清华大学计算固体力学第七次课件ALE公式.ppt

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1、非线性有限元第7章 任意的Lagrangian和Eulerian公式,计算固体力学,第7章 任意的Lagrangian和Eulerian公式,引言ALE连续介质力学ALE守恒规则ALE控制方程弱形式网格更新算法Petrov-Galerkin方法,1 引言,解决：在发生严重大变形的模拟中，重新划分网格是不可避免的，工作量大，而且由于网格投影引入了误差。,提出：许多问题应用Lagrangian网格不能有效地解决。问题：当材料严重变形时，Lagrangian单元同样发生严重的扭曲，因为它们随材料一起变形，从而恶化了这些单元的近似精度，特别是对于高阶单元。因此，在积分点的Jacobian行列式可能成为

2、负值，从而使计算中止或者引起严重的局部误差。此外，也恶化了线性化牛顿方程的条件，并且显式稳定时间步长明显地下降。,一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻(和单元)随着变形。一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻不变形，而材料横穿过网格。,1 引言,Lagrangian网格，材料点与网格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲。,解决方法：ALE网格(Arbitrary Lagrangian Eulerian)节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网格扭曲最小化。,1 引

3、言,1 引言,Mesh adaptivity is based on solution variables as well as minimum element distortion Elements concentrate in areas where they are needed Adaptation is based on boundary curvature,Deformation of a rubber seal,Initial configuration,1 引言,在某些问题中，Lagrangian方法是根本不适用的。例如，对于高速流动的流体力学问题，如围绕机翼的区域，喷射等。在

4、Eulerian有限元中，网格与物质是相互独立的，网格在空间上是固定的，材料从网格中流过。这样Eulerian有限元不会随着材料运动而扭曲；但是，由于材料通过单元对流，本构方程的处理和更新是复杂的。,应用Eulerian单元处理移动边界和相互作用问题是困难的，因此，发展了ALE。,2 ALE连续介质力学,材料坐标与空间坐标,空间坐标与ALE坐标,在Lagrangian、Eulerian和ALE域之间的映射,ALE坐标（参考）,ALE坐标与材料坐标,相对运动关系,2 ALE连续介质力学,在ALE算法中，网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。,网格位移,网格速度,网格加速度,ALE网格的加速度和

5、速度没有任何物理意义。当网格是Lagrangian 时，它们对应于材料速度和加速度。,定义传递速度 c，作为材料速度和网格速度之间的差,c0，为L格式；cv，()为E格式。,2 ALE连续介质力学,考虑一个指定的函数,为ALE坐标 和时间t 的函数,参考质点速度w,材料速度和网格速度的差,对于材料速度,2 ALE连续介质力学,利用空间梯度建立材料时间导数的表达式,代入,f 若代表是速度，上式为加速度,坐标之间的转换关系见例7.1。,(7.2.17),3 ALE守恒规则,守恒规则，在形式上与在第3章Eulerian描述中的那些几乎相同，唯一的修改是用材料时间导数的ALE形式(7.2.17)代替所

6、有的材料时间导数，其结果是在更新的L格式中的Eulerian描述和ALE描述之间的唯一区别是材料时间导数项。,与在第4章中建立的Lagrangian格式的主要区别是，现在需要以偏微分方程(即连续方程)的形式考虑质量守恒方程，因为域随时间变化，质量亦随时间变化。,因此，我们几乎总是在处理两个系统的偏微分方程：标量连续方程和向量动量方程。当它们与热交换或者其它能量转换耦合时，还必须包括能量方程。,4 ALE控制方程,连续方程(质量守恒),或者,动量方程,能量方程,自然边界条件,在 上,在 上,基本位移边界,在 上,在 上,初始条件,5 弱形式,有限元近似,对于单元e，ALE坐标给出为,单元e坐标,

7、网格运动给出为,节点的运动,这代表两个映射复合：从母单元到ALE的映射和网格运动的映射,网格速度为,节点I 的网格速度,Lagrangian、Eulerian、ALE和自然坐标域之间的映射,5 弱形式,有限元近似,即单元坐标、网格坐标、空间坐标和材料坐标之间的映射,5 弱形式,有限元近似,在ALE格式中，密度也是一个非独立变量。密度被近似为,密度的形状函数，可能不同于网格运动的形状函数,速度的材料时间导数,在离散运动方程中的动力学项将以网格加速度v,t表示，通过积分和插值，给出材料速度为,应用类似的插值，得到传递速度为,5 弱形式,有限元近似,由传递速度公式,得到,材料速度的ALE时间导数,结

8、论是，在弱形式中的材料速度的时间导数为,对于密度的材料时间导数，应用同样的过程，给出,5 弱形式,有限元矩阵,连续方程,容量、转换和散度矩阵分别为,动量方程,M和L分别是广义质量和传递矩阵，对应于在参考构形下的速度,5 弱形式,有限元矩阵,动量方程,注意到除了它们是以变分形状函数的形式定义之外，内部和外部节点力与更新的Lagrangian格式（框4.3）中的对应项是一致的。质量矩阵不是时间的常量，因为密度和域随时间变化。,6 网格更新算法,在ALE中，网格可以任意移动给出了大变形的可能性。通过ALE移动边界（指物理表面）能够利用Lagrangian的精确特性来循迹，内部网格也可以移动以避免过渡

9、的单元扭曲。然而这需要一种有效的算法来更新网格，即网格速度 必须给定，以避免网格扭曲和保证边界和接触面至少局部地保持Lagrangian。,对应于域边界在每一时刻均已知的分析，预先给定网格运动。当域边界有一个已知的运动时，网格随这一边界的运动可以预先给定。,6 网格更新算法,建立材料和网格速度的关系，只有给定其中一个，自动确定另一个,1 如果给定,，可以计算位移 和加速度。,应用显式积分算法和中心差分算法，而不需要计算相对速度w。,2 如果 未知，给定了 w，在更新网格前求解上式计算。,发展ALE的核心问题是给定这些速度的最佳选择和更新网格的算法。,3 给定 和 w 的分量形式，混合算法。,当

10、域边界有一个已知的运动时，网格随这一边界的运动可以预先给定。,6 网格更新算法,2.Lagrange-Euler 矩阵方法，任意定义相对速度（参考）,Lagrange-Euler 参数矩阵,如果，则，可以是时间和空间的函数。,由上式，相对速度是材料速度的线性函数，,如果，则，Lagrangian网格描述。,如果，则，Eulerian网格描述。,6 网格更新算法,由传递速度和相对速度,得到,在参考域边界上必须满足后一个方程。得到一个网格再分区的基本方程：,在二维情况下的显式格式如下：,问：,或,分别对应什么格式？,6 网格更新算法,带有网格更新的ALE技术基于L-E参数，对表面波动问题是非常有用

11、的。我们假设自由表面相对于总体坐标是有导向的，曲面方程可以写为,欧拉坐标用于 方向，,自由表面通过一个空间坐标定义，它对其余两个空间坐标和时间是连续可微的函数，L-E矩阵只有一个非零项,一般等于1,称为累计率函数，表示在自由表面得到或失去的质量。,自由表面是物质表面；沿着表面累计率必须为零；所以 等于1,6 网格更新算法,在贮箱内的液体晃动,自由表面的液体晃动,Coupled equations,Free surface,Fluid-structure interface,Sf,Sw,1 On Sw:the geometrical compatibility conditions(slippi

12、ng boundary condition)are applied:,2 On Sw:the equilibrium conditions are applied:,6 网格更新算法,Elephant foot bulging(EFB)Diamond shape bulging(DSB),流体/结构耦合分析,6 网格更新算法,流体/结构耦合分析,程序平台：ABAQUS/用户单元附加质量,例：动力作用下的液体贮箱,Elephant foot bulging Diamond shape bulging,EFB and DSB,EFB and DSB,6 网格更新算法,程序平台：ABAQUS/ALE

13、流体单元,例2：动力作用下的液体贮箱,Elephant foot bulging,Deformation between test data and FEM by added mass and ALE,流体/结构耦合分析,6 网格更新算法,6 网格更新算法,由于 方法对表面的单元跟踪很好，但是很难保证流体域内部的单元扭曲。由于这个缺点，引入了一种混和方法，变形梯度法，一旦边界已知，通过给定网格的位移或者速度，避免单元缠结和扭曲。,3.变形梯度法混合算法,由于网格位移和速度直接控制单元的形状，沿着域边界给定，在内部给定节点位移或者速度，混合算法。,ALE网格，边界处，Lagrangian化；在内

14、部，Eulerian化。,作为一个使用修正的弹性方程的ALE网格更新的例子，考虑一个位于一个矩形流体域中的圆柱绕流的有限元网格。在圆柱沿着y方向移动了一个位移0.25w后的网格见图b。矩形域的边界保持固定。由图可见，圆柱附近的网格精度在更新后的网格中得以保持，并且无明显的单元扭曲发生。,网格更新的例子,6 网格更新算法,7 Petrov-Galerkin方法,伽辽金(Galerkin)方法，是利用满足位移和应力边界条件的函数寻求积分方程的解答。,关键问题是增加粘性，消除不稳定项，保证数值稳定性。,建立Petrov-Galerkin方法的迎风流线(Streamline Upwind Petrov

15、-GalerkinSUPG)公式。对流扩散方程是一个有用的方法，它对应于动量方程的线性化。对于离散的稳态对流扩散方程，将得到闭合解答。将证明当网格参数(已知的Peclet数)超过临界值时，这个解答在空间是振荡的。通过建立P-G方法以消除这些振荡，即纠正不稳定性。,在一维中，离散方程类似于标准迎风方程。然而在多维中，它们提供了沿着流线引导迎风项的一致理论框架。,迎风格式的基本思想：当用差分方程求解偏微分方程时，利用特征线方向一侧的单边差商来代替空间偏导数。目的是保证数值稳定性。如一阶线性常系数双曲型方程：,7 Petrov-Galerkin方法,在特征线方向一侧的单边差商来代替偏导数，迎风格式为

16、：,n,j,j+1,n,j,j+1,中心差分格式需要加入非线性人工粘性项以去掉激波前振荡，同时加入线性数值粘性项以确保计算稳定。迎风格式依据Euler方程中波传播的信息构造格式，无需添加人工粘性项，迎风格式为空间差分格式(偏心差分格式)，理论上比中心差分格式扎实。,7 Petrov-Galerkin方法,如果差分格式(所用的网格点)与微分方程的特征线方向一致，那么网格比 在满足一定条件下是稳定的，否则，差分格式是不稳定的。,双曲线型微分方程的特征线存在交叉，导数不连续。,7 Petrov-Galerkin方法,稳态线性对流扩散方程为,运动粘度,给定速度,对于一维问题，偏微分方程成为常微分方程,

17、应用边界条件,这是在0 xL 域上的两点边值问题，容易证明公式的精确解答是,空间非独立变量,7 Petrov-Galerkin方法,应用线性形状函数建立Galerkin离散，并在全域上积分,变分函数,分部积分并且应用散度原理，对流扩散方程的弱形式是,将域（0，L）划分成相同尺寸的单元,在每个单元上的离散方程给出为,有限元的形状函数,对于第j个节点的内部方程为,7 Petrov-Galerkin方法,上式恰好是中心差分方程，可以方便地重写成为,1 如果Peclet数小于1，,则离散解答是类似于精确解答；,2 如果Peclet数大于1，,则离散解答是正或者负而振荡。,这种不稳定是数值离散的空间不稳定。,Peclet数,精确解,离散解,将上式中的变分函数重写为,式中,选择 是为了消除振荡，期望得到精确解。,如,简化成为中心差分方法,是一个完全的迎风公式,7 Petrov-Galerkin方法,应用线性形状函数建立Galerkin离散，并在全域上积分,逆P-G项,G项,总结,ALE网格，调整网格运动的相对速度。边界处，Lagrangian化；在内部，Eulerian化；稳定性，增加粘性。,