《中学数学建模》PPT课件.ppt
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1、黑龙江省教育学院数学系 曲 巍,中学数学建模应用,函数与不等式数 列三 角几 何,函数与不等式,一次函数模型二次函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型不等式模型,建模(或知识应用)提示1.实际问题中的数量关系模糊,数据孤立,要对有关数据作适当处理后借助于其内在规律或经验,将其理想化、函数模型化.2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分析与讨论.3.实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函数或不等式关系时需注意其有意义的变化范围,不能只考虑纯数学关系.4.问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推广性.,一次函数模型,高跟鞋问题如何选择广告上的优惠计划包装与价格,高跟鞋问题,设某人下肢躯干部分长为x厘
2、米,身高为l厘米,鞋跟高d厘米,鞋跟高度与好看程度的关系,如何选择广告上的优惠计划,实际背景 为配合不同客户的需要,广告商设有以 下优惠计划,以供客户选择.,问题在两个计划中选择,你选择哪一项?分析(1)两项服务的不同点:计划A的每月基本服务 费比计划B少,而计划B比计划A给客户的首 段免费通话时间多.(2)模型假设与建立 设t(分钟)为通话时间,而C()是所需付出 的费用,则可列出计划A与计划B的付费函数 关系式为:,计划A:,(t60),计划B:,(t500),(3)究竟通话时间超过多少分钟,计划B会较 计划A为优?0.38(t-60)+98=168 得 t=244.21(分钟)故当客户使
3、用该服务的时间超过244分 钟(约4小时)时,计划B较优.(4)问题推广 若客户真的选择了计划B,最多可以比选 择计划A省多少钱?,解决 由图可知,起初计划A比计划B便宜 70,当使用时间超过60分钟,则两者差距缩小,直到Q点,两者已无差距,即表示两个计划在此时的优惠相同.由图,用户所得最大优惠差额为 97,t,包装与价格,某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有60g装和150g装两种规格.假设,冰淇淋售价=(冰淇淋成本+包装成本)(1+利润率),并且,包装成本与球形外壳表面积成正比.已知60g装冰淇淋售价1.50元,其中冰淇淋成本为每克1分钱,利润率为25%,问在利润率不变的情况下,150g装冰
4、淇淋应售价多少?两种规格中,买哪种比较合算(3.684可供参考)?,分析 设60g装冰淇淋的包装成本为x元,根据题意,得 解得x=0.60(元)又设60g装和150g装两种规格外壳表面积分别为s1、s2,容积为v1、v2,150g装冰淇淋包装成本为y元,根据题意,得,所以,从而,故买大包装合算,二次函数模型,渔场实际应养多少鱼关于饮水机的思考资金分配问题,渔场实际应养多少鱼,问题某渔场中渔群的最大养殖量为一定值m吨.为保证渔群的生产空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.由长期的统计数据可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增长量最大,实际应养多少
5、鱼?,建模分析这一问题中涉及最大养殖量、实际养殖量、空闲量、空闲率、年增长量等多个量,其中最大养殖量为定值m吨,空闲量、空闲率、年增长量都随实际养殖量的变化而变化。,建立模型假设实际养殖量为x吨,年增长量为y吨,则空闲量为(m-x)吨,空闲率为,由问题概述可建立目标函数为,即实际养殖量为最大养殖量的一半时,鱼群的年增长量最大,最大增长量为 吨。,关于饮水机的思考,基本假设()忽略饮水机启动时所需的 电能()当人回来时,水的温度恰为 制热所能达到的最高温度,符号的约定 饮水机的制热功率(单位:)饮水机的保温功率(单位:)饮水机的制热最低温度(单位:)饮水机的保温最低温度(单位:)饮水机机内水的质
6、量(单位:kg),饮水机的电阻(单位:)饮水机的工作电压(单位:)把水从室温加热到的时间(单位:s)在保温情况下,从降到的 间(单位:s)水的比热(单位:kg),在保温过程中,水吸收的热量:,水散失的热量:,单位时间内水散失的热量:,当外出开着饮水机时,在外出时间t内,消耗的电能:,当外出关掉饮水机时,回来后重新启动,饮水机消耗的电能:,1.当 时,则外出时开着饮水机 较为省电,即,所以,2.当 时,则外出时关掉饮水机 较为省电,即,模型的应用与评价,一台TC-9901LW型的饮水机,经测量,所需的数据如下:,则,资金分配问题,有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所获得的利润依次为P万元和Q万
7、元.它们与投入资金万元有如下经验公式:,现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金应如何分配投入?,建模分析 设对甲种商品投入万元,则投入乙种商品为(3-)万元,所获得的利润总额(万元)为,模型求解 设,则,则原函数变形为,当 时,即,因此,为获取最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元,获得的最大利润为1.05万元.,幂函数、指数函数、对数函数模型,基本处理方法,交通流量问题,生活背景 由于人口的增加,人们生活 水平的提高,社会拥有车辆的数量在快 速增加,许多大中城市都车满为患,塞 车现象处处可见,所以每一位司机和乘 客,都会共
8、同关心交通流量的问题,交通流量的定义 设某一辆车的车头与随后的车相隔的距离为,而行驶的车速为,定义单位时间内通过的车辆数为交通流量,则交通流量有以下关系式:,分析 定义车距:前车车尾至后车车头间的距离,记为,L表示车长.则,(1)在交通拥挤的情况下,由于,故,(2)在交通畅通的情况(如高速公路)下,由于,故,由于,其中t为煞车前的反应时间,所以,故,评价 遇上交通拥挤时,影响交通流量的主要是车速与车长,在这种情况下,车速自然要放慢,否则只会发生意外.因此,影响最大的因素就是车长,在马路上排队的短身车辆,明显地对交通流量增加有不小的“贡献”.至于在高速公路上,影响交通流量的最主要因素不是速度而是
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