号间的相关性；二是信源符号分布的不均匀性,70,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,2.5冗余度,Eg.计算英文字母冗余度,71,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,第2章复习 概念(1),信息是可以定量描述的，可以比较大小。由概率决定；对应特定信源，可以求出所含不确定度，也就是消除不确定度所需的信息量；可通过对信源的观察、测量获得信息，以减少对信源的不确定度；,72,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,概念(2),考虑信源符号概率分布和符号之间的相关性，信源不确定度会下降：H(X)就是信源无失真时必需输出的最小信息量；,73,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,概念(3),通过传输，信宿可以得到信息I(X;Y)，从而减小对信源的不确定度：H(X/Y)=H(X)-I(X;Y)信息通过系统传输，只会丢失信息，不会增加。丢失部分H(X/Y)是由噪声引起的。,74,普通高等教育“十五”国家级规划教材信息论与编码,定义、计算公式、相互关系,自信息量、信源熵、相对熵互信息、条件熵、联合熵序列熵、平均符号熵、极限熵冗余度,