《专转本数学》PPT课件.ppt

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1、引 言,第三章 一元函数积分学,积分学分为不定积分与定积分两部分不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系,本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨式),解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分,本章主要内容：第一节 不定积分第二节 不定积分的计算第三节 定积分第四节 定积分的计算第五节 广义积分,3.1.1 不定积分的概念,3.1.2 不定积分的基本公式和 运算法则,第一节 不定积分,在小学和

2、中学我们学过逆运算：如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数,3.1.1 不定积分的概念,问题提出,微分法:,积分法:,互逆运算,定义1 若在某一区间上，则在这个区间上，函数F（x）叫做函数f(x)的一个原函数（primitive function）,一个函数的原函数并不是唯一的，而是有无穷多个比如，(sinx)cosx 所以 sinx 是 cosx 的一个原函数，,而sinx C（C 可以取任意多的常数）是 cosx 的无穷多个原函数,一般的，若F(x)f(x),F(x)是f(x)的一个原函数，则等式 F(x)+C F(x)f(x)成立（其中 C 为任意常数），从而一簇

3、曲线方程 F(x)C 是f(x)无穷多个原函数,问题提出,如果一个函数f(x)在一个区间有一个原函数F(x)，那么f(x)就有无穷多个原函数存在，无穷多个原函数是否都有一致的表达式 F(x)C 呢？,定理1:若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成 F(x)C（C为任意常数）,思考：如何证明？,YES,定义2：若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数 F(x)C 称为f(x)的不定积分（indefinite integral）,记为 f（x）dx F（x）C,例1 求函数f(x)x 的不定积分,例2 求函数f(x)/x 的不定积分,由于函数f

4、(x)的不定积分F(x)C 中含有任意常数C，因此对于每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线 因为C 可以取任意值，因此不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，即 F(x)C,二、不定积分的几何意义,因为F(x)f(x)，这说明，在积分曲线簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标xx点处有相同的斜率f(x)，所以对应于这些点处，它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数因此，积分曲线簇y F(x)C中每一条曲线都可以由曲线yF(x)沿y 轴方向上、下移动而得到,二、不定积分的几何意义,二、不定积分的几何意义,例3 求经过点（，），

5、且其切线的斜率为 x 的曲线方程,3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则,一、不定积分的基本公式,由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式,基本积分表,(k 为常数),例 求,解:原式=,例 求,解:原式=,关于不定积分，还有如下等式成立：f(x)dx f(x)或 df(x)dx f(x)dx,F(x)dx F(x)C 或 dF(x)F(x)C,二、不定积分的运算法则,不为零的常数因子，可移动到积分号前 af(x)dx af(x)dx（a）,两个函数的代数和的积分等于函数积分的 代数和 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)d

6、x,例4 求,解：原式=,例5 求,解：原式,例6 求,解：原式=,例7 求,解：原式=,本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法则。,3.1节 课堂练习,3.1节 课堂思考,.不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换元积分法与分部积分法,.不定积分的计算,3.2.1 换元积分法,*积分表的使用,*有理函数积分简介,3.2.2 分部积分法,3.2.1 换元积分法一、第一类换元积分法（凑微分法）有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新

7、的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来.,例如,想到基本积分公式,若令ux，把x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来,又如,第一类换元法,则有换元公式,例8 求,解：原式=,推广：,解：,例9 求,解：原式=,例10 求,解：原式=,例11 求,解：原式=,类似可得,二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换 x(t)，而积分 f(x)dxf(t)(t)dt可用基本积分公式求解,定理2设f(x)连续，x(t)是单调可导的连续函数，且其

8、导数(t)，x(t)的反函数t-1(x)存在且可导，并且 f(t)(t)dtF(t)C则 f(x)dx F-1(x)C,例12 求,解:令,则,原式,例13.求,解:令,则,原式,例14.求,解:,令,则,原式,令,于是,小结:,被积函数含有,时,或,可采用三角代换消去根式,例15 求,解：设,，则,从而 原式,小结：当被积函数含有 时，只需做代换，就可将根号去掉不定积分就变成容易的积分了。,上述第二类换元积分均是利用变换去掉被积函数中的根式，把积分转化成容易积分,3.2.2 分部积分法（integration by parts）如果uu(x)与vv(x)都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式

9、 d(uv)vduudv 移项得 udvd(uv)vdu从而 udvuvvdu 或udvuvvudx这个公式叫作分部积分公式，当积分udv 不易计算，而积分vdu 比较容易计算时，就可以使用这个公式,例16.求,解:令,则,原式,在计算方法熟练后，分部积分法的替换过程可以省略,例17 求不定积分,解：原式,例18.求,解:原式,移项整理可得,例19.求,解：原式,例20.求,解:原式=,思考：如何求,例21.求,解:令,则,原式,令,总结:分部积分法主要解决被积函数是两类不同类型的函数乘积形式的一类积分问题，例如这些形式：P(x)eax dx P(x)lnmxdx P(x)cosmxdx P(

10、x)sinmxdx sinmxeaxdx 其中 m 为正整数，a 为常数，P（x）为多项式正确选取u(x)，v(x)，会使不定积分 v(x)du(x)v(x)u(x)dx 变得更加简单易求。,*有理函数积分简介有理函数总可以写成两个多项式的比,其中n 为正整数，m 为非负整数，a，b，设分子与分母之间没有公因子，当nm 时，叫做真分式；当m n 时，叫做假分式，假分式可以用除法把它化为一个多项式与一个真分式之和,多项式可以很容易地逐项积分，因此只需要讨论真分式的积分，一般来讲，先将真分式化成部分分式，部分分式的积分较容易，真分式的积分就会计算了,例22 将 分解成部分分式,解：由于真分式,可设

11、,右边通分，再与左边比较分子可得,从而,解得 故,例23 将 分解成部分分式,右边通分，再与左边比较分子可得,从而,解：设,因此,例24 求,解：由例22结果,例25 求,解：由例23结果,从而,例26 求,解：设,用待定系数法得：,从而,*积分表的使用 一般的积分表都是按照被积函数的类型进行分类的，所以求不定积分时，首先找出被积函数所属的类型，然后在积分表中查出相应的公式有时，还需要经过适当的变换，把被积函数化成积分表中所列出的形式，然后查 积分表可看附录,解：被积函数含abx，与附录公式 相同，其中 a，b，于是,例27 求,解：被积函数含有 abxx2 与附录公式 45 相同，其中 a3，b，c，b24ac，于是,例28 求,说明：积分运算与微分运算还有一个很不相同的地方，即任何一个初等函数的导数都可以根据基本导数公式和微分运算法可求出来，并且仍然是初等函数但是，有许多初等函数却“积不出来”，即这些函数的原函数存在，但这个原函数不能用初等函数来表示，例如,积分计算困难吗？想知道有什么数学软件可以算积分吗？上网查查看。,3.2节 练习,令,则原式,再利用例16做做看,3.2节 思考:,怎么回事？,所以 1=0,