等差数列及其应用.ppt
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1、2023/7/6,1,等差数列及其应用,2023/7/6,2,目 录,一、等差数列,二、通项公式,三、等差数列求和,四、等差数列的应用,2023/7/6,3,是一队数列且相邻两项的差是一个固定的数,像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d表示。,2023/7/6,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,3,5,7,9,11,13.2,4,6,8,10,12,14 3,6,9,12,15,18,21.100,95,90,85,80,75,70.20,18,16,14,12,10,8.,2023/7/6,5,像这些数列就是几位等差数列。数列中,d=2-1=3-2=4
2、-3=1;数列中,d=3-1=5-3=13-11=2;数列中,d=4-2=6-4=8-6=.=2;数列中,d=6-3=9-6=21-18=3;数列中,d=100-95=95-90=75-70=5;数列中,d=20-18=18-16=10-8=2.,2023/7/6,6,例1下面的数列中,哪些是等差数列?若是,请指明公差,若不是,则说明理由.,6,10,14,18,22,98;1,2,1,2,3,4,5,6;1,2,4,8,16,32,64;9,8,7,6,5,4,3,2;3,3,3,3,3,3,3,3;1,0,1,0,l,0,1,0;,2023/7/6,7,解:是,公差d=4.不是,因为数列的
3、第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.不是,因为4-22-1.是,公差d=l.是,公差d=0.不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.,2023/7/6,8,为了叙述和书写的方便,通常,我们把数列的第1项记为a1,第2项记为a2,第n项记为an。an又称为数列的通项;a1又称为数列的首项,最后一项又称为数列的末项.,2023/7/6,9,对于公差为d的等差数列a1,a2,an来说,如果a1小于a2,则显然a2-a1=a3-a2=.=an-a(n-1)=d,因此 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d.由此可知
4、:an=a1+(n-1)d(1)若a1大于a2,则同理可推得:an=a1-(n-1)d(2)公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式,利用通项公式,在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.,2023/7/6,10,例2 求等差数列1,6,11,16的第20项.,解:首项a1=1,又因为a2;大于a1;,公差d=6-1=5,所以运用公式(1)可知:第20项a20=a1+(20-1)5=1+195=96.,2023/7/6,11,一般地,如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量,如:由通项公式,我们可以得到项数公式:n=(an-a1)d+1(若an大于a1)项数(3)n=(a1
5、-an)d+1(若a1大于an),2023/7/6,12,例3 已知等差数列2,5,8,11,14,问47是其中第几项?,解:首项a1=2,公差d=5-2=3令an=47则利用项数公式可得:n=(47-2)3+1=16.即47是第16项.,2023/7/6,13,练一练,如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.,2023/7/6,14,方法1:要求第8项,必须知道首项和公差.因为a4=a1+3d,又a4=21,所以a1=21-3d又a6=a1+5d,又a6=33,所以a1=33-5d所以:21-3d=33-5d,所以d=6 a1=21-3d=3,所以 a8=3+76=45.方
6、法2:考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2d,其中a6已知,只要求2d即可.又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2d,所以 2d=a6-a4 d=6所以a8=33+26=45,2023/7/6,15,若a1 小于a2,则公差为d的等差数列 a1,a2,a3an可以a1,a1+d,a1+d2,a1+d(n-1).所以,容易知道:a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=a4+an-3=a(n-1)+a2=an+a1.设 Sn=a1+a2+a3+an则 Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+a1两式相加可得:2Sn=(a1+an)+【a2+a(n-1)】+(an+a1)即:
7、2Sn=n(a1+an),所以,Sn=n(a1+an)2(4),2023/7/6,16,例4 计算 1+5+9+13+17+1993.,因为1,5,9,13,17,1993是一个等差数列,且a1=1,d=4,an=1993.所以,n=(ana1)d+1=499.所以,1+5+9+13+17+1993=(1+1993)4992=997499=497503.,2023/7/6,17,根据这一题,我们可以得出:对于任意一个项数为奇数的等差数列来说,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。这个定理称为中项定理.,2023/7/6,18,练一练,
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- 等差数列 及其 应用

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