lei1多元微分学在几何上的应用.ppt

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1、2023/7/7,1,第六节 多元微分学在几何上的应用,第七章,(Applications of differential calculus in geometry),一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、小结与思考练习,2023/7/7,2,复习:平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,2023/7/7,3,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击看动画,(Tangent and no

2、rmal plane of space curve),2023/7/7,4,切线方程,1.曲线方程为参数方程的情况,2023/7/7,5,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量.,如个别为0,则理解为分子为 0.,不全为0,因此得法平面方程,2023/7/7,6,解题思路:,切线方程,法平面方程,2023/7/7,7,2023/7/7,8,光滑曲线,当,曲线上一点,且有,时,可表示为,处的切向量为,2.曲线为一般式的情况,2023/7/7,9,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,2023/7/7,10,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法

3、1 令,则,即,切向量,例2 求曲线,2023/7/7,11,即,解法2.方程组两边对 x 求导,得,曲线在点 M(1,2,1)处有:,切向量,解得,法平面方程,2023/7/7,12,切线方程,即,法平面方程,即,点 M(1,2,1)处的切向量,2023/7/7,13,二、曲面的切平面与法线,设有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0.,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,(Tangent plane and normal line of surface),202

4、3/7/7,14,在 上,得,令,由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在.,证:,2023/7/7,15,曲面 在点 M 的法向量,切平面方程,法线方程,2023/7/7,16,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,在点,有连续偏导数时,切平面方程,特别,当光滑曲面 的方程为显式,2023/7/7,17,法向量,用,将,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,法向量的方向余弦：,2023/7/7,18,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,例3 求球面,

5、2023/7/7,19,解题思路:,切平面方程,法线方程,2023/7/7,20,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,2023/7/7,21,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,2023/7/7,22,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,2023/7/7,23,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,法线的方向余弦,法向量,2)显式情况.,2023/7/7,24,作业,习 题 7-6 P101 1(2)(4);3(2);,2023/7/7,25,思考与练习,2023/7/7,26,在点(1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,1.求曲线,2023/7/7,27,提示:设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),