lei1多元函数的基本概念.ppt

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1、2023/7/7,1,高等数学多媒体课件,华南农业大学理学院数学系,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2023/7/7,2,第七章 多元函数微分法及其应用,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,2023/7/7,3,主 要 内 容,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的微分法,第五节 隐函数的微分法,第六节 多元微分学在几何上的应用,第七节 方向导数与梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,2023/7/7,4,第一节 多元函数的基本概念,第七章,(Conception of functions of seve

2、ral variables),四、多元函数的连续性,一、平面点集 n 维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,五、小结与思考练习,2023/7/7,5,1.平面点集,坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E=(x,y)|(x,y)具有性质P.,例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是,一、平面点集 n 维空间,2023/7/7,6,邻域,2023/7/7,7,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,2023/7/7,8,在讨论实际问题中也常使用方邻域

3、,平面上的方邻域为,.,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2023/7/7,9,(1)内点、外点、边界点、聚点,设有点集 E 及一点 P:,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含有 E的点也含,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点;,则称 P 为 E 的边界点.,有不是E的点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的,边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,2.区域,2023/7/7,10,若对任意给定的,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点,则,称 P 是 E 的聚点.,内点一定是聚点

4、；边界点可能是聚点；,说明：,例,(0,0)既是边界点也是聚点,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,2023/7/7,11,开集:如果点集E的点都是内点，则称E为开集.,闭集：如果点集E的余集 为开集，则称E为闭集.,开集,既非开集，也非闭集.,(2)开集、闭集,2023/7/7,12,连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.,例如：,闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.,区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域.,例如：,（4）区域,2023

5、/7/7,13,开区域,闭区域,例如，在平面上,2023/7/7,14,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K,则称 D 为有界区域,无界域.,否则称为,有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.,无界集：不是有界集的集合称为无界集.,2023/7/7,15,n 元有序数组,的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标.,记作,即,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O.,3.n 维空间,20

6、23/7/7,16,设x=(x1,x2,xn)，y=(y1,y2,yn)为Rn中任意两个元素，规定,这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.,2023/7/7,17,的距离记作,规定为,n维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,2023/7/7,18,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,2023/7/7,19,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当 n=2 时,有二元函数,当 n=3 时,有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数,记作,定义1 设

7、非空点集,2023/7/7,20,例1.求 的定义域,解,所求定义域为,2023/7/7,21,二元函数的几何意义：,设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.,2023/7/7,22,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,例如,二元函数,2023/7/7,23,

8、三、多元函数的极限,定义2 设 n 元函数,点,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n=2 时,记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,2023/7/7,24,(1)不研究P0(x0,y0)处的状态，仅研究点 的过程中，函数f(x,y)的变化趋势.所以，函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限与函数在点P0(x0,y0)有无定义无关.,(2)极限值A应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近P0(x0,y0)的方式无关.也就是说：P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A.,注意：,（

9、3）若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,则可以断定函数极限,以不同方式趋于,不存在.,函数,2023/7/7,25,求证：,证:,故,总有,要证,（课本 例5）,例2 设,2023/7/7,26,例3 考察函数,解：(1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,这是一种特殊的趋近方式,当 时 的极限.,2023/7/7,27,(3)当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时,2023/7/7,28,例4 求:,2023/7/7,29,例5 求极限,解,其中,2023/7/7,30,四、多元函数的连续性,定义3 设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为D，为D的聚点，且.如果,则称

10、函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.,如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或者称f(x,y)是D上的连续函数.,以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到n元函数f(P)上.,2023/7/7,31,二元函数在点P0(x0,y0)处的连续，要求有以下三个条件成立，即：,(1)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)有定义，且点P0(x0,y0)是函数z=f(x,y)定义域的聚点.,(2)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)有极限.,(3)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的极限值等于该点 函数值，即：,202

11、3/7/7,32,定义4 设函数f(x,y)的定义域为D，是D的聚点.如果函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间断点.,2023/7/7,33,圆周 上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点.,其定义域为,又如函数,2023/7/7,34,一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用，根据多元函数的极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.,2023/7/7,35,多元初等函数：由常数及具有不同变量的一

12、元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,2023/7/7,36,解:原式,例6（课本 例9）求,2023/7/7,37,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,2023/7/7,38,内容小结,1.区域,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函

13、数,2023/7/7,39,有,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,3.多元函数的极限,2023/7/7,40,作业,习 题 7-1 P69-70 6(2)(3)(4)(5);7(1),2023/7/7,41,思考与练习,1.习题71 7（2）,令 x=k y，,若令,则,可见极限不存在,2023/7/7,42,2.设,求,解法1 令,2023/7/7,43,求,解法2 令,即,2.设,2023/7/7,44,是否存在？,解：,所以极限不存在.,3.,2023/7/7,45,在全平面连续.,证:,为初等函数,故连续.,又,故函数在全平面连续.,由夹逼准则得,4.证明,