线性空间的定义与性质.ppt
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1、,线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,它是向量空间概念的推广,线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际问题,一、线性空间的定义,若对于任一数 与任一元素,总有唯一的一个元素 与之对应,称为 与 的积,记作,定义 设 是一个非空集合,为实数域如果对于任意两个元素,总有唯一的一个元素 与之对应,称为 与 的和,记作,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么 就称为数域 上的向量空间(或线性空间),2 向量空间中的向量不一定是有序数组,3 判别线性空间的方法:一个集合,对于定义的加法和数乘
2、运算不封闭,或者运算不满足八条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间,说明,1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算,称为线性运算,()一个集合,如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算的封闭性,例 实数域上的全体 矩阵,对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作,线性空间的判定方法,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律,是一个线性空间.,例 在区间 上全体实连续函数,对函数的加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性空间,一般地,()一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律,证明
3、,所以对定义的加法与乘数运算封闭,下面一一验证八条线性运算规律:,所以 对所定义的运算构成线性空间,1零元素是唯一的,证明,假设 是线性空间V中的两个零元素,,由于,所以,二、线性空间的性质,2负元素是唯一的,证明,则有,向量 的负元素记为,证明,4如果,则 或.,证明,假设,那么,又,同理可证:若 则有,三、线性空间的子空间,定义2设 是一个线性空间,是 的一个非空子集,如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称 为 的子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是:对于 中的线性运算封闭,解,(1)不构成子空间.,因为对,例8,有,即 对矩阵加法不封闭,不构成子空间.,对任意,有,于是,满足,且,线性空间的元素统称为“向量”,但它可以是通常的向量,也可以是矩阵、多项式、函数等.,线性空间,是一个集合,对所定义的加法及数乘运算封闭,所定义的加法及数乘符合线性运算,四、小结,线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广,它在理论上具有高度的概括性.,思考题,思考题解答,
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