《中心力场》PPT课件.ppt

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1、Review,微观全同粒子具有不可分辨性，任何两个粒子交换，量子态不变,第1页,全同粒子波函数，要么对称（Bose子），要么反对称（Fermi 子）。,P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。,第2页,交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。,Pauli 不相容原理 不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态。,第六章 中心力场,教学内容,第3页,1 中心力场中粒子运动的 一般性质2 无限深球方势阱3 三维各向同性谐振子4 氢原子,1 中心力场中粒子运动的 一般性质,一、角动量守恒与径向方程何谓中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（

2、力心），其势能只是粒子到力心的距离r的函数，即V(r)，为球对称势。（例如Coulomb场）,第4页,设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：,经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。,对于势能只与 r 有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。,第5页,l,H=0,l2,H=0,l及l2均为守恒量,径向动能,离心势能,取体系(自由度3)的力学量完全集为,第6页,求解中心力场中粒子的能量本征方程,径向方程可写为：,求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：,第7页,不同中心力场V(r)，不同Rl(r)（l(r)）；方程中没有出现磁量子数m，能量本

3、征值E与m无关。与l有关，给定l，m有2l+1个取值，中心力场的简并度一般为2l+1.选取对易守恒量完全集(H,l2,lZ)之后，同一能级的各简并态就可标记清楚。,一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。非束缚态，E连续变化。束缚态，E取离散值。由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr,nr=0,1,2,，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l，l一定，E随nr增大而增大。nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。光谱学习惯，把（l=0,1,2,3,4,5,6）的态记为s,p,d,f,g,h,i.,第8页,径向波函数在r0邻域内的渐进行为,假定V(r)满足,第9

4、页,变为,设,当r0，,在任何体积元找到粒子的概率应为有限值。当r0，若Rl(r)1/ra，要求a=1时，Rl(r)r-(l+1)不满足要求。l=0时，R0(r)Y001/r，但此解并不满足能量本征方程,第10页,r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求,径向方程的一个定解条件。,两体问题化为单体问题,实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,第11页,ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r,I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整

5、体的质心运动。,可以证明：,第12页,证明：,第13页,以上结果带入到两粒子能量本征方程，,分离变量,第14页,描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解,描述相对运动，E 是相对运动能量（单粒子能量本征方程）,两体问题 单体问题,Review 中心力场中粒子运动一般性质,1.中心力场 V(r)球对称势2.经典力学中，角动量守恒，平面运动3.量子力学中，l,H=0,l2,H=0,第15页,第16页,当r0，,r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求,两体问题化为单体问题,2 无限深球方势阱,考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，

6、(束缚态),第17页,考虑s态（l=0）。径向方程,势阱内部，,方程的解可以表示为 sin(kr)的形式，再根据r=a处的边界条件，sin(ka)=0,有,第18页,粒子能量本征值为,归一化，,l0时，径向方程为,第19页,引入无量纲变量=kr,球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl()与球Neumann 函数 nl(),0时，,球方势阱的解取为,当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl()=0的根为,第20页,粒子的能量本征值为,相对应的径向本征函数为,第21页,10,A5.合流超几何函数,合流超几何微分方程为,第22页,，为参数。在z0邻域，,令y=zs,可得,s=0 时的

7、级数解，,第23页,要求方程左边各次项为0，,由此可得,c0=1,得出级数解，合流超几何函数,第24页,k,ck/ck-11/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致，,s=1-时,级数解为,3 三维各向同性谐振子,质量为的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，,第25页,是刻画势阱强度的参量。径向方程为，,r=0的邻域，物理上可以接受的径向波函数的渐近行为是,r时，,自然单位，=1,束缚态边界条件要求,第26页,方程的解写为,化为,合流超几何方程。,方程有两个解，,第27页,u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为,无穷级数解,合流超几何函数,要满足束缚态边条件，要求F(,)中断为 一个多

8、项式。要求=0 or 负整数,第28页,这就要求,这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。,能级简并度能级均匀分布，间隔。能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l.给定能级EN,nr=0,1,2,3,，(N-1)/2 or N/2 l=N-2 nr=N,N-2,N-4,N-6,1(N奇)or 0(N偶)N偶时，能级简并度（N奇同样结果）,第29页,径向波函数为,归一化后,直角坐标系,采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为相同的三个彼此独立的一维谐振子,第30页,本征函数可以分离变量，相当于选取（Hx,Hy,Hz）为对易守恒量完全集，共同本征态为,相应的能量本征值为,第31页,能级简并度,给定 N，nx=0,1,2,，N-1,N ny+nz=N,N-1,N-2,，1,0(ny,nz)种数 N+1,N,N-1,，2,1能级简并度为,练习（习题5.7）,中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为,第32页,利用Feynman-Hellmann 定理（p.95,习题4.7）证明对处在能量本征态下的三维各向同性谐振子，,