《信号分析基础》PPT课件.ppt

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1、第4章 信号分析基础,本章学习要求,机械工程测试技术,1、掌握信号频域分析的概念、意义和方法，周 期信号和非周期信号的频域描述及其频谱特 征；2、理解信号的分类及其定义，时域描述和频域 描述的实质，随机信号的概念和关于随机信 号幅值的若干统计参数，信号的相关分析；3、了解时域向频域转换的数学工具-傅里叶变 换的概念和性质，典型信号的频谱。,第一节 信号的分类,一、信号的分类 从不同角度观察信号，可以将其分为：,7.按独立变量个数分,-1-D信号(一维信号:one-dimensional signal)单个独立变量的一维函数,e.g.语音信号；-2-D信号(二维信号:two-dimensiona

2、l signal)两个独立变量的二维函数,e.g.图象信号；-M-D信号(多维信号:multi-dimensional signal)多个独立变量的多维函数,e.g.彩色视频信号(RGB)。,二、确定性信号与非确定性信号,可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号；不能用明确数学关系式描述的信号称为非确定性信号。,1、确定性信号（1）周期信号(periodic signal)经过一定时间间隔T0而重复出现的信号，其表达式为：x(t)=x(t+nT0)(n=1,2,3,),频率natural)frequency(Hz)：,周期periodicity(秒)：,圆频率circular freque

3、ncy(弧度)：,一般地，周期信号（如周期方波square wave、周期三角波triangular wave等，正弦信号sine signal、余弦信号cosine signal除外）是由多个乃至无穷多个不同频率成分的谐波信号harmonic signal叠加而成，叠加后存在公共周期(什么定理？)。,例：质量-弹簧振动系统无阻尼(zero damping)时：,振动为周期信号：,信号波形(waveform)：被测信号幅度(amplitude)随时间变化历程称为信号波形,若干个频率成简单整数比的正弦波叠加而成，能合成为一个周期信号。如：是周期信号。,+,=,x1(t)=A1Sin(1t+1)=

4、A1Sin(21t+1)=10Sin(23t+/6),x2(t)=A2Sin(2t+2)=A2Sin(2 2t+2)=5Sin(22t+/3),x3(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3),+,=,（2）非周期信号(aperiodic signal)：不会再重复出现的信号。,准周期信号(quasi-periodicity signal),准周期信号:由多个周期信号合成，其中至少有一对频率比不是有理数，其合成信号不是周期信号。如,瞬态信号(transientsignal),瞬态信号:持续时间有限的信号，如 x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)；如质量-弹簧振动系统

5、有阻尼时，位移信号x(t)就成为瞬变非周期信号。,实际上周期信号与非周期信号之间没有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期T 无限增大时，则此信号就转化为非周期信号f(t)。即：,2、非确定性信号 不能用数学式描述，其幅值(amplitude)、相位(phase)变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程(random process)，故又称为随机信号(random signal)。如：行驶车辆所受的道路振动；切削材质不均匀的工件时所产生的切削力；海浪、地震波；旋转机械的振动，噪声等。,加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形,除实验室发生的有规律的信号外，通常的信号都是随机的。随机信

6、号每一次观测的结果都不一样，所以无法用实验的方法重复出现。但其值的变动服从统计(statistics)规律，可用统计特征值(characteristic value)来描述随机信号。由于随机信号的不可重复性，需分析无限长的信号内容才能得到准确的结果，但实际工作中不可能做到。截取有限长的点数进行统计特征参数的计算，其结果并不是真正值(true value)，而是估计值(estimated value)。,平稳随机信号(stationaryrandom signal),总体平均：,任一样本sample平均：,若随机过程的统计特征参数不随时间变化，则称为平稳随机过程。如果，称为各态历经的平稳随机过程

7、，处理时，可以用一个样本(sample)来代替总体。,平稳随机信号(stationary random signal),非平稳随机信号(nonstationaryrandom signal),统计特性变异,若随机过程的统计特征参数随时间发生变化，则称为非平稳随机过程。,非平稳随机信号(nonstationary random signal),三、能量信号与功率信号,（1）能量信号(energysignal)在所分析的区间（-，），其能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：,一般持续时间有限的瞬态信号(transient signal)是能量信号。,（2）功率信号(powersignal)在所

8、分析的区间（-，），其能量不是有限值，此时，此时研究信号的平均功率更为合适。满足关系：,一般持续时间无限的信号属于功率信号。,四、连续时间信号与离散时间信号,连续信号(CTS:Continuous Time Signal)：在连续时间范围内定义的信号称为连续信号，其幅值可以是连续的，也可以是离散数值；（独立变量连续）离散信号(DTS:Discrete Time Signal)：时间为离散变量的信号，则是离散信号。（独立变量离散）,通常用二进制编码表示,（1）连续时间信号(CTS)：在所有时间点上有定义,(a)汽车速度连续信号,(b)开水房锅炉水温度的变化连续信号,（2）离散时间信号(DTS)：

9、在若干时间点上有定义,采样信号(sampledsignal),(c)每日股市的指数变化（离散信号）,(d)某地每日的平均气温变化（离散信号）,(e)每隔5分钟测定开水房锅炉水的温度变化（离散信号）,(f)每隔2微妙对正弦信号采样获得的离散信号,模拟信号,采样信号,数字信号,五、时域有限信号与频域有限信号,（1）时域有限信号 在时间段(t1，t2)内有定义，其外恒等于零。,（2）频域有限信号 在频率区间(f1，f2)内有定义，其外恒等于零。,一个信号不能同时在时域和频域上都是有限的。,1、正弦信号,第二节 信号分析中的常用函数,正弦信号在工程技术中应用十分广泛（为什么？)，是信号分析中有着重要作

10、用的最基本的周期信号。描述正弦信号的参数有：幅值A、初相位、自变量t（通常指时间），周期T和频率f（或角频率）。对于正弦信号：,2、单位脉冲(冲激)信号(unit impulse signal)(t),等价于：,在时间内，激发出一个方波信号S(t)，其面积为1。,且,思考：请绘出周期单位脉冲函数（采样函数）图形：,（1）乘积特性（抽样:sample）,（2）积分(integral)特性（筛选:filter）,函数特性：,则：,则：,例：,利用函数的性质求：,解：,3、单位阶跃函数,单位阶跃函数：,单位阶跃序列：,单位采样序列：,单位阶跃序列与单位脉冲序列之间的关系：,或,4、森克函数,闸门(或

11、抽样)函数，因为矩形脉冲的频谱为 函数；,函数又称为：,滤波函数，因为任意信号与该函数进行时域卷积时，实现低通滤波；内插函数，是因为采样信号复原时，在时域由许多函 数叠加而成，构成非采样点的波形。,x(t)*f(t)X()H(),第三节 信号的时域分析,信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器(oscilloscope)、万用表(multitester)等普通仪器直接显示信号波形(waveform)，读取特征参数。,1、均值(mean；average value),均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流 分量、稳态分量和常值分量。,周期信号：,非周期信号：,2、均方值(mean

12、 square value),工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值,信号的均方值，反映信号的能量或强度，表征信号x(t)在0T时间内的平均能量，也称平均功率。其正平方根值，又称为有效值(均方根)(RMS Root Mean Square)，也是信号平均能量的一种表达。,周期信号：,非周期信号：,例：,3、方差(variance),方差：反映了信号绕均值的波动程度，为信号的波动分量,三者关系：,周期信号：,非周期信号：,4、信号波形图,t,A,(1)周期(periodicity):T，频率(frequency):f=1/T,(2)峰值(peak value)：P；,双峰值(peak-to-p

13、eak value)：Pp-p,在纯正弦波(如简谐振动)的情况下，单峰值等于峰峰值的1/2，有效值等于单峰值的0.707倍，绝对均值等于单峰值的0.637倍；平均值在振动测量中很少使用。,打开sat_man软件：波形特性分析,第四节 信号的幅值域分析,1、概率密度函数(probability density),以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。,Tx：x幅值落在 区间内的时间,信号的概率密度函数与信号均值、均方值及方差有如下关系：,常见的四种信号（假设这些信号的均值为零）的概

14、率密度函数图形：,2、概率分布函数(PDF;Probability Distribution Function),概率分布函数是信号幅值小于或等于某值x的概率，其定义为：,概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。,3、直方图(histogram)分析,以幅值大小为横坐标，以每个幅值(amplitude)间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。,打开Examole3,直方图分析是一种很有效统计分析方法，广泛应用于生产生活各个方面，如社会统计分析、经济活动统计分析等。,1、时域(time domain)描述,描述信号幅值随时间的变化情况，反映信号变化的快慢和波动情况，比较直

15、观、形象，便于观察和记录。信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器(oscilloscope)、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数(characteristic parameter)。,第五节 信号的频域分析,一、信号的时域描述和频域描述,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,2、频域(frequency domain)描述,描述信号幅值(amplitude)、相位(phase)随频率(frequency)的变化情况，帮助人们从另一个角度来了解信号的特征，这种频率

16、分析的方法又称为频谱(spectrum)分析法，频谱分析包括频率分析和功率分析。,大型空气压缩机传动装置故障诊断,频谱分析的应用,傅里叶级数傅里叶变换,信号频域分析是采用傅立叶级数(Fourierseries)(周期信号)和傅立叶变换(Fourier transform)(非周期信号)将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)。,t,y,y,f,傅立叶频谱分析仪 SR760,QLVSA-2型虚拟式FFT,打开：QLV Signal Analyzer,131Hz,147Hz,165Hz,175Hz,打开vsi.exe软件演示不同频率的声音,简单周期信号波形,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情

17、况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,受噪声(noise)干扰的多频率成分信号,例1：,下图是汽车变速箱上加速度信号的功率谱(power spectrum),图（a）是变速箱正常工作谱图，（b）为机器运行不正常时的谱图。可以看到图（b）比（a）增加了9.2Hz和18.4Hz两个谱峰，这两个频率为设备故障的诊断提供了依据。,例2：,可以用频谱分析仪来对电子琴校音，看各琴键产生的 音的频率是不是准确。,打开 iDreamPiano或iLearnInteractive,案例8、乐器校音（钢琴、古筝）,校音方式自动、手动（可显示古筝弦序及音名）校音范围大字组Db(6

18、9.296HZ)小字组D(1174.66HZ)功能模式D调古筝，调古筝校音,打开：1.音乐信号的频谱分析 2.多功能声信号频谱分析仪,信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,时域分析与频域分析的关系,打开sat_man观察谱阵,二、周期信号的频谱,本节将从特殊情形周期函数的傅里叶级数展开出发，通过使周期函数的周期逼近无穷大，引出非周期函数的傅里叶分析方法傅里叶变换。法国数学家傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier,17681830)于1822年在热的解析理论中提出并证明的“周期函数展开为正弦级数的原理”

19、；1965年科学家又提出并实现的“快速傅里叶变换（FFT:Fast Fourier transform）”，为这一数学工具赋予了新的生命力。,傅立叶的两个最主要的贡献1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和(weighted sum)傅里叶的第一个主要论点2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分(weighted integral)表示 傅里叶的第二个主要论点,1、傅里叶级数的三角展开式,周期信号是经过一定时间T0可以重复出现的信号，满足条件：x(t)=x(t+nT0)任何周期函数，都可以展开成正交函数(orthogonal function)线性组合(linear combinatio

20、n)的无穷级数(infinite series)，如三角函数集 的傅里叶级数。一般周期信号可以利用傅立叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。,按正弦或余弦规律变化的最简单的周期信号称为简谐信号，它仅有单一的频率,Harmonic signal,音乐中的数学,任何乐音都是周期函数，因此，任何乐音都可以表示为简单的正弦函数之和。某小提琴奏出的乐声为：,，n为奇数,若：,理论上，将得到方波信号。即方波信号可分解为成谐波关系的正弦信号的和。,并非任一周期信号都可以展开成傅立叶级数。将信号x(t)展开成傅立叶级数应满足以下条件：（1）在一个周期内的能量是有限的，即：（2）Dirich

21、let(狄利希莱)条件 a.在任一周期内有间断点存在，间断点的数目是 有限的，即当t从较大的时间值和较小的时间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的(finite)函数值；b.在任一周期内极大值(maximum)和极小值(minimum)的数目应是有限的；c.在一个周期内绝对可积(integration)，即：,工程中的信号一般都能满足这些要求,傅里叶级数的三角函数(trigonometric function)表达形式：,或：,周期信号：,式中:,（频率为0时的值）,：包含信号的幅值信息，是频率 的函数。,，：包含信号的相位信息，是频率 的函数。,0(基波)圆频率；f0=0/2，(基波

22、)自然频率T=2/0，周期；,当n=1时，得到的正弦分量 称为基波(first harmonic)，对应的频率 称为该周期信号的基频(fundamental frequency)，又称一倍频。其它正弦分量按n的数值，分别称为n次谐波(harmonic wave)。,特点：频谱图为单边谱,2、傅里叶级数的复指数展开式,三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计算。,傅里叶级数的复指数(complex exponential)函数表达形式：,特点：频谱图为双边谱,其中Cn为复数(complex)，且：,也可以

23、这样计算Cn：,幅值信息:,相位信息:,实(real part)频谱,虚(imaginary part)频谱,幅值谱(amplitude spectrum),相位谱(phase spectrum),功率谱(power spectrum),傅立叶级数的复指数与三角函数展开的关系,引入：欧拉公式(Euler formula)：,或：,则：,一般周期函数实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。,实频谱图,虚频谱图,双边幅值谱图,双边相位谱图,单边幅值谱图,正弦信号(sine signal)和余弦信号(cosine signal)的频谱,例1：求周期方波(square wave)（见图）的傅立叶级数的

24、三角函数展开式，并作出其幅值谱图。,或：,其中：,例2：求周期方波的傅立叶级数的复指数函数形式，并作出幅值谱图。,解：,例3：周期性方波信号的频谱展开,三角函数展开式：,幅值频谱图,相位频谱图,补充：,或：,方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱,实频谱,虚频谱,幅频谱,相频谱,周期性三角波x(t)的一周期中，可以表示为,周期性三角波,正弦分量幅值bn=0,例4：求周期性三角波的傅立叶级数展开,当n=1，,n=2，a2=0,n=3，,n=4，a4=0,n=5，,三角波的A-幅频和-相频图,或：,例5：求周期矩形脉冲(rectangular pulse)信号的复指数展开形式,解：,在x(t

25、)的一个周期中可表示为：,当n=0时，常值分量c0：,当n0时，,所以复指数形式为：,其中，,其幅值谱和相位谱如下：,例6：画出 的频谱,幅值频谱图,相位频谱图,1.三角频谱,补充：三角公式,sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+co

26、tA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA),1、两角和公式,2、和差化积公式,sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB),3、积化和差公式,sinsin=-1/2*cos(+)-cos(-)coscos=1/2

27、*cos(+)+cos(-)sincos=1/2*sin(+)+sin(-)cossin=1/2*sin(+)-sin(-),实频图,虚频图,双边幅频图,双边相频图,2.复指数频谱,例7：画出x(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3)的频谱,1.三角频谱,x(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3),2.复指数频谱,三角公式：sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos()sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)c

28、os(b)+sin(a)sin(b),在,处：,在,处：,在,处：,在,处：,例8：已知余弦信号，求：,（1）傅立叶级数三角函数形式展开的频谱；（2）傅立叶级数复指数函数形式展开的频谱。,解：,（1）所给形式已经是三角函数形式,（2）求复指数函数形式,cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,例9：已知某周期信号x(t)的傅立叶级数展开 式如下,画出该信号的幅值谱图和相位谱图.,解：,sin（-）=-sin cos（-）=cos sin（/2-）=cos cos（/2-）=sin sin（/2+）=cos cos（/2+）=-sin sin（-）=sin cos（-）=-cossi

29、n（+）=-sin cos（+）=-cos sin（3/2-）=-cos cos（3/2-）=-sin sin（3/2+）=-cos cos（3/2+）=sin,例10：,打开sat_man软件(1)两个正弦信号的叠加(2)周期信号的幅值谱和相位谱,三角函数式与复指数函数形式频谱图区别,采用三角函数形式的傅里叶级数时,周期信号的频谱是位于频率轴右侧的离散谱,谱线间隔为整数个0，为单边频谱。对于指数形式的傅里叶级数,|cn|为幅值谱,cn为相位谱,由于值取正负整数,故其频谱为双边频谱。,周期信号的频谱具有如下特点：,（1）离散性(discrete)：周期信号的频谱是离散的。（2）谐波性(harm

30、onic)：每条谱线只能出现在基波频率的整数倍。谱线之间的间隔等于基频率的整数倍。（3）收敛性(astringency)：各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。工程中常见的周期信号，其谐波分量的幅度总的趋势是随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量。,对于周期信号，可以用傅里叶级数展开的方法对其进行频谱分析，但对于非周期信号，由于其不是周期信号，因此在有限区间的傅里叶级数展开是错误的。应该如何对其进行频谱分析呢?在这里将前面学过的周期信号的傅里叶级数展开法，推广到非周期信号的频谱分析中去，导出非周期信号的傅里叶变换。,三、非周期信号的频谱,在特殊情况

31、下，可将非周期信号看成是周期趋于无穷的周期信号，即T。从周期信号的傅里叶级数展开已经了解到：随着周期T0增大，信号的基频分量频率值0将降低，各谐波分量的频率间隔0减小。当周期为无穷大时，信号的基频分量频率值将趋于零值，各谐波分量间的频率间隔也趋于零，即原周期信号的离散频谱(discrete spectrum)变为了非周期信号的连续频谱(continuous spectrum)，同时原傅里叶级数的求和变为了积分。非周期信号是由无限多个频率极其接近的频率成分合成，故其频谱为连续谱。,频谱演变的定性观察,将信号从时域变换到频域称为傅立叶(正)变换(Fourier transform:FT)；将信号从

32、频域变换到时域称为傅立叶逆(反)变换(inverse Fourier transform:IFT),或,1、傅里叶变换,傅里叶变换存在的充要条件：,设 是时间t的非周期信号，的傅里叶变换存在的充要条件是：1 在 范围内满足狄里赫利条件；2 绝对可积，即 3 为能量有限信号，即,随机信号为功率信号，一般不满足傅立叶变换条件,2、傅里叶变换的主要性质,a.线性特性(linear characteristic)若 x1(t)X1(f)，x2(t)X2(f)则：c1x1(t)+c2x2(t)c1X1(f)+c2X2(f)b.时间比例性(proportionality)若 x(t)X(f)，则,证明：,

33、这个性质说明，当时域尺度压缩(k1)时，对应的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展宽(k1)时，时间尺度被压缩(compressed)，虽可以提高信号的效率，但重放的信号频带会展宽，倘若后续处理信号设备的通频带不够宽，将导致失真。反之，快录慢放(k1)时，时间尺度被扩展(expanded)，重放的信号频带会变窄，对后续处理设备的通频带(passband)要求可降低，但这是以牺牲信号的效率为代价的。,c.对称性(symmetry)若 x(t)X(f)，则 X(t)x(-f),若f(t)为偶函数(even function)，则时域和频域完全对称，如直流和冲激函数的频谱的对称性。,d.时移性(time

34、 shift)若 x(t)X(f)，则,会改变幅,，即只改变相频谱，不,频谱函数将乘因子,时，,常值,信号沿时间轴平移一个,此性质表明，在时域中,为常数，因：,若,0,2,0,0,ft,j,e,t,t,p,频谱。,所以：,e.频移性(frequency shift)若 x(t)X(f)，则,。,对应的时域函数将乘因子,，,频率轴平移一个常值,此性质表明，若频谱沿,为常数，因：,若,t,f,j,e,f,f,0,2,0,0,p,m,所以：,通常情况下X(f)是复数，可以表示为：,称为 的幅值谱密度(spectrum density)；,称为 的相位谱密度；,称为 的能量谱密度。,3、非周期信号的频

35、谱,非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和。由于非周期信号的周期T，基频fdf，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，用幅值密度函数描述，为连续谱。,非周期信号频谱特点：（1）非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦和余弦分量之和，但包含了从零到无限高的所有频率分量；（2）非周期信号的频谱具有连续性和衰减性等特性；（3）与 的量纲不同，具有与原信号 的幅值相同的量纲，而 的量纲是单位宽上的幅值，有密度的含义；（4）各频率分量的频率不成谐波关系；（5）非周期信号频域描述的数学工具为傅立叶变换。,对于N点x(t)计算其傅立叶变换，要做N2次复数乘法和N(N-1

36、)次复数加法运算才能求得，当N较大时，上述计算量大得惊人，很费时间。J.W.Cooley和J.W.Tukey 于1965年提出快速傅立叶变换的算法(FFT:Fast Fourier Transform)，其算法大大减少了运算次数，加快了计算速度。例如当N=4096时，计算速度提高了170倍。数据越大，节省时间越多，当时N=32K(32768)时，可以节省时间1000多倍。FFT是人们公认为数字信号处理发展史上的一个转折点，也可称之为一个里程碑。Cooley和Turkey提出的FFT算法发表后，不断有人提出新的算法或改进原有的算法，这些算法统称为快速傅里叶变换(FFT)法。,快速傅里叶变换FFT

37、简介,4、典型信号的频谱,（1）矩形窗(rectangular window)函数,主瓣,旁瓣,（2）单位脉冲信号(unit impulse signal),是一个理想函数，是物理不可实现信号。从极限上看：,且,可见函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。,(f)傅里叶逆变换：,根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质可以得到以下傅里叶变换对。,（3）正弦信号(sine signal)和余弦信号(cosine signal),正弦信号和余弦信号的频谱,（4）周期单位脉冲序列(unit impulse sequence),周期单位脉冲函数（又称采样函数、梳状函数）表达式为：,式

38、中 Ts 为周期，频率为：,周期单位脉冲序列函数的频谱 为：,周期单位脉冲序列的频谱仍是周期脉冲序列。时域周期为 Ts，频域周期则为 1/Ts；时域脉冲强度为1，频域脉冲强度则为 1/Ts。,（5）单边指数衰减信号(exponential damping signal),（6）偶双边指数信号,（7）奇双边指数信号,（8）符号函数(sign function),（9）单位直流信号(unit step signal),因,则,又,（10）单位阶跃信号(unit step signal),因,则,又,所以,例题讲解,解：,所以，幅值谱密度和相位谱密度分别为：,例2：求信号 的傅立叶变换,解：,例3：

39、已知信号x(t)，求信号x(0.5t)，x(2t)的傅立叶 变换,由傅立叶变换性质：,则：,例4：求指数衰减振荡信号 的频谱。,解：,例5：求如下矩形调幅信号的幅值谱密度。,解：,其中g(t)为矩形脉冲，脉冲幅度为E，脉冲宽度为，信号波形如图所示。,矩形脉冲g(t)傅立叶变换为,因为,根据频移性质，,所以,f(t)的傅立叶变换为：,例6：,案例9、滚动轴承故障频谱分析,测试系统装置,SKF 6203-2RS深沟球轴承参数,轴承特征频率计算公式,NTN轴承频率计算软件,压电式加速度传感器通过磁座安装在电动机壳体的风扇端，用于测量轴承振动信号，信号采样频率fs=12kHz。在转速为n=1750r/

40、min情况下，分别测得轴承外圈故障、内圈故障以及滚动体故障的振动信号。,轴承故障特征频率,内圈故障,外圈故障,滚动体故障,时域波形,内圈故障,外圈故障,滚动体故障,频谱图,随机信号的特点：时间函数不能用精确的数学关系式来描述；不能预测它未来任何时刻的准确值；对这种信号的每次观测结果都不同。但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性,可用概率统计方法来描述和研究。,四、随机信号的频谱,随机信号为功率信号，不满足傅里叶变换的条件。研究随机信号时，仍然可以应用傅里叶变换，但必须根据随机信号的特点对它做某些限制，如截断处理+离散傅立叶变换DFT(discrete Fourier transform)。,

41、随机信号的统计特性：要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要有无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通常用统计方法对以下三个方面进行数学描述：（1）幅值域描述:均值、方均值、方差、概率密度函数、概率分布函数等。（2）时间域描述:自相关函数(auto-correlation function)、互相关函数(cross-correlation function)。（3）频率域描述:自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。,对于随机信号x(t)来说，由于它的持续期为无限长，不满足绝对可积与能量可积条件，因此，它的傅里叶变换不存在。为了将傅里叶变换方法应用于随机信号，必须对随机信号做某些限制，最简单的一

42、种方法是先对随机信号进行截断，再进行傅里叶变换，这种方法称为随机信号的有限傅里叶变换。随机信号的平均功率却是有限：,1、随机信号的自功率谱密度函数,因此，研究随机信号的功率谱是有意义的。,随机信号及其截断,设x(t)为任一随机信号，现任意截取其中长度为T（T为有限值）的一段信号，记为xT(t)，称作x(t)的截取信号。,随机信号x(t)的截取信号xT(t)满足绝对可积条件，xT(t)的傅里叶变换存在。,随机信号的平均功率：,令,则,Sx(f)描述了随机信号的平均功率在各个不同频率上的分布，称为随机信号x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱密度。Sx(f)是定义在所有频率域上，一般称作双边谱。在实

43、际中，使用定义在非负频率上的谱更为方便，这种谱称为单边自功率谱密度函数Gx(f)。,和定义自功率谱密度函数一样，也可用两个随机信号x(t)和y(t)的有限傅里叶变换来定义x(t)和y(t)的互谱密度函数Sxy(f),2、两随机信号的互谱密度函数,互谱密度函数(cross spectral density function)表示出了两信号之间的幅值和相位关系。需要指出，互谱密度函数不象自谱密度函数那样具有功率的物理涵义，引入互谱这个概念是为了能在频率域描述两个平稳随机过程的相关性。在工程实际中常利用测定线性系统的输出与输入的互谱密度函数来识别系统的动态特性(dynamic characteris

44、tics)。,维纳-辛钦（Wiener-X）定理 对于平稳随机信号，自相关函数Rx()是时域描述的重要统计特征，而自功率谱密度函数Sx(f)则是频域描述的重要统计特征，可以证明Rx()与Sx(f)有着密切的关系:即构成傅里叶变换对。,容易证明互谱密度函数Sxy(f)和互相关函数Rxy()也构成一对傅立叶变换对，即：,3、相干函数与频率响应函数,相干函数（coherence function）xy2(f)又称凝聚函数(coherency function)，是谱相关分析的重要参数，特别是在系统辨识中可以判明输出y(t)与输入x(t)的关系。当xy2(f)=0时，表明y(t)与x(t)不相干，即输

45、出y(t)不是由输入x(t)引起；当xy2(f)=1时，说明y(t)与x(t)完全相关；当0 xy2(f)1时，有如下三种可能：（1）测试中有外界噪声干扰；（2）输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；,（3）联系x(t)和y(t)的系统是非线性的。,对于线性系统，若输入为x(t)，输出为y(t)，系统的频率响应函数(frequency response function)为H(f)，则：,频率响应函数H(f)是由互谱与自谱的比值求得的。它是一个复矢量，保留了幅值大小与相位信息，描述了系统的频域特性。对H(f)作逆傅里叶变换，即可求得系统时域特性的单位脉冲响应函数h(t)。,第六节 信

46、号的相关分析,1、相关的概念,相关指变量之间的相互依赖关系，统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。,式中：随机变量x、y的协方差；、随机变量 x、y的均值；、随机变量 x、y的标准差。,2、相关函数(correlation function),假定x(t)、y(t)是不含直流分量(信号均值为零)的实能量信号，则x(t)和y(t)的互相关函数为Rxy()，描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度。,当时x(t)=y(t)时，称为自相关函数，简记为：,当时x(t)和y(t)均为实功率信号，则它们的互相关函数(cros

47、s-correlation function)和自相关函数(auto-correlation function)定义为：,计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差，再相乘和积分，就可以得到时刻二个信号的相关性。,互相关函数的硬件实现,（a）自相关函数是 的偶函数，RX()=Rx(-)；（b）互相关函数为非奇非偶函数，但满足:（c）当=0 时，自相关函数具有最大值。（d）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。（e）频率相同的两周期信号的互相关函数仍然是同频率 的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（f）两个不同频率的周期信号互不相关。（g）随机信号的自相关

48、函数将随 的增大快速衰减为0。,3、相关函数的性质,Rx()的值限制范围为,x(t)与x(t）彼此无关,例：求正弦信号 的自相关函数。,另解：,奇函数积分为0,四种典型信号的自相关函数,打开sat_man演示相关,打开实验二、典型信号的相关分析,4、相关分析的应用,实例、相关方法提取周期成分,理想信号,干扰信号,实测信号,自相关函数,原理：,当延时很大时，随机噪声的自相关函数趋于零，而周期信号的自相关函数仍是周期函数，且其周期不变，从而从噪声中提取出周期信号。,打开：随机信号分析仪,案例10：汽车乘坐平顺性及其相关分析,1、平顺性试验,汽车平平顺性试验系统框图,汽车的平顺性试验过程框图,40k

49、m/h稳速直线行驶驾驶员座椅各方向的加速度曲线,矩形窗、汉宁窗和海明窗归一化频谱特性图,驾驶员坐椅横向加速度自功率谱密度函数,驾驶员坐椅垂向加速度自功率谱密度函数,驾驶员坐椅纵向加速度自功率谱密度函数,时域法：对记录的加速度时间历程a(t)，通过相应频率加权函数w(f)滤波网络得到加权加速度时间历程aw(t)。然后按下式计算加权加速度均方根值aw。,平顺性评价方法,1、先计算各轴向加权加速度均方根值。有两种计算方法：,频率加权函数w(f),f的单位为Hz,频域法：利用功率谱密度函数计算加权加速度,计算座椅三个轴向总加权加速度均方根,加权振级,平顺性指标和人的感觉间的关系,不同车速下驾驶员坐椅处

50、加权加速度方均根及振级,2、相关分析,汽车在行驶中，某一座位上的振动较大，这种振动由发动机和四个车轮(一般研究后轮），通过各机械环节传递到此座位上。为了消除座位振动过大引起乘坐者的不适，首先需找到发动机和四个车轮中对该座位振动影响最大的一个。为此，在该座位上、发动机及四个车轮(或2个后轮）的轴端各安装一测振传感器，将发动机、各轮所测得的振动信号分别与座位上所测得的振动信号作互相关处理，在所得到的综合相关曲线上，可以看到各轮振动对座位总振动的影响。,汽车振动的互相关分析（打开演示）,实例：油管裂损位置相关分析（打开演示）,漏损处S向两侧传播声响的声源，在两侧管道上分别放置传感器1和2，因为放传感