gs31多元函数的偏导数.ppt

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1、13多元函数的偏导数,在二元函数 z=f(x,y)中,有两个自变量 x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y=y0,而让 x 变化.,则 z 成为一元函数 z=f(x,y0),我们可用讨论一元,函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.,一、偏导数的定义,设 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)的某邻域 U(X0)内有定义.固定 y=y0,在 x0 给 x 以增量 x.相应函数增量记作,称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.,定义,则称这个极限值为 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x 的偏导数.,即,此时也称 f(x,y)在(x0,y0)处对x 的偏导数存在.否则称f(

2、x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.,类似,若固定 x=x0,而让 y 变,z=f(x0,y)成为 y 的一元函数.,则称它为z=f(x,y)在(x0,y0)处对 y 的偏导数.,即,若 z=f(x,y)在区域 D 内每一点(x,y)处时x的偏导数都存在,即(x,y)D,存在.,此时,它是 x,y的二元函数.称为 z 对 x 的偏导函数.简称偏导数.,类似定义 z 对 y 的偏导函数.,1.由偏导数定义知,所谓 f(x,y)对x 的偏导数,就是将 y 看作常数,将 f(x,y)看作一元函数来定义的.,注,因此,在实际计算时,求 f x(x,y)时,只须将 y 看作常数,用一元函数求导

3、公式求即可.,求 f y(x,y)时,只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,2.f x(x0,y0)就是 f x(x,y)在点(x0,y0)的值.,算 f x(x0,y0),可用3种方法.,f y(x0,y0),f y(x,y),f y(x0,y0),(1)用定义算.,(2)先算 f x(x,y),再算 f x(x0,y0),f y(x,y),f y(x0,y0).,(3)先算 f(x,y0),再算 f x(x,y0)再算 f x(x0,y0),f(x0,y),f y(x0,y),f y(x0,y0).,例1.,解:,或 f(x,2)=x2+6x+4,f x(x,2)=2x+6,故

4、 f x(1,2)=2+6=8.,例2.,解:,例3.,解:,偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.,比如,设 u=f(x,y,z).,它的求法,就是将 y,z 均看作常数来求即可.,例4.,解:,由一元函数的导数的几何意义,可以得到偏导数的几何意义.,设 z=f(x,y)在点 X0=(x0,y0),处的偏导存在,记 z0=f(x0,y0).点M0(x0,y0,z0)则,二、偏导数的几何意义,f x(x0,y0)就是以平面 y=y0与曲面z=f(x,y)相截,得到截线 1.,1 上点 M0(x0,y0,z0)处切线,对 x 轴的斜率.,而 f y(x0,y0)就是以就是以平面 x=x0与曲面

5、z=f(x,y)相截,得到截线 2.,2 上点 M0(x0,y0,z0),处切线对 y 轴的斜率.,故只须搞清一元函数 f(x,y0)的几何意义.就可得到 f x(x0,y0)的几何意义.,以平面 y=y0与曲面z=f(x,y)相截,得截线,1:,z=f(x,y),y=y0,也就是 z=f(x,y0).,且 M0(x0,y0,z0)在 1 上.,即 z=f(x,y0)表示平面 y=y0与曲面 z=f(x,y)的交线1.,z=f(x,y0)上点M0处的切线对 x的斜率.,如图,即 f x(x0,y0)表示 y=y0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.,类似得 f y(x0

6、,y0)的几何意义.,如图,即 f y(x0,y0)表示 x=x0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.,在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用.,即,对多元函数 f(X)而言,即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证 f(X)在 X0 连续.,三、偏导与连续的关系,例5.设,证明z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.,证:,前边已证 z=f(x,y)在(0,0)的极限不存在,因此它在(0,0)不连续.,=0,=0,故 z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.,下证 z=f(x,y)在(0

7、,0)的两个偏导都存在.,从几何上看,f x(x0,y0)存在.只保证了一元函数 f(x,y0)在 x0 连续.,也即 y=y0 与 z=f(x,y)的截线 1 在 M0=(x0,y0,z0)是连续的.,同理,f y(x0,y0)存在.只保证了x=x0 与 z=f(x,y)的截线 2 在 M0连续.,但都不能保证曲面 z=f(x,y)在 M0连续.,换句话说,当 X 从任何方向,沿任何曲线趋于X0时,f(X)的极限都是 f(X0).,显然,上边两个条件都不能保证它成立.,例.,易知,f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为0.,但它在(0,0)不连续.,如图,14多元函数的微分,一般说来

8、,算这个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式.,该近似公式应满足(1)好算.(2)有起码的精度.,在实际中,常需计算当两个自变量都改变时,二元函数 z=f(X)=f(x,y)的改变量 f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).,一、全微分的概念,类似一元函数的微分概念,引进记号和定义.,记 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).,=f(X+X)f(X0).,其中 X0=(x0,y0).X=(x,y),称为 z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)的全增量.,设 z=f(X)=f(x,y)在U(x0)内有定义.,若 z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量 z=f(x0+x,

9、y0+y)f(x0,y0)能表成,z=ax+by+0(|X|),其中a,b是只与x0,y0有关,而与x,y无关的常数.,定义,称 ax+by 为 z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分.,则称 z=f(x,y)在点(x0,y0)可微.,1.按定义,z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,注,2.若 z 在点 X0=(x0,y0)可微,即 z(ax+by)=0(|X|),3.若 z=f(x,y)在区域 D 内处处可微.则称 z=f(x,y)在 D 内可微.z 在(x,y)D 处的全微分记作 dz.,即 dz=a(x,y)x+b(x,y)y,它实际上是一个以 x,y,x,y为自变量的四元函数

10、.,对照一元函数的微分,z=f(x),若z=ax+0(x)则dz=ax=f(x)x.,自然会提出以下问题.,(1)若z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,微分式 dz=ax+by中系数 a,b 如何求,是否与z的偏导有关?,(2)在一元函数中,可微与可导是等价的.在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?,(3)在一元函数中,可微连续,对二元函数是否也对?,设 z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,要证 z 在(x0,y0)连续.,则 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0),令x 0,y 0,由最后一式知,z 0.,结论:对二元函数 z=f(x,y),z 在(x0,y0)可微(不是

11、存在两个偏导)z 在(x0,y0)连续.,若 z=f(x,y)在点 X=(x,y)处可微,则 z=f(x,y)在点(x,y)处两个偏导,证:因 z 在(x,y)处可微,由定义,z 的全增量.,此式对任何充分小的x,y 都成立.,且 z 在(x,y)处的全微分为,定理1,特别,当 y=0时,有,同除以 x(0),并令x 0.得,=a,定理1回答了问题1,并指出二元函数z=f(x,y),可微 存在两个偏导,反之不对.,右端式子也可写出.,可能不是全微分.,从而 z 不能写成定义中的形式,故不可微.,例1.,证明 z 在(0,0)处的两个偏导存在,但 z 在(0,0)不可微.,证:由偏导定义,=0,

12、=0,而,故 z 在(0,0)不可微.,若 z=f(X)=f(x,y)的两个偏导数f x(x,y),f y(x,y)在X0=(x0,y0)的某邻域 U(x0)内存在,且它们都在 X0=(x0,y0)连续,则 z=f(x,y)在(x0,y0)可微.,定理2,因 f x(x,y),f y(x,y)在U(x0)内存在.,证:,由偏导数的定义,以及一元函数可导与连续的关系知.,对于固定的 y,以x为自变量的一元函数 z=f(x,y),在该邻域所对应的 x 的区间上连续,可导.,从而它们都满足拉格朗日中值定理条件(在相应区间上).,以 y为自变量的一元函数 z=f(x,y)在该邻域所对应的 y 的区间上

13、连续,可导.,对于固定的 x,z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0),=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0+y)+f(x0,y0+y)f(x0,y0),在上式第一括号中,将 y0+y 固定.,则它是以 x 为自变量的一元函数 f(x,y0+y)在x0,x0+x上的改变量.,因 f(x,y0+y)在 x0,x0+x上满足拉格朗日中值定理条件,从而,取(x0+x,y0+y)U(X0),f(x0+x,y0+y)f(x0,y0+y),=f x(x0+1x,y0+y x,其中 011,同理 f(x0,y0+y)f(x0,y0)=f y(x0,y0+2y y,021,故 z=f x(x0+1x,

14、y0+y x+f x(x0,y0+2y y,因 f x(x,y),f y(x,y)都在(x0,y0)连续.,由极限与无穷小量的关系,其中 1 0,(x 0,y 0时),有,f x(x0+1x,y0+y)=f x(x0,y0)+1,有,f y(x0,y0+2y)=f y(x0,y0)+2,其中 2 0,(x 0,y 0时),因此,z=f x(x0,y0)x+f y(x0,y0)y+(1x+2y),由于 z=f x(x0+1x,y0+y x+f x(x0,y0+2y y,f x(x0+1x,y0+y)=f x(x0,y0)+1,易见,|1|+|2|0,(x 0,y 0时),由全微分的定义知,z=f

15、(x,y)在(x0,y0)可微.,即,在点 X 处雅可比向量(矩阵).也记作(z).,2.若 z=f(X)在区域 D 内有一阶连续偏导.则记 f(X)C1(D),3.和一元函数微分一样,自变量 x,y 的微分就等于它们的改变量,即 dx=x,dy=y.且记 dX=(dx,dy),最后一式表数量积.,4.全微分的概念可推广到三元以上的函数中去.,且,若 u=f(x,y,z)可微,则,因此,全微分公式可写为,例2.求 z=x2 cos xy 的全微分.,解:,故 dz=(2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydy,例3.求 z=exy 在点(2,1)处的全微分.,解:,故 dz=y

16、exydx+xexydy,例4.求 u=xyz 的全微分.,解:,故 du=yzxyz1 dx+zxyz lnxdy+yxyz lnxdy,=xyz1(yzdx+xzlnxdy+xylnxdy),设多元函数 f(X),g(X)在点 X 可微,则,(1)d(f(X)g(X)=df(X)dg(X),(2)d(kf(X)=kd f(X),k为常数.,(3)d(f(X)g(X)=g(X)d f(X)+f(X)dg(X),(4),其中,g(X)0.,定理3,设 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)的某邻域 U(X0)内存在偏导数 f x 和 f y,则对任意的X=(x,y)U(X0),至少

17、存在两点 X1=(1,1),X2=(2,2)U(X0),使得,证:回忆一元函数拉格朗日中值定理.,二、微分中值定理,定理4,由于f x 和 f y 在U(X0)内存在.而对于固定的 y,f(x,y)是以 x 为自变量的一元函数,在对应的 x 的区间上连续,可导.满足拉格朗日中值定理条件.,有,同理,其中,1介于x0,x 之间,2 介于 y0,y 之间.,记 1=y,2=x0,有,一般,若n元函数 z=f(X)在点X0 的某邻域 U(X0)内存在对各变量的偏导,则对任意的X=(x1,x2,xn)U(X0),存在 n 个点,设 z=f(X)=f(x,y)在闭区域DR2上连续,在开区域 D 内存在连

18、续偏导数 f x 和 f y.,若点 X0=(x0,y0),X1=(x1,y1)D,直线段,如图,使得,定理5,证:如图.,它与曲面 z=f(x,y)有蛟线.是平面上的曲线,对应的函数将满足拉格朗日中值定理条件,进而可证得结果.,平面(柱面)的方程:x=x0+tx,y=y0+ty.,即.,z=f(x0+tx,y0+ty)是t的一元函数.0 t 1.,记 F(t)=f(x0+tx,y0+ty),由条件 f(x,y)在D内有连续偏导,可得F(t)在0 t 1 内可导.,从而满足拉格朗日中值定理条件.,又F(1)=f(x0+x,y0+y)=f(x1,y1),F(0)=f(x0,y0),故,f(x1,y1)f(x0,y0)=F(1)F(0)=F().0 1.,又因 F(t)=f(x0+tx,y0+ty),从而 F(t)=f x(x0+tx,y0+ty)x,+f y(x0+tx,y0+ty)y,故 f(X1)f(X2)=f(x1,y1)f(x0,y0),=F(),=f x(x0+x,y0+y)x+f y(x0+x,y0+y)y,=f x(X2)(x1 x0)+f y(X2)(y1 y0),其中 0 1,x2=(x0+x,y0+y),利用定理5,易证,若D是开区域,z=f(x,y)在D内恒有 f x=f y=0.则 f(x,y)=常数.只须注意D是连通的,并逐次利用定理5即可.,