统计讲稿第六章平均指标.ppt

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1、1,第六章 平均指标,2,第一节 平均指标的概念、特点、作用及种类,平均指标的概念又称统计平均数，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。,3,例如，某银行营业所有8名出纳员，每人每天点钞数分别为350，370，385，400，415，430，450，480把，要说明8名出纳员工作的一般水平，不能够以其中的一人的点钞水平来代表，而应计算：平均点钞把数=（350+370+385+400+415+430+450+480）=410（把）这410（把）就是统计平均数,4,平均指标的特点,（）把总体各单位标志值的差异抽象化了,是个抽象值；（）平均指标是

2、个代表值，代表总体各单位标志值的一般水平。,5,平均指标的作用,反映总体各单位变量分布的集中趋势；比较同类现象在不同单位发展的一般水平；比较同一单位的同类指标在不同时期的发展状况；分析现象之间的依存关系等。,6,平均指标的种类,算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数。前三种平均数是根据总体所有标志值计算的称为数值平均数，后两种平均数是根据标志值所处的位置确定的，称为位置平均数,7,第二节 算术平均数,算术平均数是计算平均指标的最常用方法。基本公式,算术平均数=,总体标志总量,总体单位总量,8,如：,平均工资=工资总额/职工人数单位面积产量=产量/种植面积,9,强度相对指标与平均指标的

3、区别,指标的含义不同。强度相对指标说明的是某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说明的是现象发展的一般水平。,10,计算方法不同。,强度相对指标与平均指标，虽然都是两个有联系的总量指标之比，但是，强度相对指标分子与分母的联系，只表现为一种经济关系；而平均指标是在一个同质总体内标志总量与单位总量的对比。分子是各单位标志值的总和，分母是单位总数，对比结果是反映总体各单位某一标志值的平均数。,11,多选题：,下列统计指标属于强度相对指标的是（）。A、平均年龄 B、商业网点密度 C、人均日产零件数 D、人均国民生产总值 E、人口自然增长率,答案：B D E,12,算术平均数的两种计

4、算形式,由于资料不同，算术平均数有两种计算形式：简单算术平均数 加权算术平均数,13,简单算术平均数,14,例如，1990年我国百个产粮大县中，吉林省共有11个县，它们的粮食产量资料如下：根据上列资料，可以采用简单算术平均数的方法，计算出1990年吉林省产粮大县的平均粮食产量为：,15,16,算术平均数受极端数值的影响较大。就上列资料来看，在吉林省11个产粮大县中，有7个县的粮食产量都在120万吨以上。但是，由于有5个县的粮食产量较低，仅为产粮多的县粮食产量的1/2或1/3，极端数值偏低，因而，使算术平均数的数值偏低，仅为116万吨。如果剔除一个偏低的极端数值（双阳县的60万吨），而后计算平均

5、粮食产量，则算术平均数就比较接近于大多数县的粮食产量。即：,17,由于算术平均数受极端数值的影响较大，在统计分析中为了正确地反映社会经济现象的一般水平，有时需要剔除个别的极端数值。（如评委打分，去掉一个最高分，去掉一个低高分）,18,简单算术平均数适用条件,未分组的统计资料；已知各单位标志值和总体单位数，也可采用简单算术平均数方法计算。,19,加权算术平均数公式1：,20,公式2,21,加权算术平均数适用,分组的统计资料，如果已知各组的变量值和次数或频率，则可采用加权算术平均数计算。已知次数用公式1，已知频率用公式2，,22,练习,计算方法：确定标志值 x，次数f 或频率，写清楚平均指标名称，

6、选择正确的计算公式，利用表格计算出公式中所需的数值，代入公式，计算出结果。,23,练习1 某企业工人工资情况见下表，要求计算加权平均工资。,24,练习1（续1）,25,练习1（续2）,26,练习2 某企业工人操作机床的情况见下表，计算平均每位工人操作机床数。,注意比重转化为小数再计算,27,注意比重转化为小数再计算,练习2（续1）,28,练习2（续2）,29,权数及作用,权数：加权算术平均数中的权数，是标志值出现的次数（频数）f 或各组次数占总次数的比重（频率）。权数的作用：权衡平均数大小。某一组的次数或频率越大，则该组的标志值对平均数的影响就越大，反之越小。,30,一般来说，次数就是权数，但

7、有时次数也不是合理的权数，这在从相对数或平均数求平均数时，经常遇到。例：某市某局所属15个企业产值计划完成情况的资料如下：,31,本例的平均对象是各企业完成产值计划百分比，为计算整个管理局产值计划平均完成程度，能否用企业数做权数呢？企业数虽是完成产值计划不同程度的次数，但并不是合适的权数。因为企业规模大小不同，产值多少也有差别，正确计算产值计划完成百分比，需用计划产值来加权，这样才适合这一指标的性质，即从实际产值和计划产值的对比中来确定。平均产值计划完成程度=（95%100+105%800+115%100）/（100+800+100）=105%,32,影响加权算术平均数大小的因素,加权算术平均

8、数的大小受两个因素影响 受单位标志值大小的影响。受各标志值次数的影响，更准确的讲是受各组次数占总次数比重即频率的影响。,33,简单算术与加权算术平均数,在分组数列的条件下，当各组次数所占比重均相等时，权数就失去了权衡轻重的作用，这时用加权算术平均数计算的结果与用简单算术平均数计算的结果相同。,34,算术平均数的数学性质,各个变量值与算术平均数的离差总和等于零。各个变量值与算术平均数的离差平方总和为最小值。两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积。,35,单选题,权数对算术平均数的影响作用，实质上取决于（）。A.作为权数的

9、各组单位数占总体单位数 比重的大小B.各组标志值占总体标志总量比重的大小C.标志值本身的大小D.标志值数量的多少,答案：A,36,多选题,加权算术平均数的大小受哪些因素的影响（）。A.受各组频率和频数的影响 B.受各组标志值大小的影响C.受各组标志值和权数的共同影响 D.只受各组标志值大小的影响E.只受权数的大小的影响,答案：A B C,37,多选题,在什么条件下，加权算术平均数等于简单算术平均数（）。A.各组次数相等 B.各组变量值不等 C.变量数列为组距数列 D.各组次数都为1 E.各组次数占总次数的比重相等,答案:A D E,38,第三节 调和平均数,调和平均数：标志值倒数的算术平均数的

10、倒数，也称为倒数平均数。,39,如；有一人步行2公里地，走第一公里，速度为每小时10公里，走第二公里，每小时为20公里，问平均速度是多少？使用算术平均数计算 X=（10+20）/2=15公里/小时 我们来看看实际情况是否是这样。这里步行2公里其用时间（1/10+1/20）小时，即3/20 60分=9分钟，这样若按平均15公里/小时计算，该人走了（1/10+1/20）15=225 公里，但实际只走2公里，显然，计算上不正确。如设R代表每小时以公里计算平均速度，则：R=（1+1）/（1/10+1/20）=13公里/小时 实际是度量值倒数的算术平均数的倒数调和平均数。,40,调和平均数使用范围,情形

11、1：逆指标在用逆指标表示时，计算平均水平应当采用调和平均数的方法。在社会经济现象中，有许多现象可以从正、反两方面来研究。例如，劳动生产率、商品流转速度、资金周转速度、货币流通速度、机车运行速度等等，都可以用正指标和逆指标两种方式来表示。以劳动生产率为例，它的正指标和逆指标是：,41,调和平均数使用范围（续1）,42,调和平均数使用范围（续2）,第一个公式表示：单位时间（年、月、周、时）以内所生产的产品数量。它的数值愈大，表明劳动生产率水平愈高；数值越小，表明劳动生产率水平愈低。故称为劳动生产率的正指标。第二个公式表示：生产单位产品所需要的劳动时间。它的数值愈大，表明劳动生产率水平愈低；数值愈小

12、，表明劳动生产率水平愈高。即它与劳动生产率水平成反比关系，故称为劳动生产率的逆指标。,43,调和平均数使用范围（续3）,在用正指标表示时，计算平均水平应当采用算术平均数的方法。在用逆指标表示时，计算平均水平应当采用调和平均数的方法。,44,调和平均数使用范围（续4）,情形2：当缺乏总体的单位数资料，不能直接计算平均数，这时就可采用调和平均数计算。,45,调和平均数的两种计算形式,简单调和平均数,46,简单调和平均数，适用于未分组的资料。现以劳动生产率为例，说明如下；假定有5个工人，他们的劳动生产率水平是：,47,在计算这5个工人劳动生产率的平均水平时，如果根据正指标计算，应当采用算术平均数。即

13、：如果根据逆指标计算，若也采用算术平均数，则：显然，这是不正确的。因为，如果平均每个工人生产一件产品所需要的时间是4分钟，则每个小时他们只能生产15件产品，而不是17.4件产品。按照平均每人每小时生产17.4件产品，他们每生产一件产品所需要的时间应是3.45分，而不是4分。,48,根据逆指标的数值计算劳动生产率的平均水平，在计算时应该把逆指标颠倒过来，变成正指标，即：这样得出的结果，是劳动生产率正指标的平均数。但是，我们的任务是通过逆指标来反映劳动生产率的平均水平，因而，还要把计算的结果再颠倒过来，即：,49,把按逆指标计算劳动生产率平均水平的过程列成一个式子，即：,50,加权调和平均数加权调

14、和平均数适用于分组资料，即适用于分配数列的资料：,51,例如，假定具有下列分配数列：,52,根据正指标计算劳动生产率的平均水平时，应该采用加权算术平均数的方法，即：,53,根据逆指标计算劳动生产率的平均水平时，应该采用加权调和平均数的方法，即先将用逆指标表示的各个劳动生产率变量值颠倒过来，变成正指标，再计算其加权算术平均数，然后再将它颠倒过来，就可得到所要求的结果。,54,55,例 某月某企业按工人劳动生产率高低分组的生产班组数和产量资料如下：,试计算该企业工人平均劳动生产率。,56,解：列计算表如下：,根据组距数列求平均数时先计算组中值,57,代入公式,58,注意权数的选择,本题中以“产量”

15、为权数。不能以“生产班组”作为权数。因为工人劳动生产率=产量工人数，计算过程与生产班组无关。在实际应用加权平均数（包括算术加权和调和加权）时，需注意权数的选择。,59,计算平均指标时如何选择使用加权算术平均数还是使用加权调和平均数,计算平均指标时如果已知母项指标，缺子项指标，且计算子项指标时要先做乘法运算，应选择加权算术平均数。如果已知子项指标，缺少母项指标，且计算母项指标时要先做除法运算，应选择加权调和平均数。,60,在经济统计中加权算术平均数与加权调和平均数的关系,在统计工作中，调和平均数常常被作为算术平均数的变形来使用。经常因为无法直接得到被平均标志值的相应次数的资料而采用调和平均数形式

16、来计算，使用调和平均数的计算结果与加权算术平均数的计算结果相同。,61,m与xf,62,应用平均指标必须注意的问题,必须注意现象总体的同质性；用组平均数补充说明总平均数；要注意极端数值的影响，因为算术平均数受极端数值的影响很明显。,63,第四节 几何平均数,几何平均数的计算方法，根据所掌握的资料不同，也有简单和加权两种形式。,64,简单几何平均数,n个变量值连乘积的n次方根常用来计算平均发展速度。算术平均数、调和平均数、几何平均数是数值平均数。,65,在社会经济现象中，有些现象是按照类似于几何级数的形式变动的，例如人口的自然变动；有些现象是按照一定的比率变动的，例如，在复利条件下本利和的变动。

17、计算等比级数的平均数，或平均比率和平均速度，不能采用算术平均数或调和平均数的方法，而应采用几何平均数的方法。例如，某机械厂有4个连续作业的车间：毛坯车间（一车间）、粗加工车间（二车间）、精加工车间（二车间）和装配车间（四车间）。本月份，各个车间的产品合格率为：一车间95，二车间90，三车间92，四车间85。求4个车间的平均产品合格率。,66,各个车间产品合格率的总和并不等于全厂产品的总合格率。第二车间的产品合格率是在第一车间合格产品的基础上计算的，第三车间的产品合格率是在第一、二车间合格产品的基础上计算的，如此等等。因而，全厂产品的总合格率应等于各个车间合格率的连乘积。在这种情况下，计算平均数

18、应当采用几何平均数的方法。,67,加权几何平均数当各个变量值出现的次数不同时，计算几何平均数应采用加权的形式。加权几何平均数的公式为：,68,69,例如，投资银行某笔投资是按复利计算的，25年间年利率的分配情况是：有1年为3，有4年为5，有8年为8，有10年为10，有2年为15。求平均年利率。计算平均年利率，必须先将各年的利率加上100，换算为各年的本利率；然后按加权几何平均数的方法，计算平均年本利率；再减去100，得出平均年利率。现列表见下表。计算如下：这就是说，25年间年平均本利率为108.6。因而，年平均利率为8.6。,70,71,几何平均数与算术平均数和调和平均数的关系几何平均数与算术

19、平均数和调和平均数之间存在着一定的数量关系。这种数量关系表现在：根据同一资料所计算的三种平均数，几何平均数大于调和平均数而小于算术平均数，只有当所有变量值都相同时，三种平均数才相等。用数学公式表示，它们之间的关系为：,72,第五节 中位数,中位数：将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数值。中位数是处于统计数列中间位置的数值。由于其位置居中，不受极端数值大小的影响，因而有时利用它来代表现象的一般水平。根据未分组资料和分组资料都可确定中位数。,73,由未分组资料确定中位数在资料未经分组时，确定中位数的方法是：首先将各总体单位的标志值或变量值，按照大小顺序排列；然后确定中位数的位置

20、，处于中位数位置的标志值或变量值就是中位数。确定中位数位置的方法是：如果总体单位的项数（n）是奇数，则处于中间位置的标志值就是中位数。如果总体单位的项数是偶数，则处于中间位置的两个标志值的算术平均数就是中位数。,74,例如，1990年我国饮料制造业按利税总额排序，前10名企业的利税总额资料如下，,75,根据上列资料，如果确定这10名企业利税总额的中位数，则：就是说，中位数处于第5个企业和第6个企业的中间位置。第5个企业的利税总额为66百万元，第6个企业的利税总额为65百万元，故10名企业利税总额的中位数为：,76,由分组资料确定中位数由分组资料确定中位数，中位数的位置等于：由组距数列确定中位数

21、，应先计算累计次数，并按照上述公式确定中位数所在组的位置，然后再按比例推算中位数的具体数值。例如，1989年某市80个中型工业企业按照工业总产值（按1980年不变价格计算）的分组资料如下：,77,78,由表6-26中的资料计算中位数:首先，应确定中位数的位置。根据第1栏的资料，f80，因而，f/240，即从两头数起，中位数的位置是第40个企业。其次，应确定中位数的所在组。例如，根据第2栏的资料，第二组的累计次数为35，距离中位数的位置还差5个企业；第三组的累计次数已达55，显然中位数在第三组内。第三，按比例推算中位数在组内的具体位置。第三组共有20个单位，而从第二组到中位数只差5个单位。假定中

22、位数所在组的单位数是均匀分配的，则5个单位在20个单位中所占的比例为5/200.25。这个比例折算为组距单位等于2.5（0.25102.5）。因而，中位数的具体数值为20十2.522.5（百万元）。,79,将上列计算过程用公式表示，则由组距数列计算中位数的公式为：下限公式：,80,81,因而，某市80个中型工业企业工业总产值的中位数，按下限公式计算为：,82,第六节 众数,众数：总体中出现次数最多的变量值。在单位数不多或一个无明显集中趋势的资料中，众数的测定没有意义。确定众数的方法，根据所学握的资料是单项数列还是组距数列而定。,83,由单项数列确定众数由单项数列确定众数，比较容易，即出现次数最

23、多的标志值就是众数。例如，某建筑公司瓦工日砌墙量的分配资料如下，见表627：,84,表中，每日平均砌墙量1M3出现的次数最多，在150名工人中共有80人集中在这一组，故它就是众数。众数可以说明大多数工人在生产上所达到的水平，它可以作为编制生产计划和指导工作的参考依据。,85,由组距数列确定众数由组距数列确定众数，应先确定次数最多的一组为众数组，然后再通过公式进行计算。下面我们以某市中型工业企业总产值的组距数列为例，来说明众数的计算方法。,86,由表中资料可以看出：次数最多的企业数是25，占企业总数的31.25。因而，这一组的工业总产值（10一20百万元）就是众数组。那么，众数的具体数值是多少呢

24、?这要依众数组相邻两组的次数多少而定：,87,88,89,90,中位数、众数与算术平均数的关系中位数、众数与算术平均数之间存在着一定的关系。这种关系，决定于总体内部的次数分配状况。次数分配的常见形式是钟形分配。它分对称的和非对称的两种类型。对称的次数分配是以算术平均数为对称轴，两边的次数相等。因而，算术平均数与众数、中位数合而为一。即：,91,在非对称的钟形分配情况下，中位数、众数与算术平均数之间存在着一定的差别。由于算术平均数、中位数和众数受极端数值的影响不同：算术平均数受极端数值的影响最大；中位数只受极端数值的位置影响，不受其数值影响；众数不受极端数值的影响。因而，当极端数值为极大值时，算

25、术平均数偏向于极大值一方，形成右偏，算术平均数大于众数；当极端数值为极小值时，算术平均数偏向于极小值一方。形成左偏，算术平均数小于众数。同时，无论是右偏或左偏，中位数总是界于算术平均数与众数之间。,92,众数和中位数是两个位置平均数，在一定条件下用它们反映变量数列的一般水平是非常有效的。,93,判断题,众数是总体中出现最多的次数。（）,答案：众数是某一个标志值，不是标志值出现的次数。,94,判断题,总量指标和平均指标反映了现象总体的规模和一般水平。但掩盖了总体各单位的差异情况，因此通过这两个指标不能全面认识总体的特征。（）,答案：,95,多选题,平均数的种类有（）。A.算术平均数 B.众数 C

26、.中位数 D.调和平均数 E.几何平均数,答案：A B C D E,96,第七节 运用平均指标应注意的问题,必须注意总体的同质性 这一原则是计算平均数的基本原则，它有两个含义，第一，平均数只能适用于同一个总体的计算，凡是说被平均的各个单位必须是同质的，它们之间的不同，仅仅表现在标志量的差异上，否则平均数就失去了意义，第二，将两个平均数对比时，要注意对比的条件，不能简单地拿我国工人的平均工资和资本主义国家工人的平均工资对比，因为各国的社会性质不同，国情不同，所以物价水平，服务收费标准，税收制度等等都不样，没有可比性。,97,平均指标要与分组法相结合，要以组平均数补充总平均数 单位:元,98,从总

27、平均数上看，乙商店高于甲商店，好象是乙商店的劳动效率（即平均每人销售额）高，（57455600），但从各组平均数来看，却是甲商店高于乙商店。矛盾存在的原因是总平均数不只受各组平均数的影响，还受各组人数占商店总人数比重的影响。即甲商店总平均数不只受（3）栏各组数字的影响，还受组人数占商店总人数比重的影响，乙商店也是如此，由于甲商店每人销售额较低的棉布组人数所占比重较高（80%），使平均数有偏低的倾向，乙商店相反，所以，总平均数必须与组平均数结合起来进行分析，才能全面认识问题，作出合理的评价。,99,以变量数列和典型材料补充平均指标,如前例，甲商店棉布组的8个人销售总额为40000元，其分配情况如下：,100,总平均数=40000/8=5000从总平均数上看，好象8人的劳动生产率都在5000元以上，从上表的数据看，有5个人，占60%，可能还有人接近6000元，是最先进的，1个人在30004000之间，可能接近于3000元，是落后的。从3000到6000相差很大，几乎一倍，如果只用平均数，就掩盖了先进与落后的差距，如以典型材料补充平均数，就可以进一步发现先进与落后的存在，然后深入分析原因，深挖潜力，促使落后向先进学习，共同提高。,