清华大学计算固体力学第五次课件本构模型.ppt

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1、非线性有限元第5章 本构模型,计算固体力学,第5章 本构模型,引言应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性（超弹性）一维塑性 多轴塑性超弹塑性模型粘弹性 应力更新算法连续介质力学与本构模型,1 引言,本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新算法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能。,为了进行分析，选择材料模型是很重要，往往又不是很明确，仅有的信息可能是一般性的知识和经验，即可能是材料行为的几条应力应变曲线。在有限元软件库中选择合适的本构模型，如果没有合

2、适的本构模型，要开发用户材料子程序。重要的是理解本构模型的关键特征，创建模型的假设，材料、荷载和变形域、以及程序中的数值问题是否适合模型。,2 应力-应变曲线,材料应力应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态(单轴应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。,载荷位移曲线,名义应力（工程应力）给出为,定义伸长,工程应变定义为,2 应力-应变曲线,Cauchy（或者真实）应力表示为,以每单位当前长度应变的增量随长度的变化得到另一种应变度量,对数应变（也称为真实应变）,对材料时间求导，表达式为,一维情况，上式为变形率,当前面积的表达式给出

3、为,真实应力应变曲线,工程应力应变曲线,2 应力-应变曲线,考虑一种不可压缩材料(J1)，名义应力和工程应变的关系为,真实应力(对于不可压缩材料),说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材料取决于采用何种应力和变形的度量。,应力应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。,2 应力-应变曲线,应力应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则，称为率相关。名义应变率定义为,率无关和率相关材料的一维反应,因为 和,即名义应变率等于伸长率，例如,可以看出，对于率无关材料的应力应变曲线是应变率独立的，而对于率相关材料的应力应变曲线，

4、当应变率提高时是上升的；而当温度升高时是下降的。,2 应力-应变曲线,对于弹性材料，应力应变的卸载曲线简单地沿加载曲线返回，直到完全卸载，材料返回到了它的初始未伸长状态。然而，对于弹塑性材料，卸载曲线区别于加载曲线，卸载曲线的斜率是典型的应力应变弹性（初始）段的斜率，卸载后产生永久应变。其它材料的行为介于这两种极端之间。由于在加载过程中微裂纹的形成材料已经损伤，脆性材料的卸载行为，当荷载移去后微裂纹闭合，弹性应变得到恢复。卸载曲线的初始斜率给出形成微裂纹损伤程度的信息。,(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤,3 一维弹性,弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意味着加载和卸

5、载的应力-应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。,小应变,可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中，储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。,对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。,对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。,3 一维弹性,应变能一般是应变的凸函数，例如，,(a)凸应变能函数(b)应力应变曲线,当 公式的等号成立。,凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数是单调递

6、增的，如果w 是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变软化，这是非稳定的材料反应，如右下图。,(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线,大应变,从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共轭）的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量耗散。如,3 一维弹性,在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示,对于小应变问题，即为胡克定律。,大应变,一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这种关系一般是非线性的，给出为,3 一维弹性,一个特殊的线性次弹性关系给出为,这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题

7、，一般次弹性关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。因为次弹性的简单性，公式(5.3.11)的多轴一般形式常常应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。,对上式的关系积分，得到,4 非线性弹性,对于有限应变有许多不同的应力和变形度量，同样的本构关系可以写成几种不同的形式，总是可能从一种形式的本构关系转换到另一种形式。大应变弹性本构模型首先表述成Kirchhoff材料的一种特殊形式，由线弹性直接生成到大变形。满足路径无关、可逆和无能量耗散。因此，路径无关的程度可以视为材料模型弹性的度量。次弹性材料是路径无关程度最弱

8、的材料，遵从Cauchy弹性，其应力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的。超弹性材料或者Green弹性，它是路径无关和完全可逆的，应力由应变势能导出。,4 非线性弹性,小应变和大转动,式中 C 为弹性模量(切线模量)的四阶张量，对Kirchhoff材料是常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各向异性。,许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼杆的弯曲。由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反应，但要以PK2应力代替其中的应力和以Green应变代替线性应变，这称为Saint-Venant-Kirchhoff材料

9、，或者简称为Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型为,4 非线性弹性,式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显著地减少常数。,一般的四阶张量有3481个独立常数，与全应力张量的9个分量和全应变张量的9个分量有关。如次弹性本构方程,这样C为对称矩阵（主对称性），在81个常数中有45个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。,4 非线性弹性,利用势能表示的应力应变关系和Green公式，,故有,应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性），即,4 非线性弹性,应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性），即,再利用模量的主对称性使独立弹性常数的数目减少，由36个常数减少为21

10、个，为各向异性材料。,应力和应变张量的对称性要求应力的6个独立分量仅与应变的6个独立分量有关，由弹性模量的局部对称结果，独立常数的数目减少到36个。,4 非线性弹性,写成矩阵形式为（可以是上或下三角矩阵）,对于正交各向异性，具有正交的三个弹性对称面，当坐标变号，为使应变能密度不变，有,这样由21个常数减少为14个，为正交各向异性材料。,若材料对称坐标平面，当沿轴平面反射时，弹性模量不变，固为正交各向异性体，有,对于一个由三个彼此正交的对称平面组成的正交材料(如木材或纤维增强的复合材料)，仅有9个独立弹性常数，Kirchhoff应力应变关系为材料对称坐标平面，为正交各向异性体,4 非线性弹性,对

11、于各向同性材料，仅有3个常数,4 非线性弹性,小应变和大转动,对于各向同性的Kirchhoff材料，其应力应变关系可以写成为,式中Lam常数，体积模量K，杨氏模量 E和泊松比,的关系为,材料对称的一个重要的例子是各向同性。一个各向同性材料没有方位或者方向的选择，因此，当以任何直角坐标系表示的应力应变关系是等同的。对于小应变的许多材料(如金属和陶瓷)可以作为各向同性进行模拟。张量C是各向同性的。在任何坐标系统中，一个各向同性张量有相同的分量。,(克罗内克)符号构成的一个线性组合：,4 非线性弹性,不可压缩性,在变形的过程中，不可压缩材料的体积不变，密度保持常数。不可压缩材料的运动称为等体积运动。

12、,总体变形,等体积约束运动的率形式,将应力和应变率度量写成偏量和静水（体积的）部分的和，对于不可压缩材料，静水部分也称为张量的球形部分，分解式为：,对于不可压缩材料，压力不能从本构方程确定，而是从动量方程确定。,4 非线性弹性,Kirchhoff应力,由Jacobian行列式放大，称它为权重Cauchy应力。对于等体积运动，它等同于Cauchy应力。,次弹性,次弹性材料规律联系应力率和变形率。,上式是率无关、线性增加和可逆的。对于有限变形状态的微小增量，应力和应变的增量是线性关系，当卸载后可以恢复。然而，对于大变形能量不一定必须守恒，并且在闭合变形轨迹上作的功不一定必须为零。次弹性规律主要用来

13、代表在弹-塑性规律中的弹性反应，小变形弹性，且耗能效果也小。,4 非线性弹性,切线模量之间的关系,对于各向同性材料Jaumann率的切线模量为,某些次弹性本构关系共同应用的形式为,对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如,如果,是常数，,不是常数。,切线模量,证明见第5.4.5节，推导复杂,4 非线性弹性,超弹性材料,平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形，如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料，仅依赖变形（应变）不一定能够得到应力。,储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状态，并且是独立于变形（或荷载

14、）路径，称这种弹性材料为超弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的工业橡胶。动物的肌肉也具有超弹性的力学性质。这里主要讨论橡胶材料的超弹性力学行为。,4 非线性弹性,超弹性材料,对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量函数，它是应力的势能：,通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式,由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量P的9个分量是不对称的。,在橡胶大变形中应用多项式模型和Ogden指数模型。,4 非线性弹性,超弹性材料,目前，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很多，例如

15、，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡胶（ERP）；用于汽车配件的有氯丁橡胶及另一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。在众多的合成橡胶中，硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏300度和零下90度时能够“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的强度和弹性。例如生物材料。,橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡胶”一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提炼出来的。,4 非线性弹性,超弹性材料,1839年，Charle Goodyear发明了橡胶的硫化方法，其姓氏现在已经成为

16、国际上著名橡胶轮胎的商标。从19世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而，橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可以描述材料特性。橡胶材料受力以后，变形是伴随着大位移和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积几乎保持不变。,橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化学稳定性等。,4 非线性弹性,超弹性材料,由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，我们可以借助计算机来对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算结果等。,橡胶是一种

17、弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。橡胶的制造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。,固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型,固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5。可逆，大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。,4 非线性弹性,超弹性材料,常用的橡胶性态可分为固体橡胶和泡沫橡胶。,4 非线性弹性,超弹性材料,一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大的弹性应变要求

18、，拉伸时的应变可以达到500或更大，压缩时的应变可以达到90或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形，因此具有良好的能量吸收性。,泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a)开放腔室，b)封闭腔室,4 非线性弹性,超弹性材料,泡沫橡胶材料的应力-应变曲线 a)压缩 b)拉伸,小应变 5%，线弹性，泊松比为0.3。大应变，压缩时，泊松比为0.0；拉伸时，泊松比大于0.0。,典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线,橡胶本构模型,4 非线性弹性,小变形,以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为,忽略二阶及二阶以上小量，变为,弹性常数为,当,橡胶本构模型,4 非线

19、性弹性,定义伸长,工程应变定义为,二阶张量基本不变量,小变形，有,小变形,橡胶本构模型,4 非线性弹性,例题,在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型，应变能密度表达式为,若取,（单位为MPa），求材料弹性常数。,利用公式,解：,解出橡胶的弹性常数为，E=1.384MPa，=0.5,小变形,橡胶本构模型,4 非线性弹性,常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学描述方法。热力学统计方法的基础为观察到橡胶中的弹性恢复力主要来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子结构无序，熵的减少是由于橡胶伸长使得橡胶结构由高度无序变得有序。由对橡

20、胶中分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系。,橡胶本构模型,唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设是用单位体积（弹性）应变能函数（U）来描述橡胶特性的基础，其本构模型为多项式形式模型和Ogden形式模型。,典型的本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为,特殊形式可以由设定某些参数为0来得到。如果所有,则得到减缩多项式模型,对于完全多项式，如果,则只有线性部分的应变能量，,即Mooney-Rivlin形式,橡胶本构模型,，则得到Neo-Hookean形式,对于减缩多项式，如果,Mooney-Rivlin形式和Neo-Ho

21、oken形式本构模型（后者是将Hooke定律扩展至大变形）,橡胶本构模型,Yeoh形式本构模型是,时减缩多项式的特殊形式,典型的S形橡胶应力-应变曲线，C10正值，在小变形时为切线模量；C20为负值，中等变形时软化；C30正值，大变形时硬化。,橡胶本构模型,Ogden形式本构模型,Arruda-Boyce形式本构模型,Van der Waals模型,橡胶本构模型,其他形式的本构模型有：,试验拟合本构模型系数,橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外，其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于精确和充分的橡胶试验。,通常在试

22、验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变曲线，这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数。,同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图，对比试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。,试验拟合本构模型系数,试验拟合本构模型系数,给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合确定，这样可以使得误差最小。即对于n 组应力-应变的试验数据，取相对误差E 的最小值，拟合应力表达式中的系数，得到理论本构模型。,确定材料常数的经验公式,试验拟合本构模型系数,对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定其材料常数。经验公式是通过橡胶的IRHD硬度指标来确定材料的弹性模

23、量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确定材料常数。基本公式为（小应变条件）,将得到的材料常数代入Mooney-Rivlin模型进行计算。,例子,采用氢化丁腈橡胶H-NBR75，硬度为75MPa，解得,由于大型有限元软件的迅速发展，使得复杂的超弹性模型计算过程由计算机程序完成，在ABAQUS等商用软件中给出了具体的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和选用合适的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正确。对于初学者来说，商用软件是一个“黑匣子”，因此，掌握超弹性材料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键。,结论与讨论,需要注意的是，对于不可压缩材料的平面问题，无论是解析解还

24、是数值解，均不能采用平面应变解答。因为对于不可压缩材料，如果采用平面应变模型，其体积不变，内力为不确定量，在有限元中的节点位移不能反映单元内力的变化。对于不可压缩材料或者接近于不可压缩材料的平面问题，务必应用平面应力（或者广义平面应变）解答。,橡胶减震轴过盈配合的解析解和有限元解平面应变和平面应力模型,过盈量1.9mm，应力非常大，原因是平面应变模型,橡胶和钢环的解析解与FE解的径向应力比较,广义平面应变平面应力问题不发生体积自锁,平面应变模型发生体积自锁,问题：在有限元力学模型中，加载是任意的（如三维），材料实验数据是单轴拉伸（如一维），如何在有限元计算中建立联系，实现对应的应力状态，直到发

25、生屈服和破坏？,5 一维塑性,从屈服准则的建立来回答这样的问题。,应力保持40MPa的蠕变试验数据与计算结果对比,最大切应力屈服准则(Trescas Criterion)无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元内的最大切应力达到了某一共同的极限值。,拉伸屈服试验确定,任意状态应力,5 一维塑性,设计准则,允许应力,5 一维塑性,在有限元计算中，材料的应力和应变状态等价于单轴拉伸实验数据的对应值，与加载历史相关，只要发生屈服，都是由于单元内的最大切应力达到了某一共同的极限值。,形状改变比能准则(Misess Criterion)无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元的形

26、状改变比能达到了一个共同的极限值。,5 一维塑性,形状改变比能与体积改变比能,体积改变能密度与形状改变能密度,+,5 一维塑性,形状改变比能准则,单向应力,三向应力,5 一维塑性,形状改变比能准则,失效判据,设计准则,5 一维塑性,5 一维塑性,对于卸载后产生永久应变的材料称为塑性材料。,应变的每一增量分解成为弹性可逆部分和塑性不可逆部分,塑性理论的主要内容有：,屈服函数控制塑性变形的突变和连续，是内变量和应力的函数,流动法则控制塑性流动，即确定塑性应变增量。,内部变量的演化方程控制屈服函数的演化，包括应变-硬化关系。,弹-塑性定律是路径相关和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性变形中，不可逆换成

27、其它形式的能量，特别是热。应力取决于整个变形的历史，不能表示成为应变的单值函数；而它仅能指定作为应力和应变的率之间的关系。,5 一维塑性,一维率无关塑性,典型弹-塑性材料的应力-应变曲线,应变的增量假设分解成为弹性和塑性部分的和，率形式,应力增量(率)总是与弹性模量和弹性应变的增量(率)有关,非线性弹-塑性区段，应力-应变,切线模量,应力-应变关系的是率均匀的。如果被任意的时间因子缩放，本构关系保持不变。因此，材料反应是率无关的。,5 一维塑性,一维率无关塑性,通过流动法则给出了塑性应变率，常常表示为塑性流动势能的形式,流动势能的一个例子是,等效应力,屈服条件为,单轴拉伸的屈服强度,等效塑性应

28、变,材料在初始屈服之后屈服强度的增加称为功硬化或者应变硬化(对应于应变软化)。硬化行为一般是塑性变形先期历史的函数。,屈服行为是各向同性硬化；拉伸和压缩的屈服强度总是相等。,5 一维塑性,一维率无关塑性,一个特殊的模型，,塑性应变率写成为,塑性模型称为关联的，否则，塑性流动是非关联的。对于关联塑性，塑性流动是沿着屈服面的法线方向。,由此看出,仅当满足屈服条件,时发生塑性变形。,当塑性加载时，应力必须保持在屈服面上，,实现了一致性条件,这给出,塑性模量,5 一维塑性,一维率无关塑性,对应塑性加载和纯弹性加载或卸载，切线模量为,塑性转换参数,加载卸载条件还可以写为,一致性条件的率形式,应力状态位于

29、塑性表面,塑性率参数非负,对于塑性加载,必须保持在屈服面上,其应力状态,对于弹性加载或者卸载,没有塑性流动,因此,材料硬化描述(a)Bauschinger效果(b)屈服面的平移和扩展,在循环加载中，各向同性硬化模型提供了金属应力应变反应的粗糙模型。图a为Bauschinger效果，在拉伸初始屈服之后的压缩屈服强度降低。认识这种行为的方法之一是观察屈服表面的中心沿着塑性流动方向移动。图b为多轴应力状态圆环屈服表面扩张对应于各向同性硬化（幂硬化），它的中心平移对应于运动硬化。,5 一维塑性,混合硬化,屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。,背应力的内部变量

30、,Stress-strain curve under cyclic loads,Combined hardening model,混合硬化,5 一维塑性,屈服面积改变，屈服中心不变，各向同性硬化；屈服面积不变，屈服中心平移，运动硬化。,5 一维塑性,运动硬化,塑性流动关系,背应力的内部变量,屈服条件,一维率相关塑性,在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，,一种方法是过应力模型，等效塑性应变率取决于超过多少屈服应力,等效塑性应变率的一种交换形式,粘度,过应力,5 一维塑性,应变软化,单调凸本构曲线不再成立。应变软化如何加载？,位移加载,6 多轴塑性,Tresca屈服准则,Mises屈服准则

31、,在有限元程序中一般应用哪种屈服准则？为什么？,摩擦滑移屈服表面,6 多轴塑性,Mohr-Coulomb本构模型,滑移方向（塑性流动）是水平的（沿Q 的方向）而不是垂直屈服面。这是非关联塑性流动的例子。对于连续体和多轴应力应变状态的行为，M-C准则具有普适性。它应用于模拟土壤和岩石。,M-C准则是基于这样的概念，即当任意面上的切应力和平均法向应力达到临界组合时在材料中发生屈服,c是内聚力，通过 定义内摩擦角,6 多轴塑性,Mohr-Coulomb屈服行为,Mohr-Coulomb屈服表面Drucker-Prager屈服表面,在Mohr平面上的两条直线代表了方程式，它们是Mohr圆的包络并称为M

32、ohr破坏或者失效包络。假设主应力,应力状态,屈服准则,6 多轴塑性,考虑 的特殊情况并让,，代表剪切屈服强度，,上式成为,即为Tresca准则。,在Tresca和M-C屈服表面上的直线线段便于塑性问题的解析处理。然而，从计算的观点看，夹角使得本构方程难以建立(例如，计算屈服面的法线)。通过改进von Mises屈服准则结合压力的影响，Drucker-Prager屈服准则避免了与夹角有关的问题：,这是一个光滑圆锥的方程，为等效Cauchy应力，选择常数有,D-P屈服表面通过了M-C屈服表面上的内部或者外部顶点（取加号对应于内部顶点，而取减号对应于外部顶点）。,9 应力更新算法,本构方程率形式的

33、积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新算法），包括：径向返回算法的一类图形返回算法，算法模量与基本应力更新方案一致的概念，大变形问题的增量客观应力更新方案，基于弹性响应的应力更新方案，即自动满足客观性的超弹性势能。,给出描述本构模型的某些其它连续介质力学观点，展示Eulerian，Lagrangian和两点拉伸的概念，描述后拉、前推和Lie导数的运算，材料框架客观性，材料的对称性，以本构行为的张量表示讨论了不变性的某些方面，讨论由于热力学第二定律和某些附加的稳定性必要条件对材料行为的约束。,9 应力更新算法,对于积分率本构方程的数值算法称为本构积分算法或者应力更新算法。对于率无关和率相关材料

34、提供了本构积分算法。讨论简单的小应变塑性，将小应变算法扩展至大变形，将大变形分析的积分算法保持在基于本构方程客观性的基础上。展示了关于大变形塑性的逐步客观积分算法。讨论关于大变形超弹塑性材料的应力更新算法，回避对应力率方程的积分。描述了与本构积分算法相关的计算模量，采用隐式求解算法发展材料的切线刚度矩阵。,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,小应变、率无关弹塑性的本构方程,应力应变反应与变形率无关的一种材料称为率无关；否则为率相关。,，,Kuhn-Tucker条件，上面第一个条件表明塑性率参数是非负的，第二个条件表明当塑性加载时，应力状态必须位于或限制在塑性表面上，最后条件也可以作为由

35、已知一致性条件,的率形式。,塑性流动方向经常特指为,，这里,称为塑性流动势,）应力状态必须保持在屈服面,因此,。对于弹性加载或者卸载,，没有塑性流动。,对于塑性加载（,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,上，,在时刻n 给出一组,和应变增量,本构积分算法的目的是计算,并满足加卸载条件,在,时刻的应力给出为,求解的一致性条件给出,设想能够应用这个塑性参数值以提供更新的应力率、塑性应变率和内变量率，并且写出简单的向前Euler积分公式算法,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,但在下一步，这些应力和内变量的更新值并不满足屈服条件，所以,由于解答从屈服表面漂移，常常导致不精确的结果，因

36、此不受人青睐。公式也称为切线模量更新算法，形成了计算率无关塑性早期工作的基础。,率无关塑性的图形返回算法,9 应力更新算法,这导致考虑另外一些方法进行率本构方程的积分，目的之一是强化在时间步结束时的一致性，例如，,为避免离开屈服面的漂移。有许多不同的积分本构算法，这里主要关注一类方法返回图形算法，它是强健和精确的，被广泛应用。著名的von Mises塑性径向返回方法是返回图形算法的特例。,返回图形算法包括：一个初始的弹性预测步，包含（在应力空间）对屈服表面的偏离，以及塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面。方法的两个组成部分是：一个积分算法，它将一组本构方程转换为一组非线性代数方程，一个对非线

37、性代数方程的求解算法，该方法可基于不同的积分算法，例如生成梯形法则，生成中点法则或者Runge-Kutta方法。基于向后Euler算法，考虑一个完全隐式方法和一个半隐式方法。,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,在完全隐式的向后Euler方法中，在步骤结束时计算塑性应变和内变量的增量，同时强化屈服条件，这样，积分算法写成为,公式是一组关于求解,的非线性代数方程。注意到更新变量来自前一个时间步骤结束时的收敛值，这就避免了非物理意义的效果，例如当用不收敛的塑性应变和内变量值求解路径相关塑性方程时可能发生的伪卸载。,在时刻n 给出一组,和应变增量,通过方程系统的解答获得了应变,在时刻n 1，,

38、完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,如果解答过程是隐式的，可以理解应变,是在隐式解答算法的最后迭代后的总体应变。,塑性应变增量给出为,代入表达式,关联塑性的最近点投射方法,是弹性预测的试应力,是塑性修正量，它沿着一个方向，即规定为在结束点处塑性流动的方向，返回或者投射试应力到适当更新的屈服表面（考虑硬化）。,而数值,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,由总体应变的增量驱动弹性预测状态，而由塑性参数的增量,驱动塑性修正状态。因此，在弹性预测阶段，塑性应变和内变量保持固定，而当塑性修正阶段，总体应变是不变的。在弹性预测阶段，由公式得到的结果为,关联塑性的最近点投射方法,其中,完全隐式的

39、图形返回算法,9 应力更新算法,非线性代数方程组解答一般由Newton过程求解。基于分类线性化方程组的Newton过程，和根据最近投射点的概念引导塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正阶段中，总体应变是常数，线性化是相对于塑性参数增量,在Newton过程中应用下面的标记：关于一个方程,的线性化，,并有,在第k次迭代时记为,为适合Newton迭代，以上面形式写出塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标,完全隐式的图形返回算法,9 应力更新算法,这组方程的线性化给出,3个方程可以联立求解,这样，塑性应变、内变量和塑性参数更新是,Newton过程是连续计算直到收敛到足以满足准则的更新屈服表面。这个过程是

40、隐式的并包括了方程在单元积分点水平的结果。该方法的复杂性在于需要塑性流动方向的梯度，不适合复杂本构。,脚标为偏导数,一致性条件：在加卸载过程中，材料的应力点始终处于屈服面上,应用于J2流动理论径向返回算法,9 应力更新算法,小应变时的弹塑性本构关系和框5.6的J2 流动理论，注意到塑性流动方向是在偏应力的方向，给出为,J2塑性流动理论基于von Mises屈服面，它特别适用于金属塑性，,该模型的关键假设是压力对在金属中的塑性流动没有影响；屈服条件和塑性流动方向是基于应力张量的偏量部分。,它也是屈服表面的法向，即,在偏应力空间，Mises屈服表面是环状，法向是径向。在塑性流动的方向（径向），定义

41、一个单位法向矢量为,应用于J2流动理论径向返回算法,9 应力更新算法,算法的重要特性是,在整个塑性修正状态过程中不变化,保持在径向，,因此塑性应变的更新是,的线性函数，而塑性流动残量恒为零：,唯一的内变量（各向同性硬化）是累积塑性应变，给出为,因此，内变量的更新也是,的线性函数，相应的残量为零，例如，,适合Newton迭代的塑性更新和屈服条件，省略n+1脚标,屈服条件给出为,而f 的导数是,和,应用于J2流动理论径向返回算法,9 应力更新算法,各向同性硬化：只有一个硬化参数q，屈服面表面扩张,幂硬化：屈服面中心不变，屈服面尺寸改变,运动硬化：屈服面中心平移，尺寸不变，中心位置为背应力的内变量,

42、关联塑性：塑性流动沿着屈服面的法线方向；否则，为非关联塑性,径向返回算法编程,9 应力更新算法,1 设初始值,2 在第k次迭代时检查屈服条件,如果,则收敛，否则 go to 3,3 计算塑性参数的增量,4 更新塑性应变和内变量,9 应力更新算法,算法模量,在隐式方法中，需要合适的切线模量。由于在屈服时突然转化为塑性行为，连续弹塑性切线模量可能引起伪加载和卸载。为了避免这点，采用了一个基于本构积分算法的系统线性化的算法模量（也称为一致切线模量），代替了连续弹塑性切线模量。下面给出完全隐式向后Euler方法的算法模量的推导。,向后Euler更新算法切线模量定义为,对于J2流动理论的情况，算法模量是

43、与径向返回应力更新一致的,9 应力更新算法,半隐式向后Euler方法,半隐式向后Euler方法（Moran,1990）是对于塑性参数采用隐式，而对于塑性流动方向和塑性模量采用显式的算法，即在步骤结束时计算塑性参数的增量，而在步骤开始时计算塑性流动的方向和塑性模量。为了避免从屈服面漂移，在步骤结束时强化屈服条件。积分方法为,对比完全隐式向后Euler方法,9 应力更新算法,率相关塑性的图形返回算法,对于J2 塑性流动，过应力函数公式的典型例子为(n为率敏感指数),对于J2 流动理论，一个替代的粘塑性模型为(m为率敏感指数),参考应变率,在过应力模型中，等效塑性应变率取决于超过了多少屈服应力。,在

44、率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，与不能超越过屈服条件的率无关塑性相比，为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过屈服条件，塑性应变率（结合各向同性和运动硬化）给出为(背应力）,9 应力更新算法,率相关塑性的图形返回算法,框5.11 大应变率相关塑性,1 分解变形率张量为弹性和塑性部分的和,2 应力率关系,3 塑性流动法则和演化方程,4 应力率总体变形率关系,过应力函数，是塑性应变的驱动力,粘性（力时间）,9 应力更新算法,率相关塑性的图形返回算法,率无关塑性的图形返回本构积分算法和算法切线模量可以修改为率相关的方法，对于一个完全隐式算法，更新可以写成增量的形式,过应力函数和粘性,算

45、法切线模量表达式,大变形的逐步客观积分方法,9 应力更新算法,大变形本构算法的一个重要问题是观察的材料框架相同，准确地保持本构关系的客观性；在刚体转动中，该算法必须准确地计算应力的恰当转动。,基于Kirchhoff应力的Jaumann率，考虑一个简单的更新算法，变形率是对于时间增量的等效率并且定义如下，应力更新给出为,Q是与等效旋转W关联的增量转动张量。以Jaumann率的形式替换本构反应,应用不同算法计算等效变形率，基于增量变形梯度，采用直接向前方法,大变形的逐步地客观积分方法,9 应力更新算法,第二个关系来自框3.2。Kirchhoff应力几乎是与Cauchy应力等同的，但是它被Jacob

46、ian行列式放大。因此，也称它为权重Cauchy应力。对于等体积运动，它等同于Cauchy应力。在超弹性本构关系中，它会自然提高，并且在次弹塑性模型中是有用的，因为它导致了对称的切线模量。,Kirchhoff应力定义为,大变形的逐步地客观积分方法,9 应力更新算法,式中,v是关于增量的等效速度。通过Green应变增量的前推定义等效变形率,是位移增量,在刚体转动中等效变形率D消失，从而取得了增量客观性。等效旋转定义为,对于次弹塑性材料公式，采取的形式为(Q为指数形式，见第9章),速度梯度,速度梯度张量可以分解为对称部分和偏对称部分为,令,变形率,转动,任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和偏

47、对称部分的和,所以,回顾第3章,9 应力更新算法,10 连续介质力学和本构模型,后拉、前推和Lie导数,Euler张量,Lagrangian张量,两点张量,Green应变张量E PK2应力,线单元dX,线单元dx,Cauchy应力,速度梯度 LDW,Lagrangian矢量dX和Eulerian矢量dx定义的二阶张量,可以由后拉和前推运算给出E-L张量之间映射的统一描述。例如，Lagrangian矢量dX由F前推到当前构形给出Eulerian矢量dx,Eulerian矢量dx由,后拉到参考构形给出dX,LagrangianEulerian,Eulerian-Lagrangian,前推运算,后拉

48、运算,通过在拓扑空间的分析，获得大变形弹塑性各种张量之间的关系和映射,10 连续介质力学和本构模型,后拉、前推和Lie导数,二阶张量的后拉和前推运算给出了在变形和未变形构形情况下张量之间的关系。一些重要的二阶张量的后拉和前推在框5.16给出。这些定义取决于是否一个张量是动力学还是运动学的，区别在于由这些张量所观察到的势的共轭性：如功共轭的运动学和动力学张量被后拉或前推，则势必须保持不变。许多关系来自于框3.2，这些概念能使我们发展那些不容易显示的关系。,后拉和前推的概念为定义张量的时间导数提供了数学上的一致性Lie导数。如框5.17，Kirchhoff应力的Lie导数是其应力的后拉的时间导数的

49、前推。,不严格地说，在Lie导数中，在固定的参考构形中对时间求导，前推到当前构形。在框5.17中给出了用势共轭方式定义的运动学张量的Lie导数。,以上计算是将应力后拉到参考构型上，对时间求常导数，再前推回到当前构型。否则是偏导数.,10 连续介质力学和本构模型,后拉、前推和Lie导数,证明Kirchhoff应力的对流率对应于它的Lie导数,(框3.2),材料时间导数的计算,应用,得到,Lie导数等价于在公式(5.4.22)中定义的Truesdell应力的对流率,10 连续介质力学和本构模型,本构关系的实质,材料客观性或者材料框架相同的原理表明材料响应是与观察者无关的。原理的数学表述写成为,即G*和G为相同函数。此外，材料客观性的含义是，为了确定Cauchy应力，观察者O*对待F*采用观察者O对待F的相同方式。Cauchy应力是客观（Eulerian）张量，因此Cauchy应力的分量在转动坐标系中由观察者O*所见的与观察者O在不转动坐标系中所见到的是相同的,