《信号处理原理》PPT课件.ppt

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1、1,信号处理原理,徐明星,清华大学计算机科学与技术系,2,信号的概念、描述、分类信号处理的目的、步骤典型信号介绍信号的基本运算信号的分解,内容提要,1基本概念,3,信号是反映（或载有）信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。,信号的概念,自然和物理信号例如：语音、图象、地震信号、生理信号等人工产生的信号例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等,信号是信息的表现形式，信息则是信号的具体内容。,4,信号描述方法,数学描述使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。,因此，常可将“信号”与“函数”和“序列”等同起来,5,信号描述方法,波形

2、描述按照函数随自变量的变化关系，把信号的波形画出来。,6,信号的分类,确定信号与随机信号,要点：,区分方法：,给定的自变量的值，是否可以唯一确定信号的取值。,任意给定一个自变量的值，如果可以唯一确定其信号和取值，则该信号是确定信号，否则，如果取值是在确定的随机值，则是随机信号。,周期信号与非周期信号,要点：,关系式是否成立？,周期信号的周期（正值）：,最小T值,非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号。,7,信号的分类,时间连续信号与时间离散信号,信号的自变量是否在整个连续区间内都有定义？,定义域连续？,NO,时间离散信号,YES,时间连续信号,模拟信号与数字信号,通常被称为“序列”,模拟信号

3、的定义域和值域都有是连续的；数字信号在定义域和值域都是离散的。,计算机特别适合于处理数字信号,8,信号的分类,因果信号与非因果信号,如果信号在时间零点之前，取值为零，则称为因果信号。,表示信号不能在过去存在(有值)！也表示信号的产生是符合逻辑的！,不是因果信号，就是非因果信号。在时间零点之前信号存在。,若信号仅在过去（时间零点之前）有值，则称为反因果信号。,实值信号与复值信号,如果信号的取值是实数，则称为实值信号。,如果信号的取值是复数，则称为复值信号。,复信号是为了研究方便而引入的,9,信号的分类,能量信号与功率信号,定义信号的能量为：,离散时间信号,连续时间信号,定义信号的功率为：,离散时

4、间信号,连续时间信号,如果信号的能量是有限的，则称为能量信号。,如果信号的功率是有限的，则称为功率信号。,10,信号处理及其目的,信号处理,对信号进行提取、变换、分析和综合等处理过程的统称。,信号处理的目的,去伪存真,特征抽取,编码解码,去除信号中冗余的和次要的成分，包括不仅没有任何意义反而会带来干扰的噪音。,把信号变成易于进行分析和识别的形式。,把信号变成易于传输、交换与存储的形式（编码），或从编码信号中恢复出原始信号（解码）。,11,数字信号处理的步骤,模数转换ADC,数字信号处理DSP,数模转换DAC,自变量(时间)和幅值同时离散化,变换域分析、数字滤波、识别、合成,数字信号还原为模拟信

5、号,保证信息不丢失的理论基础是：,采样定理,12,典型信号,指数信号：,微分或积分后还是指数信号,参数,符号,正号,负号,信号增强,信号衰减,绝对值,大,小,变化速度快,变化速度慢,0,直流信号,13,典型信号,正余弦信号：,说明：(1)K为振幅(2)为角频率(3)为初相位,正弦信号,余弦信号,14,典型信号,复指数信号：,欧拉公式：,复指数信号与正余弦信号之间的关系,15,典型信号,Sa函数：,特点：(1)Sa函数是偶函数(2)过零区间宽度(3)Sa函数过零位置,16,典型信号,高斯信号：,特点：(1)形状象一口钟，故有时也称钟形脉冲信号(2)在随机信号分析中有重要地位,17,典型信号,单位

6、斜变信号R(t)：,截顶的单位斜变信号：,18,典型信号,单位阶跃信号u(t)：,特点：(1)与单位斜变信号是积分/微分关系(2)用于描述分段信号,19,典型信号,单位矩形脉冲信号G(t)：,脉高：矩形脉冲的高度,脉宽：矩形脉冲的宽度,信号四则运算,20,典型信号,符号函数Sgn(t)：,用以表示自变量的符号特性,Sgn(t)+1=2u(t),Sgn(t)=2u(t)-1,21,典型信号,单位冲激信号：,信号定义：,引入原因：,描述自然界中那些发生后持续时间很短的现象。,非常规的定义方法,狄拉克定义式,设冲激信号有一个总的冲激强度，它在整个时间域上的积分等于该强度值，而在除冲激点之外的其他点的

7、函数取值为零。,22,典型信号,特点：1 对称性：冲激函数是偶函数2 时域压扩性：3 抽样特性：,冲激点在t0、强度为E的冲激信号,波形表示：,在冲激点处画一条带箭头的线，线的方向和长度与冲激强度的符号和大小一致。,23,信号运算,常规运算,波形变换,数学运算,相互运算,线性运算,乘除运算,反褶运算,时移运算,压扩运算,微分运算,积分运算,卷积运算,相关运算,(四则运算),24,单位矩形脉冲,信号运算,四则运算：,四则运算后的信号在任意一点的取值定义为原信号在同一点处函数值作相同四则运算的结果,冲激串:,抽样信号:,冲激信号的线性组合,产生方法,波形表示,用途,25,波形变换,反褶运算,将原信

8、号f(t)的波形按纵轴对称翻转过来。,26,波形变换,时移运算,将原信号f(t)的波形沿横轴平移b个单位。,参数b决定平移方向和位移量,b0：右移,b0：左移,27,波形变换,压扩运算,(也被称为尺度变换),参数a的符号控制是否先要反褶？,1：压缩,1：扩张,参数a的绝对值控制是压缩还是扩张？,0：不需反褶,0：需要反褶,倍数为1/|a|,28,信号运算,数学运算：,微分运算,积分运算,连续n次微分,连续n次积分,连续进行,29,卷积运算,定义：,性质：,交换律,f1*f2=f2*f1,分配律,f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3,(根据变换积分变量法证明),(这是积分运算的线性性的直

9、接提供推论),30,卷积运算,结合律,(f1*f2)*f3=f1*(f2*f3),证明：,（卷积定义）,（二重积分）,（变换积分次序）,（变量替换）,（定义）,（定义）,31,函数与单位冲激函数的卷积,一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数平移到单位冲激函数的冲激点位置。,亦称单位冲激函数的搬移特性,证明：,卷积运算,推论：,32,卷积运算,卷积的微分,两个信号卷积的微分等于其中任一信号的微分与另一信号卷积。,证明：,（定义）,（交换微分、积分顺序）,（定义）,33,卷积的积分,两个信号卷积的积分等于其中任一信号的积分与另一信号的卷积。,一个函数与单位阶跃函数的卷积等于该函数的积分。,证

10、明：,卷积运算,34,卷积运算,卷积运算的几何解释,35,卷积的几何作图法,36,卷积的几何作图法,可以根据上面的几何解释来估计或求出两个信号卷积运算结果。,在上述一个信号的反褶信号的滑动过程中，它与另外一个信号的重合面积随t的变化曲线就是所求的两个信号的卷积的波形。,37,相关运算,相关运算：,相关与卷积的关系,38,相关运算,自相关（函数自己与自己求相关）：,实函数的自相关是偶函数,周期函数的相关函数总是在周期的整数倍nT处取得最大值。,39,相关运算,自相关函数常用来检测准周期信号的准周期,t是平移量,40,信号分解,信号,直流分量+交流分量,偶分量+奇分量,实部分量+虚部分量,脉冲分量

11、,正交分量,分解结果是唯一的,41,信号分解,信号的奇分量,信号的偶分量,信号的实部分量,信号的虚部分量,信号的直流分量,信号的均值,信号的交流分量,42,信号分解,信号的脉冲分量分解,信号可以近似表示为一组矩形脉冲的和的形式。,43,信号正交分量分解,正交函数：,如果在区间(t1,t2)上,函数f1(t)和f2(t)互不含有对方的分量，则称f1(t)与f2(t)在(t1,t2)上正交,函数正交的充要条件是它们的内积为0,函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积：,如果一个函数可以用一组相互正交的函数的线性组合来表示，我们就称某个正交函数与相应的线性系数的乘积为该正交函数上的正交分量

12、。,44,信号正交分量分解,gn(t):1nN是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：,任一函数 f(t)在(t1,t2)上可表示为正交函数集内函数的线性组合。,正交分量的系数,45,2傅里叶级数,狄义赫利条件(1)在一个周期内，间断点的个数有限(2)极大值和极小值的数目有限(3)信号绝对可积,满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数线性组合”的无穷级数。,46,傅里叶级数展开,三角函数集,复指数函数集,正交函数集,如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“傅里叶级数”。,相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数”和“指数形式的傅里叶级数”。它们都是傅里叶级数

13、的两种不同表示形式。,47,三角形式的FS,展开成三角函数的无穷级数形式,设周期函数f(t)的周期为T1,根据正交函数的正交特性，可得：,48,三角形式的FS,系数计算,系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为傅里叶系数。,信号的基波、基频,49,三角形式的FS,同频率合并,初相位,a，b,c，d,50,复指数形式的FS,系数计算方法,展开成复指数函数的无穷级数形式,设周期函数f(t)的周期为T1,51,三角函数FS与复指数FS的系数间的关系,复指数形式的FS,Fn的性质,共轭对称性,52,周期信号的FS,偶周期信号的FS,Fn是偶对称的实数序列，FS系数只有直流分量和余弦项。,奇

14、周期信号的FS,Fn是奇对称的纯虚序列，FS系数只有正弦项。,积分项为奇函数,积分项为奇函数,53,傅里叶频谱,周期信号的傅里叶频谱特点：(1)仅在一些离散频率点(nf1)上有值。(2)离散间隔为(3)Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。(4)信号的功率为(5)帕斯瓦尔方程,FS谱,FS幅度谱,FS相位谱,54,周期信号的FS,周期矩形脉冲信号的FS,谱线包络线为Sa函数,谱线包络线过零点确定方法：,在频域，能量集中在第一个过零点之内,带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。,定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽,频谱谱线的间隔为,55,3傅里叶变换,周期信号的频谱谱线

15、的间隔为,非周期信号可以看成是周期T1趋于无限大的周期信号,非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长度趋于零。,周期信号的频谱谱线的长度为,解决方法,FT变换,56,周期信号的FT,非周期信号的傅里叶变换,FT：,IFT：,变换核,FT/IFT的性质,唯一性：,如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。,可逆性：,如果，则必有，反之亦然。,FT存在的充分条件：,时域信号绝对可积。,57,FS与FT比较,信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成,幅度频谱密度函数,相位频谱密度函数,58,典型非周期信号的FT,单边指数信号：,59,典型非周期信号的FT,偶双边指数信号：,

16、(实偶函数),60,典型非周期信号的FT,矩形脉冲信号：,(实函数),61,典型非周期信号的FT,矩形脉冲信号FT的特点：,FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积,FT的过零点位置为,频域的能量集中在第一个过零点区间,带宽只与脉宽有关，与脉高E 无关。带宽为,信号等效脉宽,信号等效带宽,62,典型非周期信号的FT,符号函数：,不满足绝对可积条件，但存在FT。,63,典型非周期信号的FT,冲激信号：,强度为E 的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。,频谱在任何频率处的密度都是均匀的,单位冲激信号与直流信号的频谱,64,典型非周期信号的FT,阶跃信号：,不满足绝对可积条件，但存在F

17、T。,原点处的冲激来自u(t)中的直流分量,65,FT的性质,线性性,齐次性,叠加性,反褶和共扼性,66,奇偶虚实性,FT的性质,偶 偶,奇 奇,实偶 实偶,实奇 虚奇,实（=实偶+实奇）实偶+虚奇=偶+j奇=实偶*EXP(实奇),实信号的FT：偶共扼对称虚信号的FT：奇共扼对称,实信号和虚信号的FT幅度谱函数是偶函数，幅度谱偶对称,67,FT的性质,对称性（对偶性）,FT与IFT的变换核函数是共轭对称的,按自变量w 进行FT，结果是t的函数。,IFT可以通过FT来实现,f(t)是偶函数,f(t)是奇函数,68,FT的性质,尺度变换特性,时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩,时移特性,频

18、移特性,不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位,与尺度变换结合,与尺度变换结合,频谱搬移时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。,69,FT的性质,微分特性,积分特性,时域微分,频域微分,时域积分,频域积分,70,FT的性质,卷积定理,时域卷积定理,频域卷积定理,时域相关性定理,若函数f2(t)是实偶函数，则,函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对。,自相关的傅里叶变换,相关性定理与卷积定理一致。,帕斯瓦尔定理,71,周期信号的FT,正弦信号的FT,余弦信号的FT,正弦和余弦信号FT的频谱图,7

19、2,周期信号的FT,周期单位冲激序列的FT,冲激串的FS,FT的对称性,FT的线性性,(周期为T1),73,周期信号的FT,一般周期信号的FT,设周期为T1的周期信号在第一个周期内的函数为f0(t),则,于是,FTf0(t),利用冲激函数的筛选特性,74,周期信号的FT,最后,关系图,75,抽样信号的FT,信号理想抽样前后频谱的变化,原始信号及其频谱,冲激序列及其频谱,抽样信号及其频谱,抽样间隔发生变化,时域离散频域周期,76,抽样信号的FT,按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期2PI/Ts所进行的周期延拓。,结论1：,时域时域离散频域周

20、期,结论2：,77,4抽样定理,要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足：（1）信号是频带受限的；（2）采样率至少是信号最高频率的两倍。,间 矩,78,抽样定理,几个概念,奈奎斯特频率是信号频率的上限,79,抽样定理,从抽样信号恢复原始信号的方法,理论上,工程上,将抽样信号通过截止频率为、放大倍数为Ts的低通滤波器。,80,5LT与ZT,拉普拉斯变换LT定义,拉普拉斯反变换ILT定义,拉普拉斯变换方法是一种复频域变换方法，常称为s域分析。,原函数,若考虑零点处的冲激，则,象函数,复数,81,拉普拉斯变换,双边拉普拉斯变换LT与ILT定义,与傅里叶变换的关系,与单边

21、LT的关系,因果信号的单边LT与双边LT是一样的。,82,LT的性质,线性性,时域平移,单边LT,双边LT,复频域平移,尺度变换,单边LT,双边LT,当时域反褶时，LBf(-t)=F(-s),83,LT的性质,共轭特性,若f(t)是实函数，则,时域微分,单边LT,双边LT,84,时域积分,单边LT,双边LT,LT的性质,复频域微分,其中,85,LT的性质,初值和终值定理,使用条件：,信号是因果信号，且在时不包含冲激或高阶奇异函数。,计算方法：,注意事项：,如果通过该定理求出的初值和终值与实际不符，则计算结果肯定有误。但即使初值与终值这两点与实际符合了，也不能保证所求的LT是正确的。,86,典型

22、信号的LT,周期信号的LT,第一周期的LT,抽样信号的LT,周期单位冲激序列的LT,连续信号冲激抽样后的单边LT,87,由LT求FT,由LT求FT的基本公式,应用条件,由双边LT求FT：,可以,由单边LT求FT：,信号不是因果的,信号是因果的,不行,要根据收敛坐标定,88,Z变换定义,ZT变换定义,序列 x(n)的ZT,复变函数 X(z)的IZT,称 x(n)与X(z)为一对变换对。简记为：x(n)X(z),z-1的幂级数,代表时延,单边ZT,双边ZT,89,Z变换收敛域,收敛域ROC定义,使给定序列x(n)的Z变换 X(z)中求和级数收敛的z的集合。,收敛的充要条件是,判别 收敛的方法,比值

23、法,根值法,90,特定序列的ROC,有限长序列,序列x(n)在nn2(其中n1n2)时为零,ROC至少是,序列的左右端点只会影响其在零点和无穷点的收敛情况,右边序列,序列x(n)在nn1时为零,如果n1为0，则序列是因果序列。,ROC,91,左边序列,序列x(n)在nn2时为零,如果n2为-1，则序列是反因果序列。,ROC,双边序列,序列在整个区间都有定义。,双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合,若Rx1和Rx2存在且Rx2Rx1，则双边序列的ROC为 否则，ROC为空集，即双边序列不存在Z变换。,特定序列的ROC,补充说明,92,与ROC有关的结论,补充说明,求得的是级数收敛的充分而非

24、必要条件，实际收敛域可能会更大。,实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。,93,与ROC有关的结论,极点与ROC的关系,94,常见序列及其ZT,单位冲激序列,ROC：,单位阶跃序列,序列的单边ZT用双边ZT表示为Zx(n)=ZBx(n)u(n),序列是因果序列的充要条件是x(n)=x(n)u(n),序列是反因果序列的充要条件是x(n)=x(n)u(-n-1),矩形脉冲序列,95,常见序列及其ZT,单位斜变序列 nu(n),单位指数序列 anu(n),96,常见序列及其ZT,单边正余弦序列,要尽可能利用常见ZT对和ZT基本性

25、质求解一般序列的ZT,97,6ZT的性质,线性性,ROC,时域平移性,双边ZT,单边ZT,左移,右移,左移,右移,98,ZT的性质,时域扩展性,扩展因子a,1,-1,相当于在原序列每两点之间插入a-1个零,相当于原序列先反褶，再每两点之间插入-a-1个零,如果序列是偶对称的，则,如果序列是奇对称的，则,如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点（或极点）z0，那么它必含有另外一个与z0 互为倒数的零点（或极点）1/z0,99,ZT的性质,时域共轭性,如果一个序列是实序列，则,如果一个实序列的ZT含有一个零点（或极点）z0，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点（或极点）z0*,Z域尺度

26、变换（或序列指数加权）,可以用复指数序列调制一个序列的相位特性。,100,ZT的性质,Z域微分（或序列线性加权）,ROC唯一可能的变化是加上或去掉零或无穷。,初值定理,X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则,终值定理,X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则,只有在极限存在时才能用，此时X(z)的极点必须在单位圆内（如果位于单位圆上则只能位于z=1，且是一阶极点）。,101,ZT的性质,时域卷积定理,卷积的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集。当出现零极点相抵时，ROC可能会扩大。,102,ZT的性质,Z域卷积定理,设,C1和C2收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线,的收敛域为,帕斯瓦尔定理,

27、103,逆Z变换的求解,部分分式展开法,把X(z)展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加，即可得到x(n)。通常展开的对象是X(z)/z，而不是X(z)。,幂级数展开法,把X(z)按z-1展成幂级数（通常是使用长除法），那么其系数组成的序列x(n)即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。,104,逆Z变换的求解,留数法,T(z)在某个s阶极点处的留数的求法：将T(z)中含有该极点的所有因式全部去掉，然后对z进行s-1次微分，再除以(s-1)!，最后求出表达式在该极点处的函数值，即为所求。,其中，pm为围线包围的X(z)zn-1的极点,设p是T(z)=X(z)z

28、n-1的s阶极点，则T(z)在该极点处的留数为：,105,逆Z变换的求解,106,逆Z变换的求解,107,7离散时间系统,定义,离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入x(n)通常称为激励，输出y(n)称为响应。输入输出的对应关系可简记为x(n)y(n)。,系统响应,零状态响应,零输入响应,系统处于零状态时对应的响应。,没有激励时系统的响应。,线性离散时间系统,对任意一组常数ck(1 k K)，满足条件,否则，为非线性离散时间系统。,108,LTI离散时间系统,时不变离散时间系统,在相同样起始条件下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。,否则，为时变离散时间系统。,如果系统既是线性的，

29、又是时不变的，则称为线性时不变系统，简记为LTI系统。,LTI离散时间系统的表示,一般用差分方程来描述。有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数、相加。差分方程的一般形式是：,109,离散系统的响应,用ZT法求解离散时间系统响应的基本步骤,（1）求出激励的ZT（2）对表示离散系统的差分方程两边施加ZT（3）把激励的ZT代入，求出响应的ZT（4）求IZT，即可得到系统的响应,单位冲激响应：,离散系统对单位冲激序列 的零状态响应,记作h(n)，即,单位阶跃响应：,离散系统对单位阶跃序列 的零状态响应,110,离散系统的传递函数,逆系统：,如果一个系统的传递函数是H(z)，那么称传递函数为1/

30、H(z)的系统为原系统的逆系统。,逆系统对信号的运算是原系统对信号的运算的逆。,传递函数或系统函数：,表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值,结论：,系统的零状态响应等于激励与单位冲激响应之间的卷积,传递函数H(z)与单位冲激响应h(n)是一对ZT对,系统的单位阶跃响应等于其单位冲激响应的部分和,两个系统串联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的卷积，传递函数是串联子系统传递函数的乘积,两个系统并联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的和，传递函数是并联子系统传递函数的和,111,离散系统的特性,关于离散系统稳定性和因果性的结论,离散系统是稳定的充要条件是单位冲激响

31、应绝对可和。离散系统是因果的充要条件是其单位冲激响应是因果序列。离散LTI系统是稳定的充要条件是其传递函数的ROC包括单位圆。离散LTI系统是因果系统的充要条件是其传递函数的ROC是某个圆外部的区域，且包括无穷远点。具有有理传递函数的离散LTI系统是因果系统的充要条件是其ROC是传递函数最外面极点之外的某个圆外部的区域；传递函数分子多项式z的阶次不大于分母多项式z的阶次。具有有理传递函数的因果离散LTI系统是稳定系统的充要条件是其传递函数的全部极点都在单位圆内。,只要输入有界输出必定有界,输出变化不领先于输入变化,112,离散系统的频率响应,结论,当把频率为 的正弦序列施加到系统函数为H(z)

32、的系统上时，系统的稳态响应是同频率的正弦序列，其幅度被扩大了 倍，相位被延迟了。结论对余弦序列同样适用。,系统的幅频响应值越大的频率成分，越容易通过系统；幅频响应值越小的频率成分越容易被系统阻碍。,系统的频率响应是其单位冲激响应的傅里叶变换。,定义：,如果离散系统的系统函数为H(z)，则称 为离散系统的频率响应，简称频响，它反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响。,通常是复值函数,幅频响应,相频响应,113,频率响应的分类,单位冲激响应h(n)为实序列的系统，其频响 具有共有共轭对称性，即,系统的频响是周期的，周期为；当系统的单位冲激响应h(n)为实序列时，系统的频响关于 点或 点是共轭

33、对称的。,具有实单位冲激序列h(n)的系统，其频响在 区间的取值，反映了系统对激励信号中从直流到频率 间各频率分量的响应情况。,示意图,离散系统按其幅频特性在奈奎斯特区间内的走势可分为：,低通、高通、带通、带阻、全通。,114,低通系统,带通系统,高通系统,带阻系统,全通系统,幅频响应分类,115,频率响应几何确定法,传递函数,频响,零点向量差,极点向量差,如果单位圆上某个点沿逆时针方向不断转动，转动一周就可以根据下式得到系统的频响。,在z平面原点处加入或去掉零极点,不会影响系统的幅频特性,只影响系统的相频特性,116,8离散傅里叶变换DFT,连续时间傅里叶变换CTFT不适宜于在数字计算机上进

34、行计算。其主要原因为：,信号覆盖了整个时间轴（时间受限信号除外）信号是时间连续的 信号的频谱覆盖了整个频谱轴（频带受限信号除外）信号是频谱连续的,时间要离散、有限！频谱要离散、有限！,?,117,时域周期延拓,时域截断,时域抽样,解决信号的离散化问题,工程上无法处理时间无限信号,要使频率离散，就要使时域变成周期信号,时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积,通过窗函数对信号进行逐段截取,连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓,周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现,周期延拓后的周期函数具有离散谱,通过与抽样信号相乘得到,经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。,DFT的推导

35、,118,DFT的推导,119,DFT的推导,处理后信号的连续时间傅里叶变换,它是离散函数，仅在离散频率点f=k/NTs处存在冲激，强度为ak，其余各点为0。,它是周期函数，周期为Nf0=1/Ts，每个周期内有N个不同的幅值。,时域的离散时间间隔（或周期）与频域的周期（或离散时间间隔）互为倒数。,120,DFT定义,DFT的定义,设h(nTs)是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,N-1，这N个点的宽度为N的DFT为：,IDFT的定义,设H(k/NTs)是连续频率函数H(f)的N个抽样值k=0,1,N-1，这N个点的宽度为N的IDFT为：,N点DFT的变换核,N点IDFT的变换核,互为共轭

36、,121,DFT定义,定义,用途,正逆变换的核函数分别可以表示为 和,DFT可以表示为,核函数的正交性可以表示为,IDFT可以表示为,周期性与对称性,122,周期性与对称性,DFT定义,123,离散谱的性质,离散谱定义,离散序列h(nTs)(0nN)的DFT离散谱为,离散谱性质,周期性,序列的N点DFT离散谱是周期为N的序列。,幅度对称性,如果离散序列x(nTs)(0nN)为实序列，则其N点DFT关于原点和N/2都有,共轭对称性,124,DFT的定义是针对任意的离散序列x(nTs)中的有限个离散抽样(0nN)的，它并不要求该序列具有周期性。,由DFT求出的周期离散谱,IDFT重建信号是离散的周

37、期函数,DFT总结,谱函数周期为 1/NTs=fs/N=1/T0=f0关于变元k的周期为 N谱函数离散间隔为 Nf0=N/T0=N/NTs=1/Ts=fs,重建信号周期为 NTs=T0=1/f0 对应离散谱的离散间隔的倒数重建信号离散间隔为 Ts=NTs/N=T0/N=1/Nfs 对应离散谱周期的倒数,125,DFT总结,实序列的离散谱关于原点和 N/2（如果N是偶数）是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0N/2-1范围获得，从低频到高频。,在时域和频域0N范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。,IDFT重建信号的基频是频域的离散间隔（或时域周期的倒数），为f0=1/T

38、0=1/NTs,126,DFT的性质,线性性,对任意常数am(1mM)，有,奇偶虚实性,127,DFT的性质,反褶和共轭性,DFT的反褶与平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。,128,DFT的性质,时移性,序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。,频移性,对称性,把离散谱序列当成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍。,如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。,129,DFT的性质,圆卷积,周期均为N的序列x(n)与y(n)之间的圆卷积定义为,仍是n的序列，周期为N,非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存

39、在圆卷积，但不存在线卷积。,时域离散圆卷积定理,频域离散圆卷积定理,130,DFT的性质,时域离散圆相关定理,圆相关,周期均为N的序列x(n)与y(n)之间的圆卷积定义为,仍是n的序列，周期为N,帕斯瓦尔定理,131,9FFT算法,FFT不是一种新的算法，而只是DFT的快速算法,直接计算DFT的复杂度为O(N2),计算DFT需要：N*N=N2次复数乘法N*N=N2次复数加法,被称为旋转因子，可以预先算好并保存,132,FFT的原理,1 W具有周期性,2 W具有对称性,N点DFT运算可以分解为两组N/2点DFT运算，然后再取和。,经过周期性与对称性简化之后,容易发现DFT运算中存在着不必要的重复

40、计算,避免这种重复,是简化运算的关键.,DFT的复杂度与点数N有关！,133,FFT的原理,134,N/4点DFT,N/4点DFT,N/4点DFT,N/4点DFT,N/4点DFT,N/4点DFT,N点组合相加,第一级,第二级,第三级,FFT逐级分解,135,FFT运算流程图,第一级,第二级,第三级,蝶形运算单元,群,136,FFT蝶形运算单元,一个蝶形单元只需一次复数乘法和两次复数加法,可以共享,137,FFT算法流程说明,全部计算分解为M级，或称为M次迭代。,输入序列x(n)按码位倒读顺序排列，输出序列X(k)按自然顺序排列。,每级都包含N/2个蝶形单元。,每级的若干蝶形单元组成“群”。第1

41、级群数为N/2，第2级群数为N/4，第i级群数为N/2i，最后一级的群数为1。,每个蝶形单元都包含乘Wnk与-Wnk的运算（可简化为乘Wnk与加、减法各一次）。,同一级中，各个群的W分布规律完全相同。,138,FFT算法流程说明,各级中W的排列规律（自上而下）,第1级：第2级：第3级：第i级：第M级：,W的指数为：次序*本级群数,139,FFT算法流程说明,码位倒读,输入序列x(n)的排列次序不符合自然顺序。此现象是由于按n的奇偶分组进行DFT运算而造成的，这种排列方式称为“码位倒读”的顺序。,所谓“倒读”，是指按二进制表示的数字首尾位置颠倒，重新按十进制读数。,码位倒读示例（N=8）,140

42、,码位倒读算法,int BitReverse(int src,int size)/src是待倒读的数，size是数二进制位数int tmp=src;int des=0;for(int i=size-1;i=0;i-)des=(tmp,取出tmp的最后一位，放到des的指定位上。,141,2 FOR(I=0，L=N/2;IR;I+)/逐级计算.L:级内群数 FOR(J=0,M=1;JL;J+)/逐群计算.M:群内单元数 FOR(K=0;KM;K+)/逐蝶形单元计算 POS=K+J*(M*2);TMP=DATAPOS+M*WK*L;DATAPOS+M=DATAPOS-TMP;DATAPOS+=TM

43、P;L/=2;/群数减少一倍 M*=2;/蝶形单元数增加一倍,FFT算法流程框架,1 按下标二进制对输入进行整序,符号说明,N=2R是FFT的点数。I表示当前级，J表示当前群，K表示当前蝶形单元。L表示当前级内的群数，M表示当前群内的蝶形单元数。,142,FFT算法复杂度分析,FFT的复杂度分析,预先计算好,一个对偶结点对的计算需要2次复数加法和1次复数乘法,对任一次迭代，共有N/2对结点，因此共需N次复数加法和N/2次复数乘法,r次迭代的总计算量为,复数加法次数,复数乘法次数,算法复杂度,IDFT同样可用FFT实现，算法复杂度相同。,143,FFT实验,二维离散傅里叶变换2D-DFT,空间中

44、的矩阵向量(或点)表示为,可以把g(m,n)看作是一幅二维数字图像，则g(m,n)是图像在坐标(m,n)处的亮度(灰度级)。若把g(m,n)视为一个二元函数（自变量为m和n），则它是数字图像在平面上的亮度分布函数。,144,FFT实验,定义1：二维矩阵向量g(m,n)的2D-DFT,定义2：二维矩阵谱向量G(p,q)的2D-IDFT,145,FFT实验,二维FFT,二维FFT相当于对行和列分别进行一维FFT运算。具体的实现办法是：先对各行逐一进行一维FFT，然后再对各列逐一进行一维FFT。,for(int i=0;iM;i+)FFT_1D(ROWi，N);for(int j=0;jN;j+)F

45、FT_1D(COLj，M);,数据第i行,数据第j列,146,FFT实验,实验数据,实验数据为一图像数据文件，文件格式是纯文本格式。文件正文的第一行的值表示矩阵的大小，即N值。后面的N行是点阵图像，每行有N个数据。N最大为256。在图像点阵中，.代表0（即没有点），o代表1（即有点）。,9,文件内容示例（9x9汉字大）,可视为一个9X9的二维矩阵向量,147,FFT实验,施加FFT，再直接IFFT，显示还原后的N*N汉字图像。施加FFT，再压缩为（N/2）*（N/2）的谱，然后IFFT，最后显示还原后的（N/2）*（N/2）的汉字图像。施加FFT，再压缩为（N/2）*（N/2）的谱，然后先补零再IFFT，最后显示还原后的N*N的汉字图像。,实验内容,148,FFT实验,实验注意事项,图像数据是以文本形式存放在文件中的，读入后要转化为数值（如转为0，o转为10），才能进行FFT变换。,为了显示还原后的图像，需要将IFFT变换后的数据以文本形式入文件中。,IFFT变换后的数据是复数，根据复数模的大小，将它们分别转成和o字符。这就要设定一个控制阈值，模大于阈值的复数对应o字符，模小于阈值的复数对应字符。,控制阈值要通过实验确定。,