《习题课赵树嫄》PPT课件.ppt
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1、第三章 习题课,二、典型例题,一、主要内容,第三章,Rolle定理,Lagrange中值定理,常用的泰勒公式,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,一、主要内容,例1,解,这就验证了命题的正确性.,例2.设 f(x)=3x2+2x+5,求 f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的 值.,解:f(x)为多项式,在a,b上满足拉格朗日中值定理条件,故,由此解得,(即此时 为区间a,b的中点),例3.设a0,a1,an 满足,证明 方程 a0+a1x+an1 xn1+an xn=0 在(0,1)内至少有一实根,证:令,则,f(x)C(0,1),在(0,1)内可导。,又 f(0)=0,即 f(0
2、)=f(1),故 f(x)满足Rolle定理条件.,由Rolle定理,命题获证.,例4.证明:若f(x)在(,+)内满足关系式 f(x)=f(x),f(0)=1,则 f(x)=ex.,证:要证 f(x)=e x,x(,+),,令,(转化证明(x)=0),又 f(0)=1,故,从而,例5.证明若f(x)在a,b上可微,则至少存在一点,(a,b),使,分析:要证明,与拉格朗日中值定理的式子比较可知,可作辅助函数,余下的由学生自己完成.,例6 证明:当 0 a b 时,,证 即要证,则 f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件,,故,另例.,解,例7,解,例8.,解,例9.,证,例10.,证,则有
3、,例11.,解,由题设条件,必有,解此方程组得,故所求作抛物线的方程为,曲率圆的方程为,两曲线在点处的曲率圆的圆心为,例18,解,奇函数,列表如下:,极大值,拐点,极小值,作图,证:令 F(x)=x2(f(b)f(a)(b2a2)f(x),由 f(x)的连续性和可导性,得,F(x)C(a,b),F(x)在(a,b)内可导,又 F(a)=a2(f(b)f(a)(b2a2)f(a)=a2f(b)b2f(a),F(b)=b2(f(b)f(a)(b2a2)f(b)=a2f(b)b2f(a),即 F(b)=F(a),由Rolle定理,至少存在一点(a,b),使得,F()=2(f(b)f(a)(b2 a2
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