《两向量的向量积》PPT课件.ppt

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1、二、两向量的向量积,一、两向量的数量积,7.2 数量积 向量积,一、两向量的数量积,设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2.以s表示位移.,数量积的物理背景,由物理学知道,力F所作的功为W|F|s|cos,其中 为F与s的夹角.,对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即ab|a|b|cos.,数量积的定义,根据数量积,力F所作的功W就是力F与位移s的数量积,即WFs.,一、两向量的数量积,数量积与投影 由于|b|cos|b|cos(a,b),当a0时,|b|cos(a,b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是ab|a|P

2、rjab.同理,当b0时,ab|b|Prjba.,所以,对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即ab|a|b|cos.,数量积的定义,一、两向量的数量积,数量积的性质(1)aa|a|2.(2)对于两个非零向量 a、b,如果 ab0,则 ab;反之,如果ab,则ab0.如果认为零向量与任何向量都垂直,则abab0.,对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即ab|a|b|cos.,数量积的定义,一、两向量的数量积,数量积的运算律(1)交换律:abba;(2)分配律:(ab

3、)cacbc.,(3)(a)ba(b)(ab),(a)(b)(ab),其中、为数.,对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即ab|a|b|cos.,数量积的定义,一、两向量的数量积,例1 试用向量证明三角形的余弦定理.,要证c2=a2+b2-2abcosq.,则有 ca-b,从而|c|2cc(a-b)(a-b)aa+bb-2ab|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b),即 c2a2+b2-2abcosq.,证明,在DABC中,BCAq,|CB|=a,|CA|=b,|AB|=c,提示：,数量积的坐标表示,aaxiay jaz

4、k,bbxiby jbzk,ab(axiay jazk)(bxiby jbzk)axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkiazbykjazbzkk axbxaybyazbz.,abaxbxaybyazbz.,设a(ax ay az)b(bx by bz)则,数量积的坐标表示,abaxbxaybyazbz.,设a(ax ay az)a(bx by bz)则,设(a b)则当a0、b0时,有,向量夹角余弦的坐标表示,提示 a b|a|b|cos,例2 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.,从M到A的向量记为a,

5、从M到B的向量记为b,则AMB 就是向量a与b的夹角.,因为 ab1110011,b(2,1,2)(1,1,1),a(2,2,1)(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1).,解,从而,所求液体的质量为 P=rAvn.,体积为 A|v|cosq=Avn.,这柱体的高为|v|cosq,解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体.,例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A,n为垂直于A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r).,二、两向量的向量积,设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:c的模|c|a|b|sin

6、(a,b);c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.,向量积的定义,右手规则,那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作ab,即cab.,向量积的定义,二、两向量的向量积,向量a与b的向量积cab:|c|a|b|sin(a,b);c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.,向量积的性质(1)aa0;(2)对于两个非零向量a、b,如果ab0,则a/b;反之,如果a/b,则ab0.如果认为零向量与任何向量都平行,则a/bab0.,在空间直角坐标系中 iijjkk?ij?jk?ki?,(1)交换律:abba;(2)分配律:(ab)cacbc;(

7、3)(a)ba(b)(ab)(为数).,向量积的运算律,讨论：,提示：,iijjkk0,ijk,jki,kij.,向量积的坐标表示,设aaxiay jazk,bbxiby jbzk,则,提示：,ab,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,azbxkiazbykj.,ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk),axbyijaxbzik,aybx jiaybz jk,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,iijjkk0,ijk,jki,kij.,aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi,利

8、用三阶行列式符号,上式可写成,记忆方法,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,向量积的坐标表示,设aaxiay jazk,bbxiby jbzk,则,ab,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,例4 设a2i3jk bij3k,计算ab.,设aaxiay jazk,bbxiby jbzk,则,(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.,解:,解:,例5 已知 求OAB的面积,根据向量积的几何意义 表示以 和,为邻边的平行四边形的面积 于是OAB的面积为,因为,所以三角形OAB的面积为,提示：,例6 设刚体

9、以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.,刚体绕l轴旋转时,我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出:即以右手握住l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是w的方向.,解,设线速度为v,那么由物理学可知|v|w|a|w|r|sin;,a|r|sin.,v垂直于w与r,且v的指向是使w、r、v符合右手规则.因此有vwr.,例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.,解,轴上任取一点O作向量r,并以 表示,设点M到旋转轴l的距离为a,再在l,w与r的夹角,那么,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,小结,