清华大学计算固体力学第三次课件连续介质力学.ppt

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1、非线性有限元第3章 连续介质力学,计算固体力学,第2讲 连续介质力学,引言变形和运动应变度量应力度量守恒方程Lagrangian守恒方程极分解和框架不变性,1 引言,连续介质力学是非线性有限元分析的基石。,从描述变形和运动开始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。,1 引言,非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用最频繁的是：应变度量：Green应变张量和变形率。应力度量：Cauchy应力、名义应力和第二PiolaKirchhoff应力，简称为PK2应力。,还有许多

2、其它的度量，过多的应力和应变度量是理解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领域，就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西，也许只是学术过量的一种显示。我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授，也涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件。,1 引言,守恒方程，通常也称为平衡方程，包括质量、动量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料域中推导出来。推导并解释极分解原理，检验Cauchy应力张量的客观率，也称作框架不变率。解释了率型本构方程要求客观率的原因，然后表述了几种非线性有限元中常用的客观率。,2 变形和运动,它们的属性和响应可以用空间

3、变量的平滑函数来表征，至多具有有限个不连续点。它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。晶体结构的特性有时也通过本构方程出现在连续介质模型中，但是假定其响应和属性是平滑的，只具有有限个不连续点。,连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结构的宏观行为的模型。,Kinematic description:应变是如何度量的？Kinetic description:应力是如何度量的？Mesh description:网格移动如何联系连续体的运动？,2 变形和运动,在初始域和当前域域之间的映射,初始构形,当前构形,材料点的位置矢量,ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。,2 变

4、形和运动,运动描述,空间坐标,当参考构形与初始构形一致时，在 t0 时刻任意点处的位置矢量 x 与其材料坐标一致,一致映射,为常数值的线被蚀刻在材料中，恰似Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时，这些线就不再是Cartesian型。这种观察方式下的材料坐标被称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时，它们不随时间改变。建立的方程，是在参考构形上观察材料坐标，因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。另一方面无论怎样观察，空间坐标系都不随时间变化。,材料坐标,2 变形和运动,运动描述,在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的，并且没有必要。在固体

5、力学中，应力一般依赖于变形和它的历史，所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立变量是材料坐标X 和时间t。,位移,速度,加速度,速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数,2 变形和运动,运动描述,独立变量是空间坐标x 和时间t，称为空间或Eulerian描述,通过链规则得到材料时间导数,空间时间导数,对流项、迁移项,矢量场的左梯度,空间变量 x 和时间 t 的任何函数的材料时间导数可以通过链规则得到,和张量函数,其材料时间导数给出为,对于标量函数,2 变形和运动,运动描述,左梯度矩阵,变形梯度是运动函数的Jacobian矩阵,2 变形和运动,第一个指标代表运动，第二

6、个指标代表偏导数,材料坐标左梯度的转置,直角坐标系下二维的变形梯度给出为,F 的行列式用J 表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式,2 变形和运动,变形梯度,将当前构形和参考构形上的积分联系起来,二维域,Jacobian行列式的材料时间导数给出为,左散度,2 变形和运动,运动条件,除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射,满足以下条件：,连续可微，一对一（F可逆），J 0,这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体中不存在缝隙和重叠。运动及其导数可以是非连续或者在零尺度集合上具有非连续的导数（如裂纹），所以它是分段连续可微的。增加不包括零尺度集合的附加条

7、件以解释裂纹形成的可能性。在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况中是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一条线具有零面积，一个表面具有零体积。,2 变形和运动,运动条件,变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在某些现象中，例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的。要求在运动及其导数中非连续的数量是有限的。实际上发现，有些非线性解答可能拥有无限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能被有限元有效地处理，所以将不关注这些解答。,第二个条件，即运动为一对一的，要求对于在参考构形上的每一点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是F规则的必要充分条件，即F是可逆的

8、。当变形梯度F是正常的，则，因为当且仅 当时F的逆才存在。因此，第二个条件和第三个条件是有联系的。更强的条件是J 必须为正而不仅是非零，在第3.5.4节可以看到这遵循了质量守恒。这个条件在零尺度集合上也可以违背。例如，在一个裂纹的表面上，每一个点都成为了两个点。,运动条件,一个Lagrangian网格的刚体转动，显示在参考(初始、未变形)构形和当前(变形)构形中观察到的材料坐标。,转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。一个矩形单元的Lagrangian网格的刚体转动，如图所示。可以看出，在刚体转动中单元的边发生转动，但是边与边之间的夹角保持不变。单元的边是X 或Y 坐标为常数的直线，所以在变

9、形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。,一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动，刚体转动和坐标转换的关系为,2 变形和运动,二维问题,角速度,空间坐标,角速度张量或角速度矩阵,偏对称张量也称作反对称张量,二维问题,动力学教材中的刚体运动方程,例3.1,3节点三角形有限元，设节点的运动为,求解变形梯度和Jacobian行列式为时间的函数，当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。,2 变形和运动,(1),三角形3节点线性位移单元的构形,解：,在初始构形中，t=0,面积坐标,2 变形和运动,(2),将未变形构形中的节点坐标代入上式,在初始构形中，t=0,得到三角形坐标与材料坐标之间的关

10、系,即,得到运动的表达式,变形梯度为,2 变形和运动,将(1)和(3)代入(2),(3),在单元中的位移是材料坐标的线性函数，变形梯度仅为时间函数，若给定时间，F 为常数。Jacobian行列式给出为,变形梯度为,当,J的行列式为常数，,这种运动是没有变形的转动；,当,一个剪切变形和一个转动，其中单元的面积保持常数。这种类型的变形称为等体积变形；不可压缩材料的变形就是等体积变形。,2 变形和运动,J行列式也保持常数，这种情况对应于,例3.3,一个单位正方形4节点单元，其中3个节点固定。求导致Jacobian行列式等于零时节点3位置的轨迹。,除节点3之外所有节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场

11、给出,2 变形和运动,沿着由节点1和2以及节点1和4所定义的边界上位移场为零，运动为,变形梯度,则Jacobian行列式为,检验什么时候Jacobian行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料点的Jacobian行列式，即单位正方形,显然,且,J是最小,当,对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定,节点3越过未变形单元的对角线,2 变形和运动,例3.4,小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为,初始未开裂的构形和裂纹沿轴扩展的两个随后构形,2 变形和运动,这个位移场对应于沿着X轴的开口裂纹，且裂尖速度为c。求出沿着直线 上的位移间断。并问这个位移场是否满足运动连续性要求？,解：,2 变形和运动

12、,运动为，。,位移场的间断是在公式中关于 和 的差值：,所以位移的跳跃或间断为,其它任何地方的位移场都是连续的。这个运动满足第14页所给出函数连续性准则，因为不连续仅仅发生在一条线上，在二维中这是一个零尺度的集合。从图中可以看出，在这个运动中裂纹尖端后面的线被分成两条线。在设计运动时也可能该线并不分离，只是在切线位移场上发生间断。现在这两种运动都常常应用在非线性有限元分析中。,3 应变度量,Green应变E变形率张量D,许多应变和应变率度量出现在连续介质力学的文献中；然而，在有限元方法中应用最普遍的是上面两种度量。在描述本构方程时，如果需要，有时使用其它度量更加有利。对于任何刚体运动(含刚体转

13、动)，应变度量必须为零。如果在刚体转动中应变度量不为零，预示着有非零应变，结果导致非零应力。下面看一个例子3.6。,一个单元绕着原点转动了角。计算线性应变,例3.6,取它们对材料坐标求导,如果较大，伸长应变不为零。,对于任何刚体运动(含刚体转动)，应变度量必须为零。这就是为什么在非线性理论中放弃一般的线性应变位移方程的关键因素。,3 应变度量,3 应变度量,下面将看到在刚体转动中E和D为零。应变度量也应该满足其它的准则，比如，当变形增大时它也相应的增大，等等。然而，能够表示刚体运动是至关重要的，并且指明什么时候使用几何非线性理论。,到底多么大的转动需要进行非线性分析？,说明在转动中线性应变的误

14、差是二阶的，线性分析的适用性在于容许误差的量级，最终取决于感兴趣的误差大小。,因此，线性应变张量不能用于大变形问题。,线性分析的适用性则在于能够容许误差的量级，最终取决于感兴趣的应变的大小。如果感兴趣的应变量级是10-2，那么1的误差是能够接受的（几乎总是这样）。如果感兴趣的应变更小，可接受的转动更小，对于10-4量级的应变，为满足1的误差，转动必须是10-3 弧度量级的。这些指导数据假设平衡解答是稳定的，即不可能发生屈曲。然而，屈曲是可能的，即使是在很小的应变下，所以当可能发生屈曲时，应该使用能适合应付大变形的度量。,3 应变度量,3 应变度量,Green应变张量定义,材料矢量dX长度平方的

15、变化。Green应变度量了当前(变形)构形和参考(未变形)构形中一个微小段长度的平方的差。利用变形梯度公式,将公式左边重新写成为矩阵形式,整理上面公式为,提出相同的项得到,对于任何dX都成立,3 应变度量,Green应变张量E,以位移的形式使用指标写法,代入上式，表示为位移梯度的形式,3 应变度量,在任何刚体运动中，Green应变张量为零，满足了应变度量的一个重要要求。,考虑刚体运动,由变形梯度F 定义，绕原点纯转动时，给出为FR（证明见例3.2),式中转动张量满足正交性，R是正交矩阵,Green应变张量E,第二个运动度量D，称为速度应变,是变形的率度量,定义速度梯度,3 应变度量,变形率张量

16、D,速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为,令,变形率(对称),转动(反对称),二阶张量或方阵的标准分解：以上面的方式，任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和,所以,没有变形，转动张量和角速度张量相等：W。由速度梯度定义，在刚体运动中变形率D0，所以LW，积分,其中xT和vT是积分常数，对比刚体动力学公式：,得到,在刚体转动中，转动和角速度张量是相同的。当刚体除了转动之外还有变形时，转动张量一般区别于角速度张量。,3 应变度量,变形率张量D,变形率是微小材料线段长度的平方的变化率度量,证明在刚体运动中变形率D0,3 应变度量,变形率张量D,3 应变度量,变形率的Gree

17、n应变率形式,将变形率与Green应变张量的率联系起来，首先得到速度场的材料梯度，并通过链规则表示为空间梯度的形式,取变形梯度 的材料时间导数,应用链规则展开恒等式,得到,代入上面公式，有,3 应变度量,变形率的Green应变率形式,将变形率与Green应变张量的率联系起来,将变形率D前面点积FT，后面点积F，得到,这两种度量是看待相同过程的两种方式：Green应变率是在参考构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的。两种形式的性质的区别是，在例3.7中将会看到Green应变率对时间积分是与路径无关的，而变形率对时间积分是与路径有关的。,逆变换得到,前推运算,后拉运算,例3.5 拉伸和转动联合作

18、用下的应变度量,考虑运动,其中a和b是正常数。计算作为时间函数的变形梯度F，Green应变和变形率张量，并验证在t0与t1时的值。定义,计算变形梯度F,以上变形包括同时沿着X和Y轴材料线的拉伸和单元转动。在任何时刻在单元中的变形梯度是常数，应变度量也是常数。得到Green应变张量，由公式给出F，这样得到：,得到Green应变张量,当t0时，有xX和E0，,计算变形率，先获得速度，取运动的材料时间导数,在t0时，xX，yY，c1，s0，AB1，速度梯度在t0时为,例3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量,为了确定变形率的时间历史，计算变形梯度的时间导数和逆,等式右边的第一项是变形率，因为它是速度

19、梯度的对称部分，而第二项是转动，它是反对称部分。变形率在t1时给出为,因此，当在中间步骤中，剪切速度应变是非零的，在t1时刻的构形中只有伸长的速度应变是非零的。当t1时刻的Green应变率通过对变形率后拉运算给出,例3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量,一个单元经历了图示的变形阶段。在这些阶段之间的运动是时间的线性函数。计算每一阶段的变形率张量D，对于回到未变形构形的整个变形循环，获得变形率的时间积分。,例3.7 计算变形率的时间积分,假定变形的每个阶段都发生在一个单位时间间隔内。时间标定与结果无关，从构形1到构形2的运动为：,确定变形梯度,得到速度梯度和变形率为,例3.7 计算变形率的时间

20、积分,这样，变形率就是一个纯剪切，即两个拉伸分量都为零。由公式(3.3.5)得到Green应变为：,比较上面两式，E22非零，而D220，当a为小量时，E22也小。,从构形2到构形3剪切与y向拉伸的联合运动：,例3.7 计算变形率的时间积分,从构形3到构形4纯剪切运动：,从构形4到构形5y向拉伸（压缩）运动：,在构形5中的Green应变为零，因为在t=4时的变形梯度是单位张量，FI。变形率对时间的积分给出为,例3.7 计算变形率的时间积分,变形率在回到初始构形结束的整个循环上的积分不为零。这个问题的最后构形对应于未变形构形，所以应变的度量应该为零，变形率的积分不为零，变形率的积分是路径相关的。

21、对于第5章描述的次弹性材料，这是一个重要的诠释。它同时也暗示变形率的积分不是整个应变的一个很好的度量。必须注意到D在一个循环上的积分结果是表征变形的二阶常数，所以只要这些常数非常小，误差是可以忽略不计的。Green应变率在任何闭合循环上的积分等于零，因为它是Green应变E的时间导数。换句话说，Green应变率的积分是路径无关的。,4 应力度量,1 Cauchy应力，2 名义应力张量，P3 PK2应力张量，S,法向矢量通常在左边,以Cauchy应力的形式表示面力，称为Cauchy定理，或者Cauchy假定。它包括当前表面的法线和面力（每单位面积上的力），称为物理应力或真实应力。例如，Cauch

22、y应力的迹，,这是流体力学中普遍使用的真实压力p。应力度量P和S的迹没有给出真实压力，因为它们参考未变形的面积。使用约定，在拉伸中Cauchy应力的法向分量为正，由公式，在压缩时压力是正的。在角动量守恒中将看到，Cauchy应力张量是对称的，即T。,4 应力度量,1 Cauchy应力，2 名义应力张量，P3 PK2应力张量，S,4 应力度量,名义应力P表示是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，它的定义类似于Cauchy应力的定义。名义应力是非对称的。名义应力的转置称作为PK1(第一Piola-Kirchhoff)应力。,PK2应力为对称的，它和Green应变率在功率上是共轭的。PK2应力被

23、广泛应用于路径无关材料，如橡胶(势能）。,在Nanson关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来,为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以Cauchy应力的形式建立名义应力的表达式。,通过Nanson关系,4 应力度量,由于上式对于任意的n0都成立，所以有,对于任意的n0都成立，有,作矩阵变换,从公式可以看到，PPT(FFT)，即名义应力张量是非对称的。,Cauchy应力，PK2应力，名义应力的关系,后拉,前推,参考构形,S和之间的关系，只依赖于变形梯度F和J行列式Jdet(F)只要变形已知，应力状态总能够表示为、P或者S的形式。可以看出，如果Cauchy应力对称，那么S也是对称：S

24、ST。,在物体中的每个点都构造了一个坐标系。这个坐标系随着材料或单元一起转动。通过将这些张量表达在一个随材料而转动的坐标系中，很容易处理结构单元和各向异性材料。,旋转应力和变形率,4 应力度量,在旋转方法中，用基矢量,变形率也表示为其旋转分量的形式，,它可以从总体分量中得到，也可以直接从速度场中得到。,4 应力度量,旋转应力和变形率,变形率也可以表示为旋转分量,事实上，速度v的正确梯度是,旋转方法经常迷惑一些有经验的力学工作者，他们把它解释为一种用基矢量,的曲线坐标系统，是x的函数，从而会给出一个矢量,错误地认为速度v的梯度是,每个点可能有不同的旋转系统,旋转Cauchy应力和旋转变形率定义为

25、,4 应力度量,旋转应力和变形率,旋转Cauchy应力张量与Cauchy应力是同一个张量，但是它被表示为随材料而转动的坐标系的分量形式。严格的讲，一个张量不依赖于表示它的分量的坐标系。,“戴帽子”的那个坐标系是随着材料（或单元）运动的，有限元中一般定义三套坐标系统：总体，单元，节点,例3.8 平面问题,设给定初始状态的Cauchy应力和运动形式为,应力嵌入在材料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动，,计算初始构形以及t/2时构形的PK2应力，名义应力和旋转应力。,在初始状态，FI，有,在t/2时的变形构形中，变形梯度给出为,4 应力度量,例：平面问题,因为应力是嵌入在材料中，在转动t/2构形中

26、的应力状态为,由于这个问题中的映射为纯刚体转动，RF，所以当t/2时,在纯转动中，PK2应力是不变的；PK2应力行为好像是被嵌入在材料中。材料坐标随着材料转动，而PK2应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联。,5 守恒方程,如果,知识准备,是C1连续的，且对于,的任何子域有,那么在上，对于任何,有,1.质量守恒2.线动量守恒，常称为动量守恒3.能量守恒4.角动量守恒,5 守恒方程,1 质量守恒,质量守恒要求任意材料域的质量为常数，没有穿过材料域的边界，不考虑质量到能量的转化。根据能量守恒原理，m()的材料时间导数为零，即,材料域的质量为,对上式应用Reynold转换定理得到,由于上式对于任意的

27、子域都成立，可以得到,质量守恒方程，称其为连续性方程，是一阶偏微分方程。,5 守恒方程,Reynold转换定理,一个积分的材料时间导数是在材料域上积分的变化率。材料域随着材料而运动，在边界上的材料点始终保持在边界上，且不发生质量流动跨过边界。材料域类似于Lagrangian网格；对于材料时间导数的各种积分形式称为Reynold转换定理。,将右边的两个积分转换到参考域上,t是同一材料点在t时刻所占据的空间域。,积分域经过这种变换，f 成为材料坐标的函数。,积分域现在是时间独立，将极限运算拉入积分内进行，取极限得到,5 守恒方程,1 质量守恒,独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是材

28、料时间导数,将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为Eulerian描述，给出,Reynold转换定理一种形式,5 守恒方程,1 质量守恒,Reynold转换定理另一种形式,对上式右边的第二项应用Gauss定理,质量守恒方程,质量守恒方程的几种特殊形式,5 守恒方程,(1)当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零,即速度场的散度为零,(2)对于Lagrangian描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程,将上式左边的积分转换到参考域,代数方程常常应用于Lagrangian网格中以保证质量守恒(固体力学),在Eulerian网格中质量守恒的代数形式不能应用，通过偏微分方程，即连

29、续性方程保证质量守恒(流体力学)。,5 守恒方程,2 线动量守恒,从线动量守恒原理得出的方程是非线性有限元程序中的一个关键方程。线动量守恒等价于Newton第二运动定律，它将作用在物体上的力与它的加速度联系起来。这个原理通常称为动量守恒原理，或动量平衡原理。,称为动量方程；也称为线动量平衡方程。左边的项代表动量的变化，称为惯性或运动项。根据应力场的散度，右边的第一项是每单位体积的净合内力。这种形式的动量方程均适用于Lagrangian格式和Eulerian格式。,平衡方程,平衡过程是静态的,荷载缓慢施加到物体上，不包括加速度。,动量和平衡方程都是张量方程,代表了NSD个标量方程。,5 守恒方程

30、,3 角动量守恒,用位置矢量x叉乘相应的线动量原理中每一项，得到角动量守恒的积分形式,式中,角动量守恒方程要求Cauchy应力为对称张量。所以，在二维问题中Cauchy应力张量代表着3个不同的相关变量，在三维问题中为6个。当使用Cauchy应力时，角动量守恒不会产生任何附加的方程。,4 能量守恒,5 守恒方程,考虑热力学过程，仅有的能量源为机械功和热量。能量守恒原理，即能量平衡原理，说明整个能量的变化率等于体力和面力做的功加上由热流量和其它热源传送到物体中的热能。每单位体积的内能用wint表示，其中wint是每单位质量的内能。每单位面积的热流用矢量q表示，其量纲是功率除以面积，每单位体积的热源

31、用s表示。能量守恒则要求在物体中总能量的变化率，包括内能和动能，等于所施加的力和在物体中由热传导和任何热源产生的能量的功率。,5 守恒方程,4 能量守恒,在域内由体积力,和在表面上由面力做的功率为,在物体中总能量的变化率为,由热源s和热流q提供的功率为,其中热流一项的符号是负的，因为正的热流是向物体外面流出的,能量守恒,5 守恒方程,4 能量守恒,即物体内总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力的功率和由热流及热能源提供的功率。这是已知的热力学第一定律。内能的支配依赖于材料。在弹性材料中，它以内部弹性能的形式存储起来，并在卸载后完全恢复；在弹塑性材料中，部分内能转化为热，部分由于材料内部结构的

32、变化而耗散了。,应用Reynold定理将求导数移入积分内，然后将面积分转换为域积分,5 守恒方程,4 能量守恒,将Cauchy定律和Gauss定理应用于面力边界积分，得到,代入能量守恒公式，对热流积分应用Gauss定理，并整理各项得到,动量方程,为0,5 守恒方程,4 能量守恒,由域的任意性,得到能量守恒的偏微分方程,当没有热流和热源时，即为一个纯机械过程，能量方程成为,这不再是一个偏微分方程，它以应力和应变率度量的形式，定义了给予物体单位体积的能量变化率；称为内能变化率或内部功率。由变形率和Cauchy应力的缩并给出内部功率。变形率和Cauchy应力在功率上是耦合的。功率上的耦合有助于弱形式

33、的建立：在功率上耦合的应力和应变率的度量可以用于构造虚功原理或虚功率原理，即动量方程的弱形式。在功率上耦合的变量也可以说在功或者能量上是耦合的，但是常常使用功率耦合的说法，因为它更加准确。,5 守恒方程,6 Lagrangian守恒方程,以应力和应变的Lagrangian度量形式，在参考构形中直接建立守恒方程是有益的。在连续介质力学的文献中，这些公式称为Lagrangian描述，而在有限元的文献中，这些公式称为完全的Lagrangian格式。对于完全的Lagrangian格式，总是使用Lagrangian网格。在Lagrangian框架中的守恒方程与刚刚建立的守恒方程基本上是一致的；它们只是以

34、不同的变量表示。实际上将看到，可以通过框3.2中的转换关系和链规则得到它们。,6 Lagrangian守恒方程,在完全的Lagrangian格式中，独立变量是材料坐标X和时间t。主要的相关变量是初始密度0(X，t)，位移u(X，t)以及应力和应变的Lagrangian度量。使用名义应力P(X，t)作为应力的度量。这导致动量方程与Eulerian描述的动量方程(3.5.33)惊人的相似，所以非常容易记忆。变形将通过变形梯度F(X，t)描述。对于构造本构方程，使用成对的P和F不是特别有用的，因为F在刚体运动中不为零，而P是不对称的。因此，本构方程通常表示为PK2应力S和Green应变E的形式。然而

35、，通过框3.2中的转换关系，S和E之间的关系可以很容易的转换为P和E之间的关系。,6 Lagrangian守恒方程,7 极分解和框架不变性,目的是探讨刚体转动的作用：表述极分解定理，该定理能够从任何运动中得到刚体转动。考虑刚体转动对于本构方程的影响。证明对于Cauchy应力，需要对时间导数进行修改建立率本构方程。这就是框架不变性或者应力的客观率。表述三种框架不变率：Jaumann率。Truesdell率和GreenNaghdi率。展示了由于次弹性本构方程和这些不同变化率的错误应用，在结果中的惊人误差。,极分解定理,7 极分解和框架不变性,在大变形问题中，阐明转动作用的基本原理就是极分解定理。这

36、个定理表述为，任何变形梯度张量F可以乘法分解为一个正交矩阵R和一个对称张量U的乘积，称U为右伸长张量(先伸长再转动)。,物体的任何运动包括一个变形，由对称映射U表示，和一个刚体转动R；所有的正交变换都是转动。在这个方程中没有出现刚体平动，因为dx和dX分别是在当前和参考构形中的微分线段，而且微分线段的映射不受平动的影响。如果将方程积分得到x(X,t)的形式，那么刚体平动将作为一个积分常数出现。在刚体平动中，FI，和dxdX。,其中,有,7 极分解和框架不变性,极分解定理证明,得到,右边总是一个正矩阵，所以矩阵U的所有特征值总是正值，故U的逆矩阵存在,矩阵U与工程应变联系得非常紧密。它的主值是在

37、矩阵U的主方向上线段的伸长。其吸引人之处在于建立本构方程。张量UI 称为Biot应变张量。,一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的形式,称V为左伸长张量（先转动再伸长）。,7 极分解和框架不变性,通过极分解定理分别求在t1.0 和 t0.5 时的刚体转动和伸长张量,考虑三角形单元的运动，其中节点坐标xI(t)和yI(t)分别为,例3.10,在面积坐标的形式下，运动描述为,7 极分解和框架不变性,将面积坐标表示为材料坐标，t=1时刻,变形梯度,伸长张量U,例3.10,7 极分解和框架不变性,转动矩阵R,这个转动是一个逆时针90的旋转,这个变形包含节点1和3之间线段的伸长，放大系数为2（U

38、11），和节点3和2之间线段的缩短，放大系数为0.5（见U22），导致沿x方向发生平移3a和90的旋转,在式(E3.10.1)中取t1所表示的运动,例3.10,7 极分解和框架不变性,客观率,考虑率本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律,Cauchy应力张量为什么需要客观率？,本构方程有效吗？,7 极分解和框架不变性,客观率,回答是否定的，考虑图中的杆，在初始构形中所受的应力为x0。现在假设杆以恒定长度转动，所以不存在变形，即D0。回顾在刚体运动中初始应力（或预应力）嵌入在固体中的状态，即在刚体转动中没有发生变形，观察者所看到的随着物体运动的应力（在单元坐标系中）也不应该变

39、化。在固定坐标系下，Cauchy应力的分量在转动中将发生变化，所以应力的材料导数必须是非零的。但是，对于纯刚体转动，在整个运动过程中公式的右边将为零，因为已经证明了在刚体运动中变形率为零。因此，在公式中一定是漏掉了什么东西：D0，但是D/Dt不应该为零！,公式的不足在于它不能解释材料的转动。通过应力张量的客观率可以解释材料的转动；称为框架不变率。考虑三种客观率：Jaumann率，Truesdell率，GreenNaghdi率。框架不变性的核心是应力的(变化)材料导数不受刚体位移的影响。所有这些都应用于当前的有限元软件中，如ABAQUS。还有许多其它的客观率将在后面讨论。,7 极分解和框架不变性

40、,客观率,黄先生书描述固体本构大变形给出3种定义：1 SO(Simo-Ortiz)定义来自于GreenNaghdi率本构模型，只不过将后者从参考构型前推到卸载构形(令温度和结构不变，应力全部卸除后的残余变形，也称为中间构形)和当前构型；MOS(Moran-Ortiz-Shih)本构理论来自于Jaumann率，将变形张量分解为对称(平动)和反对称部分(转动)。在中间构形建立本构关系，把中间构形中的Green应变率定义为弹性变形率D，dE/dtD既反映了当前构形、也反映了中间构形的变化。RH(Rice-Hill)与SO的差别是不分别定义Green应变的弹性和塑性部分，而是分解Green应变率为弹性

41、和塑性部分。Cauchy应力与Jaumann率构成ABAQUS的核心部分。,7 极分解和框架不变性,客观率,Cauchy应力的Jaumann率,7 极分解和框架不变性,一个适当的次弹性本构方程给出为,Cauchy应力张量的材料率,材料响应被指定为一个客观应力率的形式，这里是Jaumann率。Cauchy应力的材料导数由两部分组成：由于材料响应的变化率，反映在客观率中，和由于转动的应力变化，对应于公式中的最后两项。Jaumann率的核心是扣除由转动引起的应力变化，仅为变形引起的应力，应力的客观性是指应力不受坐标变化的影响。,小变形,大变形,7 极分解和框架不变性,7 极分解和框架不变性,例3.1

42、2,考虑一个物体在xy平面内以角速度绕原点转动，原始构形如图。运动为刚体转动。使用Jaumann率计算Cauchy应力的材料时间导数，并将其积分得到关于时间函数的Cauchy应力。,7 极分解和框架不变性,通过速度梯度L的形式计算转动,基于Jaumann率的材料时间导数给出为（刚体转动D0）,材料时间导数改变为普通导数,例3.12,7 极分解和框架不变性,可见，Cauchy应力的材料时间导数是对称的，三个普通微分方程为,初始条件为,微分方程的解为,验证解的正确性,例3.12,7 极分解和框架不变性,这个解答对应于旋转应力,的恒定状态，如果我们使旋转应力给出为,微分方程的解为,公式给出了在整体坐

43、标系下的Cauchy应力分量,t=0,t=90o,可见，应力的变化不受刚体位移的影响，保证了客观性。,例3.12,在刚体运动中初始应力（或预应力）嵌入在固体中，即在刚体转动中由于变形没有发生变化，观察者所看到的随着物体运动的应力也不应该变化。单元坐标系：在刚体转动中，Jaumann率改变着Cauchy应力，从而使旋转应力保持为常数。所以常常称Jaumann率为Cauchy应力的旋转率。在刚体转动中，Truesdell，Jaumann，GreenNaghdi和旋转应力率是一致的。,在刚体转动中，Jaumann率的作用：在固定坐标系中保证Cauchy应力的分量在转动中发生变化，应力的材料时间导数非

44、零；在旋转坐标系中保证Jaumann率改变着Cauchy应力，从而使旋转应力保持为常数。核心作用是应力变化不受刚体位移的影响,7 极分解和框架不变性,例3.13,7 极分解和框架不变性,考虑处于剪切状态的一个单元，如图所示。对于次弹性各向同性材料，应用Jaumann，Truesdell和GreenNaghdi率求出剪切应力,路径无关的程度作为评价材料弹性模量的度量。次弹性材料是路径无关程度最弱的，应力路径无关，能量不是路径无关，遵从Cauchy弹性。,对于不同客观率采用了相同的材料常数，其差别是非常大的。事实上，这是误用了材料模型。材料模型必须根据不同的率转换。这是变形体，若是刚体转动，D0，Jaumann率与Truesdell率是一致的。见公式(3.7.13),7 极分解和框架不变性,例3.13,框架不变性的核心是应力的（变化）材料导数不受刚体位移的影响。Cauchy应力的一个客观率，与在材料率中已考虑转动的应力场的变化率在瞬时上是一致的。因此，如果采用随材料转动的应力度量，例如旋转应力或PK2应力，则我们可以得到一个客观应力率。这不是建立客观率的最一般的框架。对于彼此相对转动的观察者所观察到的应力率必须是不变的，在应用某种客观性的意义上提供了一般的框架。,7 极分解和框架不变性,