MPA联考数学-导数与微分.ppt

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1、1,引例,导数的定义,导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系,求导举例,小结 思考题 作业,第一节 导数的概念,(derivative),第二章 导数与微分,2,例1,直线运动的瞬时速度问题,一质点作直线运动,已知路程 s 与时间 t 的,试确定t0时的瞬时速度v(t0).,这段时间内的平均速度,在每个时刻的速度.,导数的概念,解,若运动是匀速的,平均速度就等于质点,一、引例,关系,质点走过的路程,3,此式既是它的定义式,又指明了它的计算,它越近似的,定义为,并称之为t0时的瞬时速度v(t0).,瞬时速度是路程对时间的变化率.,导数的概念,若运动是非匀速的,平均速度,是这段,时间内运动快慢

2、的平均值,越小,表明 t0 时运动的快慢.,因此,人们把 t0时的速度,注,方法,4,例2,割线的极限位置,对于一般曲线如何定义其切线呢?,导数的概念,曲线的切线斜率问题,若已知平面曲线,如何作过,的切线呢.,初等数学中并没有给出曲线切线的定义.,过该点的切线.,我们知道与圆周有唯一交点的直线,即为圆周,但此定义不适应其它曲线.,如,与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.,切线位置.,?,曲线上点,法国,数学家费马在1629年提出了如下的定义和求法,P.de Fermat 1601-1665,从而圆满地解决了这个问题.,5,处切线的斜率.,导数的概念,已知曲线的方程,确定点,如果割线MN绕点M

3、旋转而趋向极限位置MT,极限位置即,C在点M处的切线.,如图,6,导数的概念,割线MN的斜率为,切线MT的斜率为,7,就其实际意义来说各不相同,关系上确有如下的共性:,但在数量,1.在问题提法上,都是已知一个函数,求y关于x在x0处的变化率.,2.计算方法上,(1)当y随 x均匀变化时,用除法.,(2)当变化是非均匀的时,需作平均变化率的,导数的概念,上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,极限运算:,8,定义,导数的概念,函数,与自,平均变化率.,二、导数的定义,9,中的任何一个表示,导数的概念,存在,如,平均变化率的极限:,或,函数在一点 处的变化率,(derivative),或有导数.

4、,可用下列记号,则称此极限值为,10,处不可导或导数不存在.,特别当(1)式的极限为,有时也说在x0处导数是正(负)无,要注意,导数定义可以写成多种形式:,导数的概念,当极限(1)式不存在时,就说函数 f(x)在x0,在利用导数的定义证题或计算时,正(负)无穷时,穷大,但这时导数不存在.,11,关于导数的说明,或,如果 x0=0,可以写成,导数的概念,特别是,(1)点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映了,因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.,(2)如果函数y=f(x)在开区间 I 内的每点处都可,导,就称函数 f(x)在开区间 I 内可导.,12,导数的概念,记作,即,或,(3)对于任一

5、,都对应着 f(x)的一个确定的,导数值.,这个函数叫做原来函数f(x)的,导函数.,13,导数的概念,例,用导数表示下列极限,解,练习,解,14,右导数,4.单侧导数,左导数,导数的概念,又分别可以解释为曲线,点的左切线的斜率与右切线的斜率.,从几何上,(left derivative),(right derivative),15,导数的概念,处的可导性.,此性质常用于判定分段函数在,分段点,如果,在开区间,内可导,都存在,16,例,解,三、求导举例(几个基本初等函数的导数),导数的概念,步 骤,即,17,例,解,导数的概念,即,同理可得,自己练习,18,例,解,更一般地,如,导数的概念,即

6、,19,例,解,导数的概念,即,20,例,解,导数的概念,即,21,例,解,导数的概念,即,22,1.几何意义,特别地:,导数的概念,即,四、导数的几何意义与物理意义,23,导数的概念,24,例,解,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,导数的概念,由导数的几何意义,即,即,25,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,路程对时间的导数为物体的瞬时速度;,电量对时间的导数为电流强度;,为物体的线(面,体)密度.,导数的概念,变速直线运动,交流电路,非均匀的物体,质量对长度(面积,体积)的导数,26,该点必连续.,证,导数的概念,定理,如果函数,则函数在,五、可导与连续的关系,在点x处可导

7、,即,函数极限与无穷小的关系,所以,27,如,该定理的逆定理不一定成立.,注,导数的概念,连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.,28,例,解,导数的概念,29,练习,为了使 f(x)在x0处可导,导数的概念,解,首先函数必须在x0处连续.,由于,故应有,又因,应如何选取a,b?,30,导数的概念,从而,当,f(x)在x0处可导.,31,导数的实质:增量比的极限;,导数的几何意义:切线的斜率;,函数可导一定连续，但连续不一定可导;,求导数最基本的方法:由定义求导数.,判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,导数的概念,六、小结,32,思考题,(是非

8、题),导数的概念,非,可导;,但,不可导.,非,但,不可导.,33,函数的线性组合、积、商的求导法则,小结 思考题 作业,第二节 函数的求导法则,第二章 导数与微分,反函数的求导法则,基本求导法则与导数公式,复合函数的求导法则,34,定理1,并且,则它们的线性组合、积、商,在点 x处也可导,一、函数的线性组合、积、商的求导法则,35,证,则由导数的定义有,36,证,由乘积的导数:,得,故,特别,即,37,推论,且,38,例,解,例,解,39,例,解,同理可得,即,40,例,解,同理可得,即,41,练习,解,法一,法二,注,在进行求导运算中,且也能提高结果的准,这样使求导过程简单,尽量先化简再求

9、导,确性.,42,?,用求导法则与用定义求导数时,结果有时不一致,这是为什么?,如已知,无意义,解,所以,不存在.,上述解法有问题吗?,注意问题出在,不连续.,因此,可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,用定义!,43,或,定理2,且,二、反函数的求导法则,证,连续,故,从而,有,因,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,44,例,解,同理可得,单调、可导,直接函数,反函数,45,如果利用三角学中的公式:,也可得公式,也可得公式,46,例,解,特别地,47,定理3,链导法则,三、复合函数的求导法则,可导,且其导数为,或,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导

10、.,48,证,规定,可导,且其导数为,可导,定理3,49,推广,例,解,50,例,解,例,解,51,例,解,例,解,52,因为,所以,的情形证明幂函数的导数公式,53,1.常数和基本初等函数的导数公式,四、基本求导法则与导数公式,54,2.函数的线性组合、积、商的求导法则,都可导,则,3.反函数的求导法则,或,且,55,4.复合函数的求导法则,初等函数的导数仍为初等函数.,利用上述公式及法则初等函数求导问题,可完全解决.,56,例,解,57,例,解,58,例,解,所以,59,例,解,60,例,证,由于斜率相等,知二切线平行.,(1)求交点,分别为曲线在A,B点,的切线斜率.,(2)求导数,作的

11、曲线的切线彼此平行.,61,练习,解,62,解,则,练习,上式中,是函数 f,对括号中的中间,变量求导,?,63,解,练习,分析,这是抽象函数与具体函数相结合的导数,综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及,复合函数求导法则.,64,答案,练习,练习,解,65,(注意成立条件);,复合函数的求导法则,五、小结,不能遗漏);,(对于复合函数,反函数的求导法则,层的复合结构,注意一层,函数的积、商求导法则,注意,记住基本初等函数的导数公式,66,思考题(是非题),非,例如,处处可导,处不可导,但复合函数,处处可导.,67,高阶导数的定义,莱布尼茨(Leibniz)公式,小结 思考题 作业,第三节

12、高阶导数,第二章 导数与微分,几个基本初等函数的n阶导数,68,问题:变速直线运动的加速度.,定义,高阶导数也是由实际需要而引入的.,这就是二阶导数的物理意义,一、高阶导数的定义,存在,二阶导数.,记作,69,三阶导数的导数称为,二阶和二阶以上的导数统称为,二阶导数的导数称为,高阶导数.,三阶导数,四阶导数,n阶导数,记作,一般地,70,例,解,由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法.,71,例,解,二、几个基本初等函数的n阶导数,则,72,例,解,例,解,73,例,解,同理可得,即,74,求n阶导数时,关键要寻找规律,另外在,的规律性,

13、写出n 阶导数.,便可看出规律;,一般求至三阶,求导过程中不要急于合并,分析结果,75,例,解,76,求n阶导数需要运用技巧,几个常用高阶导数公式,函数的n阶导数公式,使问题简化.,尽可能化为求某些熟知,(通过四则运算,变量代换,恒等变形),77,例,解,若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形.,78,例,解,分析,此函数是6次多项式,故不需将函数因式全乘出来.,因为,其中,为x的6次多项式,故,又是求6阶导数,79,莱布尼兹公式,可类比着牛顿二项公式加强记忆,则,莱布尼兹(Leibniz,16461727)德国数学家.,二、莱布尼兹公式,80,例,解,则由莱布尼兹公式知,设,81,练习,提示,经上面这样变形后再求n阶导数,就方便多了.,82,高阶导数的定义及物理意义;,莱布尼兹公式.,三、小结,几个常用的基本初等函数的n阶导数公式(希熟记);,83,解答,可导,不一定存在,用定义,思考题,